正方形的“半 角 模 型”

范大陽

過正方形任一內(nèi)角的頂點，在形內(nèi)引兩條射線，使兩條射線的夾角是該內(nèi)角的一半（即45°），像這樣的模型，我們習(xí)慣稱之為正方形的“半角模型”。

【模型講解】如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別為BC、DC邊上的點，∠EAF=45°，連接EF，求證：DF+BE=EF。

圖1

圖2

【解析】一般方法是：將45°角兩邊的三角形旋轉(zhuǎn)到一邊，合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明這個新三角形與半角（45°角）形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得出線段之間的數(shù)量關(guān)系。

【證明】將△ADF繞A點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，如圖 2，則 AG=AF，∠GAB=∠DAF，∠ABG=∠ADF=90°，所以∠ABG+∠ABC=180°，所以G、B、C三點共線。再證明△GAE≌△FAE，就可得到EF=GE=GB+BE=DF+BE。

【推論】對于這樣的正方形“半角模型”，除了有以上常用結(jié)論（①DF+BE=EF）之外，我們還可以推出以下常用結(jié)論：②S△AEF=S△ABE+S△ADF；③△AEF中，邊EF上的高等于正方形的邊長。同學(xué)們可以自行推導(dǎo)哦。

【知識運用】例1 如圖3所示，在四邊形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=18cm，E是AB上一點，當(dāng)∠DCE=45°時，BE=6cm，則DE= 。

圖3

圖4

【解析】由∠A=∠B=90°、AB=BC兩個條件聯(lián)想到正方形。其實這是一個“殘缺”的正方形，所以只需把被“割去”的那一部分補上就可以了，再結(jié)合“∠DCE=45°”，就可以得到正方形的“半角模型”了。

如圖4，作CG⊥AD，交AD的延長線于G，先證明四邊形ABCG是正方形，再由上述結(jié)論①可知 ED=BE+DG，設(shè) DE=x，則 DG=x-6，AD=24-x，由勾股定理得，AE2+AD2=DE2，即 122+（24-x）2=x2，解得x=15，即DE=15cm。

【反思】本題考查的是正方形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，“補全”正方形是解題的關(guān)鍵。

【變式】在例1中，如果AB=BC=18cm，AD=9cm，那么△CDE的面積= 。

【解析】如圖4，可設(shè)BE=x，則DE=BE+DG=x+9，AE=18-x，在Rt△AED中，利用勾股定理便可求出x=6，則DE=15，利用上述結(jié)論③可以得知△CDE中邊DE上的高等于正方形邊長18，或者利用上述結(jié)論②也可以求出△CDE面積。答案：135cm2。

例2 如圖5，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點E、F分別在BC、CD上，若AE=5，∠EAF=45°，則AF的長為 。

【解析】本題屬于“殘缺型”半角模型，因為里面有個45°角，所以我們不難想到把矩形補成正方形。

圖5

圖6

如圖6，分別延長AB、DC，使得它們都等于AD，分別得到AG、DH，連接GH，延長AE交GH于I，連接FI，易知四邊形AGHD是正方形。在Rt△ABE中，由勾股定理可求出BE=1，∵BE∥GI，∴△ABE∽△AGI，∴，∴GI=2，設(shè)DF=x，由正方形“半角模型”結(jié)論①可知，F(xiàn)I=DF+GI=x+2，F(xiàn)H=4-x，IH=4-2=2，在Rt△FIH中，由FI2=IH2+FH2得到（2+x）2=（4-x）2+，即DF=，在Rt△ADF中，運用4，解之，得x=勾股定理便可求出AF=

【反思】本題考查了正方形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判斷和性質(zhì)、勾股定理的運用，正確添加輔助線構(gòu)造正方形的“半角模型”是解題的關(guān)鍵。當(dāng)然，本題還有其他方法，不過筆者認(rèn)為，如果熟悉“半角模型”，此法相對而言較容易想到。

例3 如圖7，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=4，CD=6，則△ABC的面積為 。

圖7

圖8

【解析】本題關(guān)鍵就是求出AD，而這里也有個45°角，我們不難想到正方形“半角模型”結(jié)論③，而A點又必須成為直角頂點，我們可以把AD進(jìn)行翻折變換，構(gòu)造正方形。

如圖8，將△ABD沿著AB邊折疊，使D與E重合，△ACD沿著AC邊折疊，使D與G重合，可得∠BAD=∠EAB，∠DAC=∠GAC，∴∠EAG=∠E=∠G=90°，AE=AD=AG，BD=EB=4，DC=CG=6，∴四邊形AEFG為正方形。設(shè)正方形的邊長為x，則BF=x-4，CF=x-6，在Rt△BCF中，根據(jù)勾股定理得：BF2+CF2=BC2，即（x-4）2+（x-6）2=（4+6）2，解得：x=12或x=-2（舍去），∴AD=12，

【反思】本題考查了勾股定理、正方形的判定和翻折變換。如果我們心中早已有了正方形的“半角模型”，那么我們就不難想到通過翻折變換去構(gòu)造這個模型。本題還有其他方法，同學(xué)們可以嘗試一下。

【總結(jié)】通過以上3個例題，不難發(fā)現(xiàn)，這類題目條件往往會給出45°角，如果題目一開始沒有給出正方形，我們就想方設(shè)法地通過延長線段、翻折變換等手段構(gòu)造出正方形，從而用相關(guān)結(jié)論解決問題。