淺析美與數(shù)學(xué)的對(duì)稱

摘?要：學(xué)會(huì)審美不僅可以陶冶情操，而且在對(duì)美的感受從感性走向理性的過(guò)程中，能使學(xué)生增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)的美主要包括簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美、周期美、和諧美。本文就數(shù)學(xué)對(duì)稱美從教材、試題出發(fā)，淺析教材、試題中數(shù)學(xué)定理、公式、函數(shù)、幾何以及折紙活動(dòng)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)對(duì)稱美。旨在通過(guò)感悟數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，提升學(xué)生的審美情趣，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，感知數(shù)學(xué)來(lái)源于生活。

關(guān)鍵詞：對(duì)稱美;數(shù)學(xué)公式定理;函數(shù);幾何;折紙

意大利數(shù)學(xué)家帕喬利曾說(shuō)過(guò)“沒(méi)有數(shù)學(xué)就沒(méi)有藝術(shù)”。生活中行星運(yùn)動(dòng)軌跡與橢圓圖形具有相似性，晝夜交替、四季循環(huán)與周期性相關(guān)，藝術(shù)品“最后的晚餐”中蘊(yùn)含的黃金分割無(wú)處不在，是美與數(shù)學(xué)的結(jié)合。

數(shù)學(xué)也刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中的對(duì)稱美。世界上許多著名建筑例如印度泰姬陵、意大利蒙特城堡等等。自然界中如雪花、化學(xué)晶體等美的共性都與對(duì)稱性有關(guān)。對(duì)稱性在教材、試題中更是普遍存在，教師在日常教學(xué)中，除了傳授知識(shí)點(diǎn)以外，要帶領(lǐng)學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美，培養(yǎng)學(xué)生的審美，提升學(xué)生的素養(yǎng)。

一、 數(shù)學(xué)公式、定理中的對(duì)稱美

數(shù)學(xué)公式、定理中，對(duì)稱美無(wú)處不在。代數(shù)中的對(duì)稱不似幾何對(duì)稱那樣直觀，它的表現(xiàn)形式十分靈活。例如，等差數(shù)列{n}（n=1，2…）在進(jìn)行前n項(xiàng)求和時(shí)，可將Sn=1+2+…+n中第i項(xiàng)與第n-i+1項(xiàng)進(jìn)行互換可得Sn=n+…+2+1，兩式相加過(guò)程中可發(fā)現(xiàn)得到的2Sn的每一項(xiàng)均為n+1，利用對(duì)稱性可容易推導(dǎo)證明等差數(shù)列{n}（n=1，2…）的前n項(xiàng)和公式。

二維形式柯西不等式：若a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)，等號(hào)成立。定理中不等式不僅反映了4個(gè)實(shí)數(shù)間的特定數(shù)量關(guān)系，而且在排列形式上規(guī)律明顯，具有對(duì)稱的美感。還有例如海倫公式：S=p（p-a）（p-b）（p-c），其中S為三角形的面積，p為三角形半周長(zhǎng)，a，b，c為三角形三邊長(zhǎng);正弦定理：在任意△ABC中，角A、B、C對(duì)應(yīng)的三邊分別為a，b，c，且△ABC的外接圓半徑為R，則有asinA=bsinB=csinC。這定理在交換其中的字母后仍然成立，都展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美。

二、 函數(shù)中的對(duì)稱美

函數(shù)是整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)重要的知識(shí)點(diǎn)之一，函數(shù)的性質(zhì)也是研究的重點(diǎn)，利用函數(shù)的性質(zhì)不僅有利于我們更全面地認(rèn)識(shí)函數(shù)，在解題時(shí)也可以大大降低難度。例如三角函數(shù)中主要學(xué)習(xí)的正弦函數(shù)y=sinx的圖像既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形，正切函數(shù)y=cosx的圖像是中心對(duì)稱圖形，在研究時(shí)，了解某一個(gè)對(duì)稱區(qū)間的性質(zhì)，則可以了解整個(gè)圖形的性質(zhì)，并且在解題時(shí)，也容易想到利用圖像的對(duì)稱性解決。另外，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上如果滿足f（x）=f（-x）或f（-x）=-f（x），即函數(shù)f（x）在該區(qū)間上為偶函數(shù)或奇函數(shù)時(shí)，我們可將研究的區(qū)間縮減為一半，減少重復(fù)的工作。

例如2018年江西中考17題中第（1）小題：如圖，反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖像與正比例函數(shù)y=2x的圖像相交于A（1，a），B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在第四象限，CA∥y軸，∠ABC=90°。（1）求k的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)。其中反比例函數(shù)的斜率k由點(diǎn)A在反比例函數(shù)上可直接得出;從函數(shù)圖像的對(duì)稱性來(lái)看，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O（0，0）對(duì)稱，因此可以直觀地看出點(diǎn)B坐標(biāo)為（-1，-2）。由此可發(fā)現(xiàn)利用對(duì)稱性可大大簡(jiǎn)化做題步驟，為我們解決問(wèn)題帶來(lái)便捷。

三、 幾何中的對(duì)稱美

畢達(dá)哥拉斯曾說(shuō)過(guò)，“一切立體圖形中，最美的是球形;一切平面圖形中，最美的是圓形”，其最基本的緣故就是因?yàn)榍蚺c圓形具有典型的對(duì)稱性。數(shù)學(xué)教材中只要有幾何便處處有對(duì)稱美。

例如《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》中，教材介紹擺線后，就通過(guò)閱讀材料為我們展示了性質(zhì)優(yōu)美的幾種擺線圖形（如圖1）。不僅為我們介紹了星形線、介紹了內(nèi)擺線、外擺線，還讓我們?cè)谝曈X(jué)上得到了享受。

擺線種類固定圓與滾動(dòng)

圓的半徑之比?內(nèi)擺線4∶1?內(nèi)擺線5∶1

外擺線7∶3?外擺線1∶1

四、 折紙中的對(duì)稱美

我國(guó)的傳統(tǒng)藝術(shù)中例如剪紙、臉譜等都有軸對(duì)稱的共性，在數(shù)學(xué)中，時(shí)常涉及翻折這一有趣的幾何圖形，從翻折到軸對(duì)稱從而得出相等關(guān)系常常有助于我們進(jìn)一步研究圖像的性質(zhì)。

例如，《拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》定義講解時(shí)，教師可采用折紙活動(dòng)，給每位同學(xué)發(fā)一份學(xué)案，學(xué)案上呈現(xiàn)7條平行線l1（i=1，2，3，4，5，6，7），一條垂直于平行線的垂線，交點(diǎn)記為A1（i=1，2，3，4，5，6，7），及任意一點(diǎn)F。通過(guò)折紙將A1和F重合，折痕與對(duì)應(yīng)的平行線交點(diǎn)記為a1，將所得點(diǎn)平滑連接，思考兩條線段之間長(zhǎng)度有什么關(guān)系，使學(xué)生在折紙中觀察出相等關(guān)系從而探索出拋物線的定義。學(xué)生在這樣的折紙活動(dòng)中可以很容易從△A1a1P與△Pa1F對(duì)稱中得出a1到直線的距離與到點(diǎn)F的距離相等。不僅有利于學(xué)生學(xué)習(xí)思考，也能提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)來(lái)源于生活。

利用翻折，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)對(duì)稱的考試題也不在少數(shù)。例如2016年河北中考17題：如圖，將ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落在B′處，若∠1=∠2=44°，則∠B為多少度？利用對(duì)稱，可以發(fā)現(xiàn)∠B的大小，利用對(duì)稱性使得問(wèn)題迎刃而解。數(shù)學(xué)中類似的折紙對(duì)稱問(wèn)題還有很多，在教學(xué)中帶領(lǐng)學(xué)生動(dòng)手操作不僅體現(xiàn)“做”中學(xué)還能提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng)。

感悟數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，就是去發(fā)現(xiàn)在公式、圖形、結(jié)構(gòu)等方面表現(xiàn)出來(lái)的對(duì)稱、均衡性質(zhì)的數(shù)學(xué)結(jié)果。教材中還有很多對(duì)稱美等待教師和學(xué)生發(fā)現(xiàn)，為此，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》提出了D類課程包含美與數(shù)學(xué)專題，提出了希望學(xué)生能培養(yǎng)在數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)美的眼光，對(duì)美的感受，能夠從感性走向理性。

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作者簡(jiǎn)介：

吳莖潔，上海市，華東師范大學(xué)教育學(xué)部教師教育學(xué)院。