一道含45°角問題的解答與反思

羅峻 段利芳

摘要：45°角是平面幾何中一個特殊角，它與等腰直角三角形有密切的聯(lián)系.本文以--道含45°角的平面幾何問題為例，剖析如何用好45°角.

關(guān)鍵詞：45°角;構(gòu)造;啟示

45°角的條件在平面幾何問題中比較常見，常常需要構(gòu)造等腰直角三角形，并結(jié)合已知條件和圖形的性質(zhì)來解決問題.下面，讓我們一起來解答一道含45°角的平幾問題，體會含有45°角問題的構(gòu)圖方法.

1試題呈現(xiàn)

題目如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC>BC，BD平分∠ABC，點E在BC上，LEDB=45°，BE=5CE，CD=3，求AB的長.

本題的閱讀量小，圖形簡潔，條件清晰，但對學生的思維能力要求較高.看到題目后，絕大多數(shù)同學都是沒有頭緒，鎩羽而歸.筆者細研此題，發(fā)現(xiàn)此題切入點多，方法多樣，給學生留有較大的思維空間，使得學生的解答可以呈現(xiàn)出眾多的創(chuàng)新方法，對學生的解題有比較好的啟發(fā)與幫助.

2解法探源

一個數(shù)學問題的解決，特別是較難問題的解答，關(guān)鍵是如何進行數(shù)學問題的轉(zhuǎn)換，將一個陌生的問題轉(zhuǎn)換為已解決過的數(shù)學問題，化生為熟，化非常規(guī)為標準.對于45°角問題，我們?nèi)菀着c八上《全等》的一道作業(yè)題聯(lián)系起來.

引例如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分別為D、E.分別探究DE、AD、BE的關(guān)系.

“引例”的解答非常簡單，這里不再展開.對于圖2兩個圖形的結(jié)構(gòu)，同學們要相當熟悉.因為-個問題的解決，往往需要逆向構(gòu)圖，即題目的圖形只顯現(xiàn)--部分，需要解題者作出輔助線，出現(xiàn)如圖2中的基本圖形并綜合運用.

結(jié)合上面的問題，遇45°角的解題想法是直接以45°角為-一個基本角，構(gòu)造等腰直角三角形，然后構(gòu)造如“引例”中的全等三角形來解決（如本文的解法1、3、4）;遇45°角的第二種想法是：等腰直角三角形的三邊之比是1：1：/2，并且構(gòu)圖后會產(chǎn)生直角三角形，與勾股定理結(jié)合，組成方程來解決線段問題（如本文的解法2）;遇45°角的第三種想法是：構(gòu)造-一個45°，這樣會產(chǎn)生兩個共角（或共邊）的三角形，利用相似三角形來解決（如本文的解法5）.

3多向解答

3.1以BD為斜邊和45°角構(gòu)成等腰直角三角形

解法1如圖3，以點B為頂點，BD為邊作∠DBF=45°，交DE的延長線于點F，易得BF⊥DF.過點F作FN⊥BC于點N，過點F作FM⊥AC，交AC的延長線于點M，過點D作DG⊥AB于點G.

因為∠FDB=∠FBD=45°，所以DF=BF.

因為∠DCE=LEFB=90°，對頂角∠CED=∠FEB，由等角的余角相等得∠CDE=∠EBF.

在△DMF和△BNF中，

{∠M=∠BNF=90°，

{∠MDF=∠NBF，

{DF=BF.

所以△DMF≌△BNF（AAS）.

所以FM=FN.

又四邊形MCNF的三個內(nèi)角為90°，

所以四邊形MCNF是正方形.

設(shè)正方形的邊長為a，CE=x，則BE=5x，BC=6x，EN=a-x，BN=6x-a.

因為DM=BN，所以3+a=6x-a.

所以a=6x-3

因為CD//FN，所以CDCEFN～EN

所以

解得x=1或x=1.5.

因為①

又BD平分∠ABC，DG⊥AB，DC⊥BC，由角平分線上的點到角兩邊的距離相等，所以DG=DC=3.

結(jié)合①式得CDBC②

設(shè)AD=y，

（1）當x=1時，BC=6，由②得yAB

所以AB=2y.

在RtOABC中，62+（y+3）2=（2y）2.

解得y1=5，y2=-3（舍去）.此時AC=8>6，即AC>BC，符合題意.

所以AB=2y=10.

（2）當x=1.5時，BC=9，由②得39yAB

所以AB=3y.

在Rt△ABC中，92+（y+3）2=（3y）2.

解得y1=-3（舍去），y2=2=3.75.

而AC=AD+DC=3+3.75=6.75<9，即AC<：BC，與題目條件AC>BC不合題意，舍去.

綜上AB=10.

評注本解法以BD為斜邊，∠EDB=45°構(gòu)造等腰直角三角形.從圖形中找出全等三角形和相似三角形，利用比例線段建立方程求出線段CE的長，再利用角平分線的條件，構(gòu)造點到角兩邊距離，借助面積法，得出AB與AD的關(guān)系，再根據(jù)勾股定理建立方程得出線段AB的長.

2.2以DE為斜邊和45°角構(gòu)造等腰直角三角形.

解法2如圖4，過點E作EF⊥DB于點F.

由∠EDB=45°，4EFD=90°，易得△DEF是等腰直角三角形，則EF=2，DE.

設(shè)CE=x，則BE=5x，BC=6x.

在Rt△CDE中，DE=CD2+CE=√32+x2=/9+x.

則EF=點DE=兵x9+2=√2（9+2）

（1）當x=1時，即CE=1時，過點D作DG⊥AB于點G.因為BD平分∠ABC，DC⊥BC，DG⊥AB，由角平分線性質(zhì)可知，DG=DC=3，易得△BCD≌△BGD，則BG=BC=6.

設(shè)AG=a，AD=b，由∠A公共，∠C=∠AGD=90°，易證OADGnOABC.

所以C=AG，即6b+3

化簡得b=2a-3.①

在Rt△ADG中，由勾股定理可知，AG2+DG2=AD*，即a2+32=b.②

把①式代入②式，得a2+9=（2a-3）*.

解得a=4，則b=5，AC=8，BC=6，符合題意.所以AB=AG+GB=4+6=10.

（2）當x=1.5時，由上面（1）的全等和相似得DG=3，BC=9，進一步BCAC9b+3

化簡得b=3a-3.

在Rt△ADG中，由勾股定理，得AG+DG2=AD2.即a2+32=b2.

進一步得a2+9=（3a-3）2.

解得a=2-，b=3.75，AC=6.75.

此時AB=6+a=6+2二=8一.又BC=9，即AB

綜上AB=10.

評注本解法以DE為斜邊和∠EDB=45°構(gòu)造等腰直角三角形，利用角平分線上的點到角兩邊的距，離和面積法求出CE、CB的長，這里用勾股定理組成一個無理方程，需學生分析運算條件，探究運算方向，選擇運算方法，設(shè)計合理運算程序，使運算符合算理，合理簡潔，再利用角平分線、三角形相似求出AD的長，最后通過勾股定理求出AB的長.

2.3以DE為直角邊和45°角構(gòu)造等腰直角三角形

解法3如圖5，過點E作EF⊥DE于點E，交BD于點F，過點F作FH⊥BC，垂足為點H.

因為∠BDE=45°，EF⊥DE，

所以△DEF是等腰直角三角形.

所以DE=DF.

因為∠DEC+∠FEH=90°，而∠EFH+∠FEH=90°，由“同角的余角相等”，得∠DEC=∠EFH.

在△DEC和△EFH中，

{∠C=∠EHF=90°，

{∠DEC=∠EFH，

{DE=EF.

所以O(shè)DEC≌△EFH（AAS）.

所以CE=FH，EH=CD=3.

設(shè)CE=x，由BE=5CE，知BE=5x，BC=6x.則BH=5x-3.

由CD//FH，構(gòu)成“A”型圖形，則BHHFBC-CD

所以=5x-3，進一步化簡得，2x2-5x+3=0.

解得x=1，xz=1.5.

以下解答，同解法2（略）.

評注本解法以DE為直角邊和∠EDB=45°構(gòu)造等腰直角三角形，通過“一線三垂直”圖形證三角形全等，運用A字形相似，得出線段成比例，組成-一個方程，從而求出CE的長.這里的一線三垂直、全等三角形和A字形相似圖形對解題的作用較大，可有效促進解題，縮短思維過程.

2.4以BD為直角邊和45°角構(gòu)造等腰直角三角形

解法4如圖6，過點B作HB⊥DB于B，BH交DE的延長線于點H，過點H作HF⊥BC于點F.

由∠EDB=45°，∠HBD=90°，易得△BDH是等腰直角三角形.則DB=HB…

由“同角（∠DBC）的余角相等”，可知LCDB=∠CBH.在△BCD和△HFB中∠CDB=∠CBH，∠C=∠HFB=90°，DB=HB，所以△BCD≌△HFB.（AAS）.所以BC=FH.

設(shè)CE=x，則BE=5x，EF=5x-3，HF=BC=6x.

由AC⊥BC，HF⊥BC，知CD//HF.

由“8”字形知對應(yīng)線段成比例，所以CDCEFH-EF

進一步，得6x5x-33=：

化簡，得2x2-5x+3=0.

解得x1=1，x2=1.5.

以下解答，同解法2（略）.

評注本解法以BD為直角邊和∠EDB=45°構(gòu)造等腰直角三角形，通過“一-線三垂直”的變異圖形證三角形全等，運用8字形相似得出線段成比例，得到方程，從而求出CE的長.本解法與解法3有異曲同工之妙，方法比較類似，都是借助--線三垂直全等和相似解題，可見構(gòu)造基本圖形是解決平幾問題的有效途徑.

2.5以CD為直角邊補45°角構(gòu)造等腰直角三角形

解法5如圖7，在CB上截取CF=CD，連DF.

因為∠C=90°，則△CDF是等腰直角三角形.

所以∠CDF=45°=∠EDB=∠CFD.

在△DEF和△BED中，

∠EFD=∠EDB，∠DEF=LDEB，

所以△DEFn△BED.

所以∠DBE=LEDF.

所以BG=BE=5x，∠BDG=∠BDE=45°.

所以LADG=180°-∠GDE-∠CDE=180°-90°-∠CDE=90°-∠CDE.

即∠ADG=90°-∠CDE.②

由全等知∠DEB=∠DGB，則其鄰補角相等.

即∠AGD=∠DEC=90°-∠CDE.③

結(jié)合②③，得CADG=∠AGD.

所以AD=AG.

設(shè)AD=y=AG，

（1）當x=1時，CB=6.

在Rt△ABC中，AC=y+3，AB=5+y，

所以（y+3）=+62=（5+y）”…

解得y=5.

所以AB=10.

（2）當x=1.5時，CB=9.

在Rt△ABC中，AC=y+3，AB=7.5+y，

所以（y+3）2+92=（7.5+y）*.

解得y=3.75.

所以AC=3.75+3=6.75<9.

即ACBC矛盾.

故y=3.75舍去.綜上AB=10.

評注本解法以直角∠C和直角邊CD構(gòu)造等腰直角三角形，這樣挖掘蘊藏其中的共角共邊的相似三角形，從而求出CE的長，再運用角平分線和截長補短得到一對全等三角形，推出角度相等的等腰OADG，再運用勾股定理得出AD的長，從而求出AB.

4解后反思

4.1“選擇”是思維能力的重要體現(xiàn)

思維能力是數(shù)學的核心。一個題目的解決，不僅僅只看學生能否得出正確結(jié)果，更要看學生在解題過程中是如何構(gòu)建新圖形，以及對解題途徑的選擇.本題無疑是-個難題，在解答過程中主要分三個部分：第一部分必須利用45°角和CD的長求出CE的長;第二部分利用角平分線和勾股定理求出AD的長;第三部分是回到題目，看結(jié)論是否符合AC>BC的條件，得出最后答案.

其中第一部分求CE的長是解題的關(guān)鍵.在初中幾何中，由題設(shè)條件45°角必須構(gòu)造等腰直角三角形，如何構(gòu)造，既可以把45°角和DE為-一個整體，DE當成斜邊，也可以當成直角邊;也可以把45°和DB為一個整體，DB當成斜邊或直角邊可以看出方法眾多，途徑各異，而如何在眾多途徑中找到最簡捷的方法，完全取決于學生的思維能力.

解法1將45°角和BD為斜邊構(gòu)圖，此解法是容易構(gòu)圖，需借助正方形、全等及相似來解決，所用知識點多，過程冗長;解法2將45°角和DE為斜邊構(gòu)圖，借助等腰直角三角形的三邊關(guān)系和勾股定理、面積法解答，涉及繁雜的無理方程計算，面對復(fù)雜的計算，學生有可能無功而返;解法3和解法4是構(gòu)造--線三垂直之“k”字形并涉及到常見的“A”“8”字形相似，相對簡潔，較好運用了題目圖形的結(jié)構(gòu)，順勢而為，值得借鑒;解法5直接以CD為邊構(gòu)造45°角，產(chǎn)生共角三角形相似，利用相似性質(zhì)輕松求出CE，其實這個相似圖形（共角三角形相似）源于課本，可見重視課本基本圖形、提煉總結(jié)出數(shù)學模型，無疑能幫助快速解題除了構(gòu)圖，解答的關(guān)鍵都離不開相似，并且大量運用了同一未知數(shù)表示不同的線段、方程思想、勾股定理、解-一元二次方程、分類討論等等，這些都是初中數(shù)學的重要內(nèi)容與方法，需同學們不斷總結(jié)與體會，如何在解決問題時，恰當運用.

4.2積累基本圖形，體會基本思想的運用

數(shù)學家懷特指出;“數(shù)學就是對模式的研究.”數(shù)學的學習就是在建立模式、完善模式、打破模式、再建立新模式的不斷循環(huán)中逐步構(gòu)建數(shù)學的學科體系，形成數(shù)學的解決問題的能力，因此立足基本模型解題是解決幾何問題的-一個基本方法，也是-一種基本思想，

通過對基本圖形的感悟，在解決具體問題中，要.善于發(fā)現(xiàn)這些圖形所擁有的“共同要素”，并進--步得到相應(yīng)的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，直至解決問題.在平時解題教學中，要注重對一-些典型試題的幾何圖形的挖掘與分析，有意識強化對基本圖形的積累與運用，注重常態(tài)教學結(jié)合具體知識有機滲透，讓學生感悟數(shù)學基本思想和數(shù)學思維方式，要形成運用多種方式進行數(shù)學思考的習慣和意識，要有強烈的運用數(shù)學基本圖形，構(gòu)造基本圖形進行思考的愿望.--些綜合題，往往不是單--的模型，而是兩個以上基本圖形組合，因此在平時解題或復(fù)習中，要有意識地鍛煉學生分析問題的能力，能夠有條不紊地依據(jù)基本圖形的認知進行理性分析.同時，我們要充分挖掘中考試題的功能與價值，搜尋題源，串聯(lián)“形異質(zhì)同”題，整合“形似質(zhì)異”題，運用“聯(lián)系”“遷移”“拓展”“創(chuàng)新”等策略進行試題分析與解答，逐步發(fā)現(xiàn)“經(jīng)歷”、優(yōu)化“經(jīng)歷”、感悟“經(jīng)歷”、提升“經(jīng)歷”，從而積累“基本活動經(jīng)驗”，逐步提高數(shù)學解題經(jīng)驗和數(shù)學素養(yǎng)1.

參考文獻：

[1]羅峻，段利芳.一組平行線架在雙曲線上的中考題剖析[J].數(shù)理化學習（初中版），2018（08）：31—34.