一道二次函數(shù)題目引發(fā)的思考

劉道祥 王莉

摘要：本文從一道關(guān)于二次函數(shù)試題開始，對學(xué)生加強待定系數(shù)法的認識提出了靈活變通的思路，對于題目中沒有給函數(shù)解析式的，可以設(shè)合適的函數(shù)解析式，然后求解;對于題目中給了函數(shù)解析式的，如果可以直接使用解析式，那么可以用題目給的解析式進行求解，但是如果利用題目給的解析式難以求解，那么可以靈活變通，重新設(shè)函數(shù)解析式，求解后，再化成題目給出的函數(shù)解析式的形式.

關(guān)鍵詞：待定系數(shù)法;二次函數(shù)解析式;轉(zhuǎn)換思路

2018—2019學(xué)年第一學(xué)期期末考試閱卷已經(jīng)結(jié)束了，在批改試卷過程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對待定系數(shù)法的使用存在局限性，不會靈活變通，二次函數(shù)是在人民教育出版社出版的義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)九年級上冊第39頁進行了探究，但是本部分為選學(xué)內(nèi)容，教師在講解此部分內(nèi)容時，只是拋磚引玉，并未深入講解.恰逢九年級期末考試，在批改《隆湖一站學(xué)校2018—2019學(xué)年第一學(xué)期八年級數(shù)學(xué)期末試卷》中第26題時，發(fā)現(xiàn)學(xué)生得分率很低，具體原因是學(xué)生不能靈活變通的對待已知中給出的拋物線解析式，容易陷入題目中的陷阱.希望通過對這個題目的分析，可以給學(xué)生以新的認識及理解.

1試題呈現(xiàn)

題目（隆湖一站2018—2019學(xué)年第一學(xué)期九年級數(shù)學(xué)期末第26題）如圖1，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，對稱軸為直線x=1，已知A（-1，0）、C（0，-3）.

（1）求拋物線y=ax？+bx+c的解析式;

（2）求OAOC和△BOC的面積比;

2參考答案

此題的考點是用待定系數(shù)法求拋物線的解析式和拋物線與x軸的交點坐標.其中由于二次函數(shù)的圖象就是拋物線，一般來講求拋物線的解析式與求二次函數(shù)的解析式是同一個含義，所以本文中出現(xiàn)拋物線與二次函數(shù)時均表示同一含義.一般情況下，學(xué)生接受的觀點是，如果題目中沒有給出二次函數(shù)的解析式，那么需要設(shè)二次函數(shù)的解析式，然后用待定系數(shù)法進行求解;如果題目中給出了二次函數(shù)的解析式，那么不需要設(shè)二次函數(shù)的解析式，直接使用題目中的解析式，用待定系數(shù)法求解即可.

本題的出卷教師給出的參考答案是：

解（1）因為點A（-1，0）與點B關(guān)于直線x=1對稱，所以B（3，0）.

因為A（-1，0），B（3，0），所以可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）（a≠0）.

因為點C在拋物線上，所以-3=a（0+1）（0-3）.

解得a=1.

所以拋物線的解析式為y=（x+1）（x-3）.

即y=x-2x-3.

（2）因為A（-1，0），B（3，0），所以0A=1，OB=3.

所以△AOC和△BOC的面積比等于

從出卷教師給出的參考答案可以看出，在第（1）問求二次函數(shù)的解析式時，并沒有直接使用題目中給出的解析式的形式，而是先利用二次函數(shù)的圖象拋物線的軸對稱的性質(zhì)，求出了拋物線與x軸的另一個交點，將拋物線的解析式設(shè)成了二次函數(shù)的交點式，代入點進行求解，從而求出拋物線的解析式，通過化簡，最終得到拋物線解析式的一般形式

3學(xué)生錯解

下面給出學(xué)生在做本題第（1）問時出現(xiàn)的一種常見的錯解.

解因為點A、點C在拋物線上，

所以0=ax（-1）2+bx（-1）+e.①

-3=ax02+bx0+c.②

因為對稱軸為直線x=1，

所以b=1.③

聯(lián)立①②③，解得{b=1

所以拋物線的解析式為y=4x2+x-3.

從這個學(xué)生的錯誤解題過程可以看出，學(xué)生對拋物線的對稱軸不知道如何使用，而學(xué)生在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)時，已經(jīng)知道對于二次函數(shù)y=ax2+bx+e，它圖象的對稱軸為x=--，所以對于本題，因為拋物線的對稱軸為直線x=1，所以應(yīng)得到-”=1.

4試題解析

下面給出本題的第（1）問的另外三種解法：

解法1因為點A、點C在拋物線上，

所以0=ax（-1）2+bx（-1）+c.①

-3=ax0”+bx0+c.②

因為對稱軸為直線x=1，所以--=1.③

聯(lián)立①②③，解得{b=-2

所以拋物線的解析式為y=x2-2x-3.

解法2因為拋物線的對稱軸為直線x=1，

所以可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）2+k.

因為點A、點C在拋物線上，

所以0=ax（-1-1）2+h.①

-3=ax（0-1）”+h.②

ra=1聯(lián)立①②，解得

所以拋物線的解析式為y=（x-1）2-4.

即y=x2-2x-3.

解法3因為點A與點B關(guān)于直線x=1對稱，所以B（3，0）.

因為點A、點B、點C在拋物線上，

所以0=ax（-1）2+bx（-1）+c.①

0=ax32+bx3+c.②

-3=ax02+bx0+c，③

聯(lián)立①②③，解得{b=-2

所以拋物線的解析式為y=x2-2x-3.

從本題的多種解法可以總結(jié)如下，對于使用待定系數(shù)法求解函數(shù)的解析式時，如果題目中給出了函數(shù)解析式的形式，在具體解題過程中，可以使用給定的函數(shù)解析式的形式，亦可以不使用給定的函數(shù)解析式的形式，比如上面給出的解法2和出卷教師給出的參考答案，這兩種解法在求解本題時，大大的降低了試題的難度，跳過了試題給出的障礙.

比如下面這個題：

已知關(guān)于x的一次函數(shù)y=（a+3）2x+m+20，經(jīng)過點A（2，0）和點B（0，3），那么這個一次函數(shù)的解析式為

此題可以選擇將點A（2，0）和點B（0，3）代入題目給定的y=（a+3）2x+m+20進行求解，得到a和m的值，然后代回y=（a+3）2x+m+20，從而得到這個一次函數(shù)的解析式，雖然此方法可以求出這個一次函數(shù)的解析式，然而，換個思路，設(shè)這個一次函數(shù)的解析式為y=hx+b，然后將點A（2，0）和點B（0，3）代入題目給定的y=hx+b進行求解，得到k和b的值，從而得到這個一次函數(shù)的解析式，對比這兩個計算過程，可以發(fā)現(xiàn)，重新設(shè)這個一次函數(shù)解析式，然后求解得到答案的過程明顯快于直接使用已知條件中給的函數(shù)解析式的形式.

綜上可以看出，在用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式時，要學(xué)會靈活變通的使用已知條件，如果題目中沒有給出二次函數(shù)的解析式，那么需要設(shè)二次函數(shù)的解析式，然后用待定系數(shù)法進行求解;如果題目中給出了二次函數(shù)的解析式，那么不需要設(shè)二次函數(shù)的解析式，直接使用題目中的解析式，用待定系數(shù)法求解即可，但是如果題目給出的函數(shù)解析式的形式不方便或者不容易求解，則不一定非得按照題目給出的解析式的形式進行求解，完全可以根據(jù)題目中給定的已知條件，設(shè)合適的解析式的形式進行求解，這樣反而可以提高解題的效率，

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范出版社，2012.