高中數(shù)學(xué)“隱形圓”問題探究

陸曉鳴

摘 要：數(shù)學(xué)問題變化無窮，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納問題的規(guī)律。就有關(guān)圓的數(shù)學(xué)問題而言，有些數(shù)學(xué)問題看似無關(guān)乎圓，但深入分析其幾何意義，就可以利用圓的知識解決。文章探討高中數(shù)學(xué)中“隱形圓”問題，旨在提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);隱形圓;數(shù)學(xué)教學(xué);數(shù)學(xué)思維

中圖分類號：G633.6文獻標(biāo)志碼：A文章編號：1008-3561（2019）10-0057-01

作為高中數(shù)學(xué)知識體系中的重要知識點，圓的相關(guān)知識和問題是歷年高考數(shù)學(xué)的重點。近幾年“隱形圓”問題出現(xiàn)的頻率很高，該類問題不但考查學(xué)生對圓的相關(guān)知識的理解和掌握程度，還綜合考查學(xué)生運用圓的知識解決數(shù)學(xué)問題的能力。解決此類問題的訣竅在于準(zhǔn)確把握圓的知識與其他數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，準(zhǔn)確找出“隱形圓”。因此，教師可以結(jié)合具體數(shù)學(xué)題目解析探討“隱形圓”問題，幫助學(xué)生更好地解答“隱形圓”問題，提高其解題能力。

一、根據(jù)圓的定義發(fā)現(xiàn)隱形圓

例1：已知向量■=（4，0），■=（0，4），■=（■cos？茲，■sin？茲），則■和■之間的夾角范圍是多少？解析：點P的軌跡是以點N（0，4）為圓心，■為半徑的圓，經(jīng)過點O（0，0）作圓的切線，得到切點A、B，則∠NOA=∠NOB=■，可知∠AOM=■，∠BOM=■，可得向量■與向量之間的夾角■范圍為[■，■]。評注：該題目的解題訣竅在于根據(jù)已知條件得出|■|=■，可知點P到點N的距離與定值相等，依照圓的定義，找到隱形圓——點P的軌跡以N（0，4））為圓心，■為半徑的圓，再根據(jù)這個隱形圓確定向量■與向量■夾角的臨界位置，從而確定夾角范圍。

二、利用對角互補的四邊形的四個頂點共圓找到隱形圓

例2：假設(shè)向量■、■、■滿足 ■，■■■■■，且■-■和■-■之間的夾角為■，則 ■的最大值是多少？解析：設(shè)？茲為■、■的夾角，由■，■■■■■，得到？茲=■，向量■、■、■的起點平移至相同起點O，終點分別為D、E、F，則■-■=■，■-■=■，且∠DFE=■，因此，D、O、E、F四點在同一個圓上，即點F在△DOE的外接圓上。當(dāng)OF為直徑時，■取最大值，根據(jù)余弦定理可知DE=■，再根據(jù)正弦定理可知△DOE的外接圓直徑為■。評注：根據(jù)平面四邊形DEFG的對角和等于？仔，則D、E、F、G四點在同一個圓上，再根據(jù)圓的所有弦中直徑最長來處理，可以大大簡化計算步驟，而且也更容易理解。

三、根據(jù)直徑所對圓周角等于90°發(fā)現(xiàn)隱形圓

例3：假設(shè)實數(shù)d、e、f成等差數(shù)列，點A（1，0）在動直線dx+ex+f=0上的射影為P，點N（2，1），則線段AN長度的取值范圍是多少？解析：由于實數(shù)d、e、f成等差數(shù)列關(guān)系，可知2e=d+f，即d-2e+f=0，和方程dx+ex+f=0對比可知，動直線永遠經(jīng)過定點Q（1，-2），由點A（-1，0）在動直線dx+ex+f=0上的射影為P，可知∠APQ=■，因此點P在以AQ為直徑的圓上，圓心坐標(biāo)為（0，-1），半徑為■，點N與圓心的距離為2■。因此，線段AN的長度取值范圍為[■，3■]。評注：該題目中，由∠APQ=■、AP⊥QP可以推出點P在以AQ為直徑的圓上，從而找到隱形圓，將問題轉(zhuǎn)換成求圓上點到定點距離取值范圍的問題。

四、構(gòu)建坐標(biāo)系求動點軌跡方程發(fā)現(xiàn)隱形圓

例4：已知△DEF中，DE=2，DF=■EF，請問△DEF面積最大值是多少？解析：可以構(gòu)建坐標(biāo)系，以DE邊所在直線為橫軸，DE中垂線為縱軸建立平面直角坐標(biāo)系，則D點坐標(biāo)為（-1，0），E（1，0）。假設(shè)點F（m，n），由DF=■EF，可得■=■■，經(jīng)過化簡整理可得（m-3）2+n2=8，即點F在圓（m-3）2+ n2=8上運動，可知S△DEF=■DE·|n|=|n|≤2■。因此，△DEF面積最大值為2■。評注：由于DE的值是固定的，可知△DEF面積的大小由點F的位置決定，因此，通過構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，得到動點F的軌跡方程，就可以求解出面積最大值。

五、通過三角代換構(gòu)造隱形圓

例5：假設(shè)實數(shù)■、■、■滿足d 2+e2=f 2，f≠0，則■的取值范圍是多少？解析：根據(jù)已知條件d2+e2=f2，f≠0，可知（■）2+（■）2=1，假設(shè)■=cosθ，■=sinθ，θ∈[0，2？仔），因此可以設(shè)k=■=■=■，表示點M（2，0）和圓x2+y2=1上的點連線的直線斜率。假設(shè)直線l：y=k（x-2），則■≤1，解得-■≤k≤■。因此，■∈[-■，■]。評注：該題目將齊次式d 2+e2=f 2，f≠0，同除e2得（■）2+（■）2=1，利用sin2θ+cos2θ=1，構(gòu)造x2+y2=1單位圓加以處理。

綜上所述，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生重視解題過程的分析，不斷提高直觀化思維水平及數(shù)學(xué)感知能力，善于通過問題的表象快速找到解決問題的突破口和問題的本質(zhì)，從而提高數(shù)學(xué)解題能力。

參考文獻：

[1]劉長偉.例析數(shù)學(xué)問題中的隱形圓[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2017（03）.

[2]章文昊，殷偉康.例析“隱形圓”問題的解題策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（11）.