高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的最值問題分析

陳永科

【摘 要】隨著新課程改革的不斷推進(jìn)，高中數(shù)學(xué)教學(xué)和考察更加重視問題實(shí)際化，數(shù)學(xué)應(yīng)用題當(dāng)中有很多最值問題都是與實(shí)際問題相結(jié)合進(jìn)行考察，這在一定程度上也提高了解題難度，成為許多高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。而解決這類問題最為主要的一點(diǎn)就是建模，利用已知的數(shù)學(xué)模型對其進(jìn)行解決，會使問題顯得更為簡單。本文主要探討了幾種最為常用的最值問題解題方法與問題解析的一般步驟。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；應(yīng)用題；最值問題；建模

高中階段的數(shù)學(xué)知識具有更強(qiáng)的復(fù)雜性，更加重視對學(xué)生解決實(shí)際問題能力的考察，而最值問題作為高考最為常見的一類題型，已經(jīng)成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動中的重點(diǎn)。作為一名高中數(shù)學(xué)教師，怎樣才能有效引導(dǎo)學(xué)生對此類問題形成更好的解答，更好的形成解題思路，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績，值得廣大教育工作者更為深入的探索。

1.高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中最值問題的主要解法

與其他類型的數(shù)學(xué)題相比，高中階段應(yīng)用題當(dāng)中的最值問題通常背景較為復(fù)雜，而且涉及面較廣，其解題方法較為靈活多變，屬于學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)。也是高中數(shù)學(xué)教師教學(xué)活動開展的重點(diǎn)，可以將其主要解法歸納為以下幾個(gè)方面：

1.1函數(shù)模型解法

函數(shù)屬于高中數(shù)學(xué)當(dāng)中的重點(diǎn)內(nèi)容，與函數(shù)相關(guān)的應(yīng)用問題題目來源十分廣泛，題型往往比較新穎，解題方法靈活多變，屬于高考中的熱點(diǎn)內(nèi)容。在許多應(yīng)用題當(dāng)中都會涉及到方案最優(yōu)化的內(nèi)容，解決的方法則通常為建立目標(biāo)函數(shù)，把問題直接轉(zhuǎn)化為對目標(biāo)函數(shù)最值的求解。而求解函數(shù)模型的方法主要包括配方法、數(shù)形結(jié)合、基本不等式、單調(diào)性、求導(dǎo)以及三角函數(shù)有界性等，具體應(yīng)該采用何種方法應(yīng)該結(jié)合具體問題進(jìn)行具體分析。

例1：在冬季保暖與夏季制冷中減少能源消耗，需要在房屋屋頂以及外墻部位加設(shè)隔熱層。一幢居民樓設(shè)計(jì)建造可使用至少二十年的隔熱層，其每厘米隔熱層的建造成本是6萬元。此建筑每年所需的能源消耗費(fèi)用c（單位：萬元）和隔熱層的厚度x（單位：厘米）之間滿足關(guān)系c（x） （0≤x≤10），如果不設(shè)置隔熱層，每年的能耗費(fèi)用是8萬元。設(shè)f（x）是建造費(fèi)用跟二十年能耗費(fèi)用二者之和。①求k值和f（x）表達(dá)式；②當(dāng)隔熱層修建厚度為多少時(shí)，總費(fèi)用最小，求出最小值。

解：①由題干可知隔熱層厚度是x，每年能源費(fèi)用是c（x） 。因?yàn)閏（0）=8，可得k=40，所以c（x） 。而建造費(fèi)用是c （x）=6x。得到兩者費(fèi)用之和是：f（x）=20c（x）+c （x）=20× +6x= +6x（0≤x≤10）

②f'（x）=6- ，現(xiàn)令f'（x）=0，則 =6，求解得x=5，x=- （舍去）。所以x=5時(shí)，f（x）為最小值，代入得f（5）=70。所以在隔熱層為5厘米厚的時(shí)候，總費(fèi)用最低，為70萬元。

1.2不等式組模型解法

不等式模型也是應(yīng)用題中最值問題的常用解法，其主要涉及到物資調(diào)配、最優(yōu)決策以及統(tǒng)籌安排等實(shí)際問題。求解此類問題的關(guān)鍵在于找出各種變量之間的關(guān)系，隨后列出不等式，求解即可。

例2：某廠家生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)甲產(chǎn)品一噸需要耗費(fèi)A原料3噸和B原料2噸，而每生產(chǎn)乙產(chǎn)品一噸需要耗費(fèi)A原料1噸和B原料3噸。每噸甲產(chǎn)品銷售后廠家可獲利5萬元，每噸乙產(chǎn)品銷售后可獲利3萬元。此企業(yè)一個(gè)生產(chǎn)周期之內(nèi)消耗A、B兩種原料量分別不超過13噸和18噸，則企業(yè)能夠獲得的最大利潤為多少？

解：設(shè)當(dāng)甲、乙兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)x和y噸時(shí)，利潤z最大，由題意得出線性約束條件： 3x+y≤13

2x+3y≤18

x≥0

y≥0，求函數(shù)z=5x+3y的最大值。如圖1，可得出最優(yōu)解是 x=3

y=4，因此zmax=27，則該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)最多能獲利27萬元。

1.3幾何模型解法

對幾何模型的解析通常會涉及到光的折射、橋梁以及人造衛(wèi)星等問題。該類問題通常需要建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合有關(guān)解析幾何方面的相關(guān)知識對問題進(jìn)行解決。而立體幾何模型通常會涉及面積、體積以及空間觀測等問題。此類問題需要利用立體幾何以及三角函數(shù)等方面的知識進(jìn)行解決。

例3：如圖2所示，衛(wèi)星與地面間電視信號沿著直線進(jìn)行傳播，電視信號可以傳達(dá)到的地面區(qū)域稱之為衛(wèi)星覆蓋區(qū)域。某國發(fā)射的衛(wèi)星距離地球表面約36000千米。已知地球的半徑是6400千米，則該衛(wèi)星覆蓋區(qū)域當(dāng)中任意兩點(diǎn)之間球面距離的最大值為多少？

解：如圖2所示，AO=36000+6400=42400，OB=OA=6400，圓O'是衛(wèi)星覆蓋區(qū)域邊界，AB是圓O'直徑，因此在Rt△ABO當(dāng)中，cos∠AOB=8/53，因此覆蓋區(qū)域當(dāng)中任意兩點(diǎn)距離最大值L=θ·R=2∠AOB·R=12800arccos8/53。

1.4概率統(tǒng)計(jì)模型解法

該類題目通常是考察學(xué)生一些相對較為簡單的隨機(jī)變量問題、概率問題、抽樣問題以及頻率分布問題等。在求解的過程當(dāng)中，需要依據(jù)題目中的條件，同時(shí)結(jié)合考察內(nèi)容，具體選擇合適的解題方法。在目前新課程實(shí)施節(jié)奏逐漸加快的背景之下，作為一種十分新穎的內(nèi)容，概率統(tǒng)計(jì)模型在高考中占據(jù)了更加重要的位置。

2.高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中最值問題解析的一般步驟

經(jīng)過上文的論述可以發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用題當(dāng)中的最值問題屬于一類較為特殊的應(yīng)用問題，其具有較強(qiáng)的復(fù)雜性，覆蓋面較廣。不過，其解題步驟跟普通應(yīng)用題解題的步驟則較為相似，需要學(xué)生足夠認(rèn)真，以免在解題過程中遺漏一些細(xì)節(jié)。

結(jié)束語

總而言之，應(yīng)用題當(dāng)中的最值問題屬于高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在高考中的占比在逐年上升，需要引起廣大師生的高度關(guān)注。數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)活動中要積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)和歸納，讓學(xué)生在腦海中建立起更為豐富的數(shù)學(xué)模型，抓住題目中的每一個(gè)細(xì)節(jié)，更加高效而準(zhǔn)確的解決最值問題，為教學(xué)質(zhì)量的不斷提升形成良好的保障。

【參考文獻(xiàn)】

[1]廖春龍，黃奇英.高視點(diǎn)下的高考數(shù)學(xué)最值問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2018（03）：35-37

[2]彭小龍.淺談高中數(shù)學(xué)中最值問題的教學(xué)[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017（03）：57

[3]康雪萍.高中數(shù)學(xué)最值問題解答方法探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（21）：58

[4]周永忠.處理高中數(shù)學(xué)最值問題的方法探析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2015（17）：78-79