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    函數(shù)背景下雙變量問題的解決策略之統(tǒng)一變量

    2019-04-27 02:32:20河南省洛陽市汝陽縣第一高級中學張海濤
    關鍵詞:增函數(shù)切線極值

    ■河南省洛陽市汝陽縣第一高級中學 張海濤

    雙變量問題是近年高考數(shù)學導數(shù)部分壓軸題目的???,在2010年天津、2011年遼寧、2013年湖南、2016年全國Ⅰ卷理科、2018年全國Ⅰ卷理科等高考數(shù)學試卷中均以壓軸級別出現(xiàn),在函數(shù)與不等式、導數(shù)知識的交匯地帶,利用導數(shù)這個工具,可以充分考查函數(shù)及不等式知識,也可以全面深刻地考查高中數(shù)學函數(shù)思想,充分暴露同學們的探索能力,因此高考命題專家熱衷于在這個背景下命制壓軸題目。

    揭開問題的層層面紗,我們發(fā)現(xiàn)解決問題的法寶是構造一元變量函數(shù)。下面我們就常見問題進行探究,希望通過本文能給同學們帶來幫助。

    一、主變量構造統(tǒng)一變量

    例1已知0≤m<n,試比較en-m+ln(m+1)與1+ln(n+1)的大小,并給出證明過程。

    分析:本題涉及兩個變量m,n,這里不妨把m當成常數(shù),設定n為主變量x。

    解:構造函數(shù)f(x)=ex-m+ln(m+1)-1-ln(x+1),x∈[m,+∞),m≥0。

    f(x)min=f(m)=0。

    因此,當0≤m<n時,f(n)=en-m+ln(m+1)-1-ln(n+1)>0。

    所以en-m+ln (m+1)>1+ln(n+1)>0。

    點評:當問題有兩個變量時,我們可以把一個變量看成常數(shù),另一個變量看成自變量,使問題得以解決,我們稱這種方法為主變量思想。

    二、值域寬度統(tǒng)一變量

    例2已知函數(shù)f(x)=ax+x2-xlna(a>0,a≠1)。

    (1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;

    (2)對?x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍。

    分析:對于第二問,我們很容易發(fā)現(xiàn)問題實際上是求解給定區(qū)間上函數(shù)的最值的差問題,進而通過求解最值,構造最值的差函數(shù),利用導數(shù)求解a的范圍即可。

    解:(1)函數(shù)f(x)的定義域為R,f'(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna。

    令h(x)=f'(x)=2x+(ax-1)lna,則h'(x)=2+axln2a。

    當a>0,a≠1時,h'(x)>0,所以h(x)在R上是增函數(shù)。

    又h(0)=f'(0)=0,所以f'(x)>0的解集為(0,+∞),f'(x)<0的解集為(-∞,0)。

    故函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間為(0,+∞),單調減區(qū)間為(-∞,0)。

    (2)問題等價于f(x)在[-1,1]的最大值與最小值之差小于等于e-1。

    由(1)可知f(x)在[-1,0]上遞減,在[0,1]上遞增,所以f(x)的最小值為f(0)=1,而最大值是f(-1),f(1)中較大的那個。且f(-1)=+1+lna ,f(1)=a+1-lna,f(1)-f(-1)=a--2lna。

    故對 ?x1,x2∈ [-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤f(1)-f(0)=a-lna。

    則a-lna≤e-1。

    由a-lna≤e-1,可得a的取值范圍是1<a≤e。

    點評:對于任意性、存在性雙變量函數(shù)值差的問題,根據(jù)特征常常可以轉化為最值問題進行解決,即構造關于值域的有關函數(shù),我們稱之為值域寬度問題。

    三、分離構造統(tǒng)一變量

    例3已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1(a≤-2),證明:對任意x1,x2∈(0,+∞),f(x1)-f(x2)≥4x1-x2。

    分析:由題中所證結論入手,發(fā)現(xiàn)需要證明f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1,根據(jù)特征構造函數(shù),利用函數(shù)單調性證明結論即可。

    解:由題意知a≤-2,f(x)的定義域為(0,+∞),且f'(x)=+2ax=

    則f(x)在(0,+∞)上單調遞減。

    不妨假設x1≥x2,那么|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|等價于f(x2)-f(x1)≥4x1-4x2,即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1。

    從而g(x)在(0,+∞)上單調遞減,故g(x1)≤g(x2),即f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2。

    故對任意x1,x2∈(0,+∞),總滿足|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|。

    例4已知函數(shù)f(x)=x2-8x+alnx(a∈R)。

    (1)當x=1時,f(x)取得極值,求a的值并判斷x=1是極大值點還是極小值點;

    (2)當函數(shù)f(x)有兩個極值點x1,x2(x1<x2),且x1≠1時,總有3x1-)成立,求t的取值范圍。

    分析:對于第二問根據(jù)函數(shù)在定義域內有兩個極值點x1,x2(x1<x2),問題轉化為t(x)=2x2-8x+a=0在(0,+∞)上有兩個不等的正實數(shù)根,得到0<a<8,。因為變量x1,x2獨立性不強,不能直接構造,所以轉化為x1的函數(shù)解決。

    解:(1)f'(x)=(x>0),f'(1)=0,則a=6。

    (2)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),有兩個極值點x1,x2(x1<x2),則t(x)=2x2-8x+a=0在(0,+∞)上有兩個不等的正實數(shù)根,所以0<a<8。

    從而問題轉化為當0<x1<2,且x1≠1

    1)當t≥0時,h'(x)>0,則h(x)在(0,2)上為增函數(shù)。但h(1)=0,①式在(1,2)上不成立。

    2)當t<0時,方程tx2+2x+t=0的Δ=4-4t2。若Δ≤0,即t≤-1時,h'(x)≤0,所以h(x)在(0,2)上為減函數(shù)。且h(1)在區(qū)間(0,1)及(1,2)上同號,故①式成立。

    若Δ>0,即-1<t<0時,y=tx2+2x+t的對稱軸x=->1。

    綜上可知,t≤-1滿足題意。

    點評:對于雙變量問題,若兩個變量地位均等,相互獨立,能分離,則分離構造一元函數(shù);不能分離,則合二為一,構造一元函數(shù)。

    四、齊次式構造統(tǒng)一變量

    例5已知f(x)=xlnx-mx2-x,m∈R。若f(x)有兩個極值點x1,x2,且x1<x2,求證:x1x2>e2(e為自然對數(shù)的底數(shù))。

    分析:由于題中兩個變量x1,x2獨立性不強,所以可通過兩邊取對數(shù)轉化為證明lnx1+lnx2>2。由導函數(shù)對應方程的根x1,x2,可得通過兩個式子的減加得到關于x1,x2的齊次式。這樣我們可以通過換元,設,構造一元變量函數(shù)解決問題。

    證明:欲證x1x2>e2,需證lnx1+lnx2>2。若f(x)有兩個極值點x1,x2,即函數(shù)f'(x)有兩個零點。又因為f'(x)=lnxmx,所以x1,x2是方程f'(x)=0的兩個不同實根。

    于是ln x1+ln x2=

    又0<x1<x2,可設,則t>1。

    因此,lnx1+ln

    要證lnx1+lnx2>2,即證2,其中t>1。

    所以h(t)在(1,+∞)上為增函數(shù)。

    由于h(1)=0,因此,h(t)≥h(1)=0。

    點評:對于齊次構造解決極值點偏移的二元變量問題,常常通過對導函數(shù)對應的零點方程相減,進而結合需要對導函數(shù)的零點方程相加,方便構造出對應兩個零點的齊次方程,順其自然消去參數(shù),結合所證構造對應函數(shù)解決問題。

    五、切線法統(tǒng)一變量

    例6已知函數(shù)f(x)=lnx+(e-a)·x-2b,若不等式f(x)≤0對x∈(0,+∞)恒成立,求的最小值。

    分析:問題可轉化為lnx≤(a-e)x+2b恒成立。設(x0,y0)為曲線y=lnx上的任意點,求解切線方程得到lnx≤x+lnx0-1,利用系數(shù)相等得到進而構造關于x0的函數(shù),求解最值即可。

    解:由題意知lnx≤(a-e)x+2b恒成立。

    設函數(shù)y=lnx上一點為(x0,y0),則x+lnx0-1。

    分析:由題意知可轉化為ex≥(a+2)x+b-2恒成立。設直線與指數(shù)函數(shù)的切點坐標為(x0,ex0),同上,可得到=1-x0,構造函數(shù)解決。

    解:由題意知ex≥(a+2)x+b-2恒成立,可構造函數(shù)f(x)=ex,y=(a+2)x+b-2。

    設直線與指數(shù)函數(shù)的切點坐標為(x0,ex0),k=f'(x0)=ex0。

    所以切線方程為y=ex0·x+ex0-x0ex0,則ex≥ex0·x+ex0-x0ex0。

    點評:當然也可以轉化為f(x)=ex-(a+2)x+2-b≥0恒成立,再轉化為f(x)≥f(x)min=0,得到b-5=(a+2)-(a+2)·ln(a+2)-3,因此,=1-ln(a+2)-。令a+2=t,構造函數(shù)g(t)=1-2),求解最大值。

    總之,將不等式轉化為兩個函數(shù)的不等關系,輔助以幾何關系,如常見的ex≥x+1,ln

    x≤x-1等,直觀分析曲線間的位置關系,再利用公切線解決問題。

    六、對稱構造統(tǒng)一變量

    例8已知函數(shù)f(x)=xe-x(x∈R)。

    (1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間和極值;

    (2)如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),證明x1+x2>2。

    分析:對于第二問,可構造輔助函數(shù)F(x)=f(1+x)-f(1-x),利用其單調性易知F(0)=0,進而得到F(x)>0(x>0),即f(1+x)>f(1-x),然后進行代換即可。

    解:(1)易得f(x)在(-∞,1)上內是增函數(shù),在(1,+∞)上內是減函數(shù)。

    (2)令F(x)=f(1+x)-f(1-x)=(1+x)e-(1+x)-(1-x)ex-1,則 F'(x)=x[ex-1-e-(1+x)]。

    當x>0時,F(xiàn)'(x)>0,F(xiàn)(x)在(0,+∞)上單調遞增。

    故F(x)>F(0)=0?f(1+x)>f(1-x)。

    不妨設x1<1<x2,則f(x1)=f(x2)=f[1+(x2-1)]>f[1-(x2-1)]=f(2-x2)。

    因為x1<1,2-x2<1,且f(x)在(-∞,1)上單調遞增,所以x1>2-x2,x1+x2>2。

    例9已知函數(shù)f(x)=(x-1)e1-x。

    (1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程。

    (2)若函數(shù)f(x)與函數(shù)y=x2-4x+m(m∈R)的圖像總有兩個交點,設這兩個交點的橫坐標分別為x1,x2。①求實數(shù)m的取值范圍;②求證:x1+x2>4。

    分析:(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義求得切線的斜率,再由點斜式得切線方程。(2)①兩個函數(shù)作差后構造新函數(shù),這個新函數(shù)的最大值大于0,即可解得實數(shù)m的范圍;②不妨設x1<2<x2,則4-x2<2,且函數(shù)g(x)在(-∞,2)上單調遞增,欲證x1+x2>4,只需證明g(x1)>g(4-x2),而g(x1)=g(x2),所以只需證明g(x2)>g(4-x2),然后作差構造函數(shù)證明其最小值大于0即可。

    解:(1)由已知得,則,f(1)=0。又因為f'(1)=1,所以曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=x-1。

    (2)①令g(x)=f(x)-x2+4x-m=(x-1)e1-x-x2+4x-m,則g'(x)=-(e1-x+2)(x-2)。

    由g'(x)<0得,x>2;

    由g'(x)>0得,x<2。

    易知x=2為g(x)的極大值點。

    當x→-∞時,g(x)→-∞,當x→+∞時,g(x)→-∞,故當x<2時函數(shù)g(x)有負值存在,在x>2時也有負值存在。

    由題意知,只需滿足g(x)max=+4-m>0,則m的取值范圍是m<+4。

    ②由題意知x1,x2為函數(shù)g(x)=f(x)-x2+4x-m=(x-1)e1-x-x2+4x-m的兩個零點。由①不妨設x1<2<x2,則4-x2<2,且函數(shù)g(x)在(-∞,2)上單調遞增。

    欲證x1+x2>4,只需證明g(x1)>g(4-x2),而g(x1)=g(x2),所以只需證明g(x2)>g(4-x2)。

    令H(x2)=g(x2)-g(4-x2)(x2>2),則H(x2)=(x2-1)e1-x2+(x2-3)ex2-3。

    故H'(x2)=(x2-2)(ex2-3-e1-x2)。因為x2>2,所以=e2x2-4>1,即ex2-3-e1-x2>0。

    所以H'(x2)>0,即H(x2)在(2,+∞)上為增函數(shù),H(x2)>H(2)=0。故g(x2)>g(4-x2)成立,所以x1+x2>4。

    點評:對于比較復雜的雙變量函數(shù)問題,直接分析往往不容易得手,所以常常進行對稱構造解決問題,常見的處理方法為:對于x1+x2>2m(<2m)(f'(m)或f″(m)=0),構造輔助函數(shù)F(x)=f(x)-f(2m-x),結合求導,x1,x2的范圍,求解不等式即可;對于x1x2>m2(<m2)(f'(m)=0或f″(m)=0),可構造函數(shù)F(x)=f(x)-進行解決;對于其他復雜形式的偏移問題常常通過轉化為基本類型,再構造函數(shù)解決。

    以上就雙變量問題進行了簡單的歸納討論,對于平時的雙變量問題主要是確定主元問題,恒成立與能成立問題的值域問題、通過分離轉化構造函數(shù)問題、偏移問題及切線問題,解題的關鍵是如何轉化,所以對雙變量問題辨析問題的結構是首要問題,選取方法是解決問題的重要途徑,變量歸一是解決問題的最終目標,細節(jié)操作是實現(xiàn)目標的重要手段。

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