2018年高考全國(guó)課標(biāo)Ⅰ卷理科第21題的多角度證明

■福建省泉州市第七中學(xué) 彭耿鈴

2018年全國(guó)課標(biāo)Ⅰ卷的理科第21題為導(dǎo)數(shù)解答題，形式上有“簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單”之感，試題以常規(guī)的知識(shí)和方法為載體，挖掘了數(shù)學(xué)的學(xué)科本質(zhì)，較好地考查了考生的綜合能力和學(xué)科素養(yǎng)，有利于科學(xué)選拔創(chuàng)新人才。本文旨在探究此題型規(guī)律，揭示解題方法，提供解題規(guī)律，希望對(duì)讀者以后參加高考大有幫助。

原題(2018年課標(biāo)Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第21題)已知函數(shù)f(x)=-x+alnx。

(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明:＜a-2。

解：(1)略。(2)由(1)知，當(dāng)且僅當(dāng)a＞2時(shí)f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)。由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2滿足x2-ax+1=0，所以x1+x2=a，x1x2=1，不妨設(shè)x1＜x2，則x2＞1。由于＜a-2等＜a-2，即證明:ln x2-lnx1＜x2-x1。

法二(利用對(duì)數(shù)均值不等式):要證明lnx2-lnx1＜x2-x1，即證明＞1，由對(duì)數(shù)均值不等式(當(dāng)b＞a＞0時(shí)，b＞=1，證畢。

法三(轉(zhuǎn)化法):因?yàn)閤1+x2=a，x1x2=1，不妨設(shè)x1＜x2，則0＜x1＜1，故證明＜a-2等價(jià)于證明x1+x2-2，即證明f(x1)-+2x1＞f(x2)-+2x2，令h(x)=f(x)-x2+2x，則證明原不等式轉(zhuǎn)化為證明h(x1)＞h(x2)，即證明x＜1)，令F(x)=h(x)-h）(0＜x＜11111)，則:

法四(變換主元):由(1)知，f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a＞2，且f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2滿足x2-ax+1=0，所以x1x2=1，不妨設(shè)x1＜x2，則，故x2-x1=，因?yàn)榈葍r(jià)于證明＜a-2，即證明ln＜x-x，即證明

21(a＞2)，即證明＜0(a＞2)，構(gòu)造函數(shù)h(a)=(a＞2)，則h'(a)=2·＜0對(duì)a＞2恒成立，故h(a)=在(2，+∞)上單調(diào)遞減，故h(a)＜h(2)=0，即對(duì)a＞2恒成立，證畢。

法五(定義法):由(1)知，f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a＞2。由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2滿足x2-ax+1=0，所以x1+x2=a，x1x2=1，不妨設(shè)x1＜x2，則x2＞1。由于-1+a·=-2+，由斜率及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知:故要證＜a-2，只需要證[f'(x)]max≤a-2，即只需要證a2≥a+2(a＞2)，顯然成立，證畢。

法六(構(gòu)造法):由(1)知，f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a＞2。由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2滿足x2-ax+1=0，所以x1+x2=a，x1x2=1，不 妨 設(shè) x1＞x2，則＜a-2?f(x1)-f(x2)＜(a-2)(x1-x2)，即等價(jià)于證明f(x1)-(a-2)·x1＜f(x2)-(a-2)x2(*)。構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-(a-2)x=-x+alnx-(a-2)x，則(*)等價(jià)于證明:g(x1)＜g(x2)。因?yàn)間'(x)=由f'(x)=0得x2-ax+1=0，即x2=ax-1，故g'(x)==2-a，因?yàn)閍＞2，所以g'(x)＜0，故g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減，由x1＞x2知，g(x1)＜g(x2)，證畢。

以上的幾種證明方法更容易接近問(wèn)題的本質(zhì)，使得同學(xué)們更容易接受，解題思維更加流暢，更容易地尋找解題的方向。因此同學(xué)們?cè)谌粘５膶W(xué)習(xí)中，應(yīng)多視角思考，經(jīng)歷用不同方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，才能有利于開(kāi)拓?cái)?shù)學(xué)視野，為自己的終生發(fā)展、持續(xù)發(fā)展、多元發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)。