高慧明老師講數(shù)學（1）
——曲線軌跡方程的求法綜析

■北京市第十二中學 高慧明

編者的話：數(shù)學在高考中占有重要地位，而數(shù)學試題一般都有不小的難度，該怎樣求解數(shù)學試題呢?方法很重要，我們因此特邀一線數(shù)學名師高慧明老師講解數(shù)學問題，分析解題思路，探究解題規(guī)律，總結(jié)解題方法，以幫助同學們領(lǐng)悟求解數(shù)學問題的關(guān)鍵所在。本期主要講解曲線軌跡方程的求法，請同學們讀讀想想，希望能有所收獲喲!

本刊特邀欄目專家簡介:

高慧明首屆全國十佳班主任，北京市高中數(shù)學特級教師，國家教育部課程改革“全國先進工作者”，全國著名高考數(shù)學命題與考試研究專家，國家教育部“國培計劃”全國中小學教師培訓和班主任培訓特邀主講專家，受邀為教育部“國培計劃”做有關(guān)高中數(shù)學課堂教學、班級管理、教師專業(yè)成長等專題報告多場，在全國引起強烈反響。出版?zhèn)€人專著《高考數(shù)學命題規(guī)律與教學策略》《高中數(shù)學思想方法及應(yīng)用》《讓高中生學會學習》《高慧明班級高效管理藝術(shù)》《高慧明數(shù)學教學實踐與研究》(叢書)等多部，應(yīng)邀主編、參編教材和教學著作30余部。

軌跡問題是平面解析幾何中非常重要的一類問題，它能綜合考查同學們數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)換、分類討論、邏輯推理等方面的數(shù)學思想方法和能力，歷來都是高考命題的熱點。求軌跡方程的方法比較多，但從宏觀上說不外乎兩個途徑:一是利用平面幾何知識或圓錐曲線的定義求軌跡方程，這類題目對計算的要求不高，主要考查觀察、聯(lián)想的能力;二是利用代數(shù)的方法通過消參數(shù)得出軌跡方程，解決問題的關(guān)鍵是對式子的變形。

一、直接法求軌跡方程

若動點滿足題設(shè)中明顯的已知等量關(guān)系或易借助平面幾何中的有關(guān)定理和性質(zhì)(勾股定理、垂徑定理、中線定理、連心線的性質(zhì)等)分析出等量關(guān)系，則只需把這種易于表達的關(guān)系“翻譯”成含x，y的關(guān)系式，就能得到曲線的軌跡方程。

【典例1】設(shè)直線l與拋物線Ω:y2=4x相交于不同兩點A，B。O為坐標原點。

(1)求拋物線Ω的焦點到準線的距離;

(2)若直線l又與圓C:(x-5)2+y2=16相切于點M，且M為線段AB的中點，求直線l的方程;

解析：(1)由拋物線定義得，拋物線Ω的焦點到準線的距離為2。

(2)設(shè)直線l:x=my+b。

當m=0時，x=1和x=9符合題意。

當m≠0時，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)。

Δ=16(m2+b)＞0，y1+y2=4m，所以x1+x2=my1+b+my2+b=4m2+2b。

所以線段AB的中點M(2m2+b，2m)。

所以Δ=16(m2+b)=16(3-m2)＞0，得0＜m2＜3。

綜上所述，直線l的方程為:x=1，x=9。

(3)由(2)可知Δ=16(m2+b)＞0，y1+y2=4m，y1y2=-4b。

當b=0時，直線AB過原點，所以Q(0，0)，不符合題意。

綜上，點Q的軌跡方程為x2-4x+y2=0(x≠0)。

點評：本題第(3)問中，由OQ⊥AB，且A，B，P，Q四點共線，可得OQ⊥PQ，進而可得=0，將此條件進行翻譯，即可得點Q的軌跡方程。

【典例2】在平面直角坐標系xOy中，已知A(-12，0)，B(0，6)，點P在圓O:x2+y2=50上，若 ≤20，則點P的橫坐標的取值范圍是____。

解析：(方法一)根據(jù)題意，設(shè)P(x0，y0)，則有+=50。

故2x0-y0+5≤0，易知點P的軌跡為圓O在直線2x-y+5=0上方的部分(包括交點)。

圖1

圖2

點評：本題考查了軌跡方程的求法，其中方法一直接設(shè)出動點P的坐標，并對“點P在 圓O：x2+y2=50 上 ，≤20”進行翻譯，思路較為簡單；而方法二是對“若A，B為兩定點，且=0，則點P的軌跡是以AB為直徑的圓”這一結(jié)論的應(yīng)用，要求考生有一定程度的積累。但本題的重點不是求方程，而是利用方程去分析曲線的性質(zhì)，這是命題的一種新趨勢，突出了解析幾何的核心思想——通過探究曲線的幾何特征建立方程，再通過方程性質(zhì)研究曲線的幾何性質(zhì)，同學們應(yīng)給予重視。

二、定義法求軌跡方程

若動點的軌跡符合某種曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線)的定義，則可根據(jù)定義直接設(shè)出所求方程，通過待定系數(shù)法求解。

【典例3】如圖3，已知圓(x-2)2+y2=9的圓心為C。直線l過點M(-2，0)且與x軸不重合，l交圓C于A，B兩點，點A在點M，B之間。過M作直線AC的平行線交直線BC于點P，則點P的軌跡方程是____。

圖3

解析：如圖3所示，因為AC，BC都是圓C的半徑，所以|AC|=|BC|，又AC//PM，所以∠PBM=∠BAC=∠BMP，所以|PM|=|PB|。

由于|PM|-|PC|=|PB|-|PC|=|BC|=3＜|MC|，所以點P為以M(-2，0)，C(2，0)為焦點的雙曲線的右支(除頂點外)。故點P的軌跡方程為＞0)。

點評：熟悉一些基本曲線的定義是用定義法求曲線方程的關(guān)鍵，求解過程中需注意定點的軌跡是曲線還是曲線的一部分，在寫軌跡方程時一定要除去不符合條件的點。

【拓展延伸】圓及圓錐曲線的第二定義在解題中往往也有意想不到的作用，現(xiàn)歸納如下:

(1)圓:到兩定點距離之比等于λ(λ＞0，且λ≠1)的動點的軌跡是以點圓心，長為半徑的圓;

(2)橢圓:平面上到定點的距離與到定直線間距離之比為常數(shù)e(0＜e＜1)的點的集合(定點不在定直線上);

(3)雙曲線:平面上到定點的距離與到定直線間距離之比為常數(shù)e(e＞1)的點的集合(定點不在定直線上)。

其中運用第二定義得到的點的軌跡也叫“阿波羅尼斯圓”，在高考中已熱考多年，有興趣的同學可以了解一下。

三、相關(guān)點法求軌跡方程

若動點滿足的條件不便直接轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，但動點P是隨著另一動點P'的運動而運動的，而P'的運動規(guī)律已知(該點坐標滿足某已知曲線方程)，則可以設(shè)出P(x，y)，用x，y表示出相關(guān)點P'的坐標并代入已知曲線方程，即可得到動點P的軌跡方程。

【典例4】如圖4所示，已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面內(nèi)有兩個動點M和N，滿足的取值范圍是( )。

圖4

解析：分別以AB，AC所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，則A(0，0)，B(4，0)，C(0，6)。

設(shè) N(x0，y0)，因為，即N是MC的中點，所以x=2x0，y=2y0-6。

代入方程x2+y2=4，得(2x0)2+(2y0-6)2=4，整理得+(y0-3)2=1，所以點N的軌跡方程為x2+(y-3)2=1，即點N的軌跡是以(0，3)為圓心，1為半徑的圓，易得的取值范圍是[4，6]。故選B。

點評：相關(guān)點法也可稱為代入法，其關(guān)鍵在于找到動點和其相關(guān)點坐標間的等量關(guān)系。如本題中，將翻譯為點N是線段MC的中點，利用中點坐標公式建立M，N兩點間的等量關(guān)系。

四、參數(shù)法求軌跡方程

有時動點滿足的幾何條件不易得出，也無明顯的相關(guān)點，但卻發(fā)現(xiàn)這個動點的運動常常受到另一個變量(斜率、截距、角度等)的制約，可嘗試分別建立動點橫、縱坐標與這個變量的函數(shù)關(guān)系，通過消參得到軌跡的普通方程。

【典例5】設(shè)M、N、T為橢圓上的三個點，M、N在直線x=8上的射影分別為 M1，N1。

(1)若直線MN過原點O，直線MT、NT的斜率分別為k1，k2，求證:k1k2為定值。

(2)若M、N不是橢圓長軸的端點，點L坐標為(3，0)，△M1N1L與△MNL的面積之比為5，求MN中點K的軌跡方程。

解析：(1)設(shè) M(p，q)，N(-p，-q)，

故直線MN經(jīng)過點F(2，0)，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，K(x0，y0)，

①當直線MN垂直于x軸時，弦MN的中點為F(2，0)。

②當直線MN與x軸不垂直時，設(shè)MN的方程為y=k(x-2)，則:(3+4k2)x2-16k2x+16k2-48=0。

綜上所述，點K的軌跡方程為(x-1)2+=1(x＞0)。

點評：在利用參數(shù)法求出軌跡方程后，應(yīng)注意檢驗其是否符合題意，既要檢驗是否增解(即以該方程的某些解為坐標的點不在軌跡上)，又要檢驗是否丟解(即軌跡上的某些點未能用所求的方程表示)，其檢驗方法為研究運動中的特殊情形或極端情形。如本題第(2)問用直線MN的斜率k表示出x0，y0后，注意到k≠0，從而可得x0＞0，y0≠0。

對于軌跡方程問題，方法的選擇尤為重要，同學們一定要認真分析所給條件，選擇合適的方法求解，一般優(yōu)先選用直接法、定義法。在求出曲線方程的方程之后，應(yīng)仔細檢查有無“不法分子”摻雜其中，將其剔除。另一方面，又要注意有無“漏網(wǎng)之魚”仍逍遙法外，要將其“捉拿歸案”，以確保軌跡方程的純粹性及完備性。但是這里請讀者一定要注意，從現(xiàn)在的考試形式分析的話，此類問題的重點不在求方程上，而是要能利用所求方程去分析曲線的性質(zhì)，本文的部分例題對此有所體現(xiàn)，望讀者能認真體會，有所感悟。