巧設(shè)數(shù)學(xué)問(wèn)題 拓展思維深度

劉彩霞

教學(xué)內(nèi)容：人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)第90～91頁(yè)的例1、例2及相關(guān)內(nèi)容。

教學(xué)目標(biāo)：

1.在具體問(wèn)題情境中，感受求平均數(shù)的需求。通過(guò)操作和思考體會(huì)平均數(shù)的意義，知道平均數(shù)的求法，體會(huì)平均數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的作用，并能夠用自己的語(yǔ)言解釋其實(shí)際意義。

2.培養(yǎng)學(xué)生深度思考的能力，增強(qiáng)合作交流的意識(shí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

教學(xué)重、難點(diǎn)：理解平均數(shù)的意義，掌握求平均數(shù)的方法。在生活中理解平均數(shù)的意義及作用。

教學(xué)過(guò)程：

一、生活問(wèn)題導(dǎo)入，激趣生疑

（多媒體出示資訊：《 2015年世界衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)》報(bào)告顯示：目前中國(guó)女性的平均壽命是77歲。）

師：老師看了這份資料很高興，因?yàn)槲译x這個(gè)年齡還很遠(yuǎn)?？墒切∶鲄s很郁悶，因?yàn)樗哪棠桃呀?jīng)76歲了，他為什么郁悶?zāi)兀?/p>

生：他覺得奶奶快去世了。

師：事實(shí)真像小明想的這樣嗎？這節(jié)課我們就一起來(lái)研究這方面內(nèi)容。

二、分層探究，建構(gòu)新知

1. 聯(lián)系生活，情境激趣。

師：我們班級(jí)要進(jìn)行一場(chǎng)男女踢毽子對(duì)抗賽?，F(xiàn)在邀請(qǐng)大家當(dāng)裁判員，你們?cè)敢鈫幔?/p>

第一輪：

師：誰(shuí)贏了，理由是什么？

生：男生隊(duì)贏，因?yàn)槟猩咳颂叩亩急扰唷?/p>

第二輪：

師：這回?cái)?shù)據(jù)發(fā)生變化了，誰(shuí)贏了？ 理由是什么？

生：女生贏，因?yàn)榕?duì)一共踢了64個(gè)，男生隊(duì)一共踢了60個(gè)。女生隊(duì)踢的總數(shù)比男生隊(duì)的總數(shù)多，所以女生隊(duì)贏。

師：非常好，這是利用總數(shù)進(jìn)行比較。

師：目前兩隊(duì)踢成平手。第三輪誰(shuí)贏呢？

第三輪：

師：這得怎么評(píng)判？比較兩隊(duì)總數(shù)，女生隊(duì)同意嗎？

生：不同意，女生隊(duì)比男生隊(duì)少了一個(gè)人，太不公平了。

師：不能比較兩隊(duì)總數(shù)，那怎么評(píng)判呢？

（先獨(dú)立思考，再同桌交流。）

師：誰(shuí)想出好辦法了？

生：我們可以先求出每隊(duì)平均每人踢多少個(gè)？然后再比較。

師：真善于思考！的確，不管是4個(gè)人還是5個(gè)人，算出他們平均每人踢了多少個(gè)，再來(lái)比較，這個(gè)方案比較合理。

（板書問(wèn)題：女生隊(duì)平均每人踢多少個(gè)？男生隊(duì)平均每人踢多少個(gè)？）

2.建構(gòu)概念，認(rèn)識(shí)平均數(shù)。

師：我們先來(lái)看看女生平均每人踢了多少個(gè)。不計(jì)算，你能估計(jì)一下嗎？

生：把高蕊踢的20個(gè)，給于水瑤一個(gè)，這樣女生每人都是踢了19個(gè)。

師：真有想法，現(xiàn)在我把這些數(shù)據(jù)放在統(tǒng)計(jì)圖中。（課件演示。）像這樣幾個(gè)不相同的數(shù)據(jù)，從多的里面移一些補(bǔ)給少的，使它們變得同樣多，數(shù)學(xué)中把這一過(guò)程叫做移多補(bǔ)少。（板書。）

師：剛才同學(xué)們利用移多補(bǔ)少的方法估計(jì)出女生平均每個(gè)人踢了19個(gè)?，F(xiàn)在我們來(lái)實(shí)際計(jì)算一下。

（學(xué)生計(jì)算解答。）

生1：女生隊(duì)平均每個(gè)人踢了19個(gè)。

生2：我是先求出女生隊(duì)一共踢了多少個(gè)，再用總數(shù)除以總?cè)藬?shù)，就等于女生隊(duì)平均每個(gè)人踢了多少個(gè)。

師：要求女生隊(duì)平均每個(gè)人踢了多少個(gè)，就是用踢的總個(gè)數(shù)除以總?cè)藬?shù)。（板書。）

3.深度思考，體會(huì)平均數(shù)的意義和特點(diǎn)。

（1）感受平均數(shù)是一個(gè)虛擬的數(shù)。

師：通過(guò)計(jì)算我們得出19是她們4個(gè)人平均每人踢的個(gè)數(shù)，想一想這個(gè)19是某一個(gè)人的成績(jī)嗎？是什么？

生1：是把4個(gè)學(xué)生踢的總數(shù)平均分成4份得到的數(shù)。

生2：是平均成績(jī)。

師：注意觀察，在這4個(gè)人當(dāng)中，有的人踢的個(gè)數(shù)要比平均成績(jī)——

生：高。

師：還有的人踢的個(gè)數(shù)要比平均成績(jī)——

生：低。

師：看樣子這個(gè)平均成績(jī)既不是這里最大的，也不是這里最小的。它反映的是女生隊(duì)踢毽子的——

生1：總體情況。

生2：整體水平。

（師板書：整體水平。）

師：這個(gè)19在數(shù)學(xué)中就叫做這組數(shù)據(jù)的——平均數(shù)。（板書課題。）

師：平均數(shù)是為了代表這組數(shù)據(jù)的總體水平而創(chuàng)造出來(lái)的一個(gè)“虛擬”的數(shù)。

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)19是哪幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)？

生：18、20、19、19。

（2）體會(huì)平均數(shù)的取值范圍。

師：男生隊(duì)平均每人踢了多少個(gè)？你能估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)嗎？這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)應(yīng)該在什么范圍？

生1：比20少，比15多。

生2：在15到20之間。

師：非常好，也就是說(shuō)平均數(shù)比最大的數(shù)據(jù)小，比最小的數(shù)據(jù)大。

師：下面動(dòng)手算一算，看看你估計(jì)得準(zhǔn)不準(zhǔn)。

（學(xué)生完成后指名板演。）

師：為什么除以5而不是除以4了呢？

生：因?yàn)槟猩?duì)一共5個(gè)人，所以得除以5。

師：17代表的是什么？

生：代表男生隊(duì)的整體水平。

（3）對(duì)比整體與個(gè)體。

師：5個(gè)男生的隊(duì)伍和4個(gè)女生隊(duì)伍的PK，誰(shuí)贏了？為什么？

生：女生隊(duì)贏了，因?yàn)榕?duì)整體水平高。

師：事實(shí)勝于雄辯，人多不一定就勝利。5個(gè)男生的隊(duì)伍輸給了4個(gè)女生的隊(duì)伍。那是不是這里的男生個(gè)個(gè)都不如女生呢？

生1：男生隊(duì)雖然輸了，但并不代表每個(gè)男生都輸給女生。

生2：張銘陽(yáng)就比于水瑤和辛佳瑩踢的都多。

生3：于水瑤踢的比周卓然少。

師：所以說(shuō)，平均數(shù)代表的是一組數(shù)據(jù)的整體水平。整體水平高并不代表每個(gè)人的水平高，整體水平低并不代表每個(gè)人的水平低。

（4）感受平均數(shù)的變化。

師：如果女生再派出一名女生（陸婉婷）上場(chǎng)。情況又會(huì)怎么樣呢？討論一下：陸婉婷踢幾個(gè)，女生整體水平不變？

生：踢19個(gè)。

師：如果她只踢了4個(gè)，平均數(shù)會(huì)變化嗎？如果她踢了24個(gè)，平均數(shù)又會(huì)怎樣？由此，你能得出什么結(jié)論？

（自主探究，合作交流。）

生1：如果她只踢了4個(gè)，平均數(shù)是16。女生隊(duì)就輸了。

生2：如果她踢了24個(gè)，平均數(shù)是20，女生隊(duì)還贏。

（課件直觀演示，觀察比較。）

師：所以說(shuō)平均數(shù)很敏感，它會(huì)隨著某個(gè)數(shù)據(jù)的變化而發(fā)生變化，在統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)時(shí)一定要做到準(zhǔn)確。

三、回顧新知，生活運(yùn)用

師：現(xiàn)在誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)對(duì)平均數(shù)的認(rèn)識(shí)？

生1：平均數(shù)是虛擬的數(shù)。

生2：它體現(xiàn)的是一組數(shù)據(jù)的整體水平。

生3：平均數(shù)的范圍是比最小的數(shù)據(jù)大，比最大的數(shù)據(jù)小。

生4：我知道可以用移多補(bǔ)少的方法求平均數(shù)。

生5：也可以用總數(shù)除以總份數(shù)求平均數(shù)。

師：求平均數(shù)的兩種方法各有各的長(zhǎng)處，我們可以根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)來(lái)靈活選擇。

師：生活中有很多關(guān)于平均數(shù)的應(yīng)用，你能找到嗎？

生：期中、期末考完試后，比較哪個(gè)班的成績(jī)好，就是比較平均分的多少。

師：如果你的成績(jī)低，就會(huì)把班級(jí)的平均分拉下去，為了班級(jí)的整體水平也要好好學(xué)習(xí)。

師：坐公交車時(shí)，標(biāo)有120厘米以下兒童免票，為什么是120厘米呢？

生：因?yàn)檫@個(gè)身高的孩子都特別小。

師：差不多，這是根據(jù)某一年齡兒童的平均身高得到并制定的政策。

師：對(duì)于平均數(shù)的研究，你還有問(wèn)題嗎？

（學(xué)生質(zhì)疑。）

四、分層練習(xí)，學(xué)以致用

1.基礎(chǔ)練習(xí)。

下面說(shuō)法正確嗎？正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”。

王悅5次跳遠(yuǎn)的總成績(jī)是10m，她每次的跳遠(yuǎn)成績(jī)肯定都是2m。（ ）

2.拓展練習(xí)。

（1）一條小河平均水深0.8m，小明身高是1.3m，下去會(huì)有危險(xiǎn)嗎？

（2）選擇正確算式的字母填在括號(hào)里。

2014年小剛家各季度用水量情況統(tǒng)計(jì)圖

小剛家平均每月用水多少噸？ （ ）

A.（16+24+35+21）÷4

B.（16+24+35+21）÷12

C.（16+24+35+21）÷365

師：除以4，求的是什么？除以365呢？

3.思維訓(xùn)練。

李想的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩科的平均分是92分，英語(yǔ)考了89分，數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、英語(yǔ)三科的平均分是多少？

五、實(shí)踐作業(yè)，課后延伸

師：回到開始的問(wèn)題，如果小明學(xué)了今天的知識(shí)還會(huì)郁悶嗎？為什么？

生：不會(huì)了。平均年齡不代表全部，有的人還能活到100多歲呢。

師：要想長(zhǎng)壽必須有個(gè)好身體，標(biāo)準(zhǔn)的身高體重十分關(guān)鍵。課后請(qǐng)統(tǒng)計(jì)全班同學(xué)的身高和體重，并計(jì)算出全班同學(xué)的平均身高和平均體重。再和自己的身高、體重比較，看看你發(fā)現(xiàn)了什么？

師：這是我國(guó)標(biāo)準(zhǔn)的身高體重?cái)?shù)據(jù)，大家看一下。為了身體健康要加強(qiáng)運(yùn)動(dòng)，愿同學(xué)們都有健康的體魄。

反思：

平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要的概念。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，它常用于表示統(tǒng)計(jì)對(duì)象的整體水平，是在第一學(xué)段學(xué)生已經(jīng)理解了平均分及除法運(yùn)算含義的基礎(chǔ)上教學(xué)的。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》特別強(qiáng)調(diào)從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度來(lái)理解。所以本節(jié)課筆者把教學(xué)重點(diǎn)放在平均數(shù)的意義上，創(chuàng)造性地使用教材，將例1、例2融合在一起，同時(shí)將所有人名都設(shè)計(jì)成本班學(xué)生的名字，構(gòu)建數(shù)學(xué)思考活動(dòng)，讓學(xué)生在具體問(wèn)題情境中加深對(duì)平均數(shù)的理解和想象，形成良好的數(shù)感。傳統(tǒng)教學(xué)側(cè)重于從算法的角度理解平均數(shù)，這容易將平均數(shù)的學(xué)習(xí)演變?yōu)橐环N簡(jiǎn)單的技能學(xué)習(xí)而忽略了平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。所以筆者從概念本質(zhì)入手，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)和思考過(guò)程，深度建構(gòu)，側(cè)重于探究為什么學(xué)習(xí)平均數(shù)，平均數(shù)概念的本質(zhì)意義和特點(diǎn)是什么，平均數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的統(tǒng)計(jì)價(jià)值等。個(gè)人認(rèn)為本節(jié)課有以下亮點(diǎn)：

1.層層深入，引出平均數(shù)的重要性。

學(xué)生在充當(dāng)裁判員的過(guò)程中，遇到不同的情況：第一輪比賽可以直觀看出數(shù)據(jù)的多少，直接評(píng)判；第二輪比賽無(wú)法直接判斷，可以通過(guò)計(jì)算總數(shù)判斷出輸贏；第三輪比賽通過(guò)“兩隊(duì)人數(shù)不同，不能用總數(shù)比較”這一思維的矛盾，促使學(xué)生進(jìn)一步理解平均數(shù)的意義，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)運(yùn)用平均數(shù)作比較的必要性。

2.對(duì)比中感受平均數(shù)的虛擬性。

平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義是它能刻畫和代表一組數(shù)據(jù)的整體水平。平均數(shù)不同于原始數(shù)據(jù)中的每一個(gè)具體數(shù)據(jù)，但又與每一個(gè)原始數(shù)據(jù)相關(guān)，表示的是這組數(shù)據(jù)的平均水平，這就是平均數(shù)的“虛擬性”。為了讓學(xué)生感悟這一點(diǎn)，教學(xué)時(shí)我讓學(xué)生將平均成績(jī)與每個(gè)學(xué)生的成績(jī)對(duì)比，發(fā)現(xiàn)平均成績(jī)并不是某一個(gè)學(xué)生的成績(jī)，其中有的學(xué)生成績(jī)有可能高于平均成績(jī)，也有可能低于平均成績(jī)，也有可能和平均成績(jī)相等。

3.輸贏中體會(huì)平均數(shù)的整體性。

平均數(shù)反映的是一組數(shù)據(jù)的整體水平，個(gè)人水平不能代表整體水平。在解決完5個(gè)男生和4個(gè)女生的PK后，我繼續(xù)提出問(wèn)題：“男生輸給女生，那是不是5個(gè)男生個(gè)個(gè)不如女生呢？”學(xué)生進(jìn)入深度思考，通過(guò)觀察數(shù)據(jù)并舉例對(duì)比發(fā)現(xiàn)：男生隊(duì)雖然輸了，但并不是每個(gè)男生都輸給女生，使學(xué)生進(jìn)一步理解平均數(shù)代表的是一組數(shù)據(jù)的整體水平。整體水平高不代表每個(gè)個(gè)體的水平高，整體水平低也不代表每個(gè)個(gè)體的水平低。

4.一個(gè)數(shù)據(jù)的變化感悟平均數(shù)的敏感性。

在完成例題后，筆者又設(shè)計(jì)了一次數(shù)學(xué)活動(dòng)：女生隊(duì)增加一名隊(duì)員，讓學(xué)生猜測(cè)和想象這位同學(xué)踢出什么成績(jī)，女生隊(duì)的平均成績(jī)不會(huì)變；什么情況下平均數(shù)會(huì)變化，又會(huì)發(fā)生怎樣的變化。這個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)把教學(xué)推向深入，學(xué)生在猜測(cè)和想象中感悟到一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)會(huì)受到這組數(shù)據(jù)中每一個(gè)數(shù)據(jù)的影響，感悟到平均數(shù)的敏感性。

平均數(shù)是一個(gè)抽象的概念，怎么讓學(xué)生理解、接受是需要不斷思索的。執(zhí)教完這節(jié)課，筆者覺得還有很多不足和遺憾。

第一，在引導(dǎo)學(xué)生尋找日常生活中的平均數(shù)時(shí)，因?yàn)檎n前沒有給學(xué)生提示和準(zhǔn)備，所以學(xué)生思考需要時(shí)間，而且舉例單一。如果筆者在課件中設(shè)計(jì)出如平均速度、平均身高、平均產(chǎn)量、平均成績(jī)等詞語(yǔ)的舉例，就會(huì)打開學(xué)生思路。

第二，評(píng)價(jià)時(shí)，激勵(lì)語(yǔ)言的運(yùn)用還不太豐富，語(yǔ)言表述還是不夠精準(zhǔn)，還需要豐富教學(xué)語(yǔ)言。

（作者單位：嘉蔭縣第一小學(xué)）

編輯∕韓曉雨