借助幾何直觀，助推意義理解

邵珠利

【摘 要】畫長方形解決問題雖然不像畫線段圖那樣常用，但它確實(shí)能為解決特定數(shù)學(xué)問題提供有益幫助，能夠提升學(xué)生分析和解決問題的策略與能力，為學(xué)生后續(xù)發(fā)展起到積極促進(jìn)作用。通過對人教版教材中有關(guān)畫長方形解決問題內(nèi)容進(jìn)行梳理，開發(fā)設(shè)計(jì)了一節(jié)畫長方形解決問題的拓展課，試圖為學(xué)生打開解決問題策略的另一扇窗，同時根據(jù)課堂實(shí)際情況，提出一些關(guān)于長方形面積教學(xué)及畫長方形解決問題教學(xué)的思考。

【關(guān)鍵詞】幾何直觀；長方形；解決問題

通過畫長方形解決問題的學(xué)習(xí)為學(xué)生打開解決問題策略的一扇窗。于是筆者想到在四年級上學(xué)期教學(xué)了單價×數(shù)量=總價、速度×?xí)r間=路程這兩個數(shù)量關(guān)系式后，設(shè)計(jì)“畫長方形解決問題”，將不具有“長方形元素1”的實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系與長方形面積建立關(guān)聯(lián)，進(jìn)而通過畫長方形，借助幾何直觀，助推意義理解，幫助學(xué)生有效分析、解決問題。

一、課例回放：圍繞主題情境，自主構(gòu)建生成

（一）課前互動，營造氛圍

介紹 ×× 小學(xué)及區(qū)藝術(shù)節(jié)舉行的情況。

【設(shè)計(jì)意圖】區(qū)藝術(shù)節(jié)是本節(jié)課的主情境，本節(jié)課主要圍繞在區(qū)藝術(shù)節(jié)中遇到的實(shí)際問題而展開研究。教師介紹既能讓學(xué)生快速了解 ×× 學(xué)校，又為本課學(xué)習(xí)渲染了氛圍。

（二）對比關(guān)聯(lián)，初步感知

1.畫圖分析，列式解答

2.對比分析，感知模型

（1）四圖對比，建立關(guān)聯(lián)

師：這幾位學(xué)生雖然畫的圖形不一樣，但算式都相同，都是75÷5=15（排），20×15=300（人）。

師：在這幾幅圖中，你更喜歡哪一幅，為什么？小組內(nèi)交流想法。

生：我們組喜歡第④幅圖。因?yàn)樗容^簡潔、比較清楚。

生：我們組也喜歡第④幅圖。大家看，雖然第①幅圖比較簡潔，但是不能完整表示所有信息；第②幅圖雖然比較具體，但太麻煩了；第③幅圖雖然比前兩幅圖清楚，但還是有點(diǎn)麻煩；只有第④幅圖比較具體，能表示出所有信息，而且比較簡潔。所以我們組也喜歡第④幅圖。

師：這四幅圖之間有什么聯(lián)系呢？

生：第①幅圖表示的就是第②③④幅圖中一排的情況。

生：第②幅圖和第③幅圖的想法其實(shí)是一樣的，都是先表示出每排的人數(shù)，再表示排數(shù)，因?yàn)椴恢谰唧w的排數(shù)，所以兩位同學(xué)都加上了省略號。最后都在剛才的基礎(chǔ)上表示出每排增加5人，就增加75人。

生：第②幅圖、第③幅圖簡化后就是第④幅圖。每排的人數(shù)就是長方形的長；排數(shù)就是長方形的寬；總?cè)藬?shù)就是長方形的面積。

師：你們這個發(fā)現(xiàn)太棒了，我要把它畫出來并記錄下來。（師在黑板上畫長方形，并進(jìn)一步規(guī)范畫法，明確要在圖中既表示出“已知信息”，還要表示出“所求問題”）

（2）拓展聯(lián)想，感知模型

師：我們知道長方形的面積是長與寬的積。通過剛才的分析，我們發(fā)現(xiàn)，長方形的面積還可以表示誰與誰的積？

生：每排人數(shù)與排數(shù)的積。

師：想一想，長方形的面積還可以表示誰與誰的積？

生：長方形的面積還可以表示數(shù)量與單價的積。

師：你的意思就是長表示單價、寬表示數(shù)量，面積就表示總價。

生：長方形的面積還可以表示速度、時間的積。

師：你的意思就是長表示速度、寬表示時間，面積就表示路程……

師：觀察這些數(shù)量關(guān)系，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：它們都表示兩個數(shù)的積。

師：是的，一般情況下，當(dāng)表示兩個量之積的數(shù)量關(guān)系時，畫長方形更直觀，更便于幫助我們分析解答問題。但在畫長方形時，我們一定要明確長表示什么、寬表示什么。（隨著學(xué)生的回答，適時生成板書內(nèi)容，見右圖）

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生對畫圖并不陌生，并且也比較習(xí)慣畫實(shí)物圖、示意圖或線段圖來分析解決問題。此題信息中沒有“長方形元素”，自然不存在要求學(xué)生畫長方形的暗示；另外筆者之所以沒有強(qiáng)調(diào)要畫長方形，目的就是要充分暴露學(xué)生的原有認(rèn)知。通過對四幅圖的對比分析，學(xué)生充分感知了長方形圖的特點(diǎn)及畫法，并初步感受到當(dāng)表示兩量之積的數(shù)量關(guān)系時畫長方形更直觀、形象。畫長方形幫助分析解決問題水到渠成。但畫圖的時候一定要明確長表示什么、寬表示什么、面積表示什么。

（三）例1變式，對比畫法

師：同學(xué)們，剛才我們不知道排數(shù)，解決了這個問題?，F(xiàn)在每排的人數(shù)也不知道，但是知道信息：如果增加3排，就要增加60人。其他條件不變，你還會解答這個問題嗎？

師：這兩位同學(xué)畫的圖形不一樣，能看懂這兩幅圖表示的意思嗎？

生：第一個同學(xué)分開畫兩幅圖，分析起來比較方便；第二位同學(xué)合在一起只畫一幅圖，更加簡潔。

師：我們可以像第一位同學(xué)這樣分開畫兩幅圖，也可以合起來只畫一幅圖，都能很好地幫助我們分析問題。

師：觀察圖形，解答這個問題的關(guān)鍵是什么？如何列式？

生：關(guān)鍵就是要求出每排的人數(shù)和排數(shù)，即求出長方形的長和寬。根據(jù)學(xué)生的回答課件動態(tài)逐條呈現(xiàn)下圖內(nèi)容。

[60÷3=20（人）——每排人數(shù)

75÷5=15（排）——排數(shù)

20×15=300（人）——總?cè)藬?shù)]

【設(shè)計(jì)意圖】例1是一個量變化，畫長方形圖進(jìn)行分析；而例2是在例1的基礎(chǔ)上，兩個量都變化，畫長方形圖進(jìn)行分析。當(dāng)兩個量都變化時，可以只畫一幅圖，比較簡潔；也可以畫兩幅圖，分析起來比較清楚。但不論如何，關(guān)鍵就是要明確長表示什么，寬表示什么，面積表示什么。

（四）課堂小結(jié)，明確關(guān)鍵

師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么新的收獲？（根據(jù)學(xué)生概括適時生成板書）

師：你認(rèn)為畫長方形解決問題的關(guān)鍵是什么？

生：關(guān)鍵是明確長、寬、面積所代表的量。

【設(shè)計(jì)意圖】通過對例1和例2的回顧梳理，進(jìn)一步明確畫長方形解決問題的關(guān)鍵，掌握畫長方形圖的方法與技巧。

（五）圖形變式，綜合運(yùn)用

師：接下來藝術(shù)節(jié)要進(jìn)行合唱比賽，老師計(jì)劃給合唱隊(duì)的學(xué)生購買一批上衣。集團(tuán)校長去詢問情況，兩位老師是這樣說的：

我去詢問情況，兩位老師又是這樣說的：

你們能幫校長和我解答這兩個問題嗎？

學(xué)生獨(dú)立解答完成后，反饋交流重點(diǎn)如下：

第1題強(qiáng)調(diào)長表示什么、寬表示什么、“降價”怎么畫。

第2題強(qiáng)調(diào)對比分析（見下圖）：將畫成“一增一減”（圖形符合題目要求）與“兩增”（圖形不符合題目要求）的圖形進(jìn)行對比分析，為什么圖形不同，但得數(shù)相同？

【設(shè)計(jì)意圖】試一試1和試一試2的情境與例1和例2情境不同，研究的是單價、數(shù)量與總價的數(shù)量關(guān)系。另外，畫圖方法也不相同，試一試1是“一減”的情況、試一試2是“一增一減”的情況。

通過試一試1的練習(xí)，學(xué)生明確增加的時候向外畫，而減少的時候要向內(nèi)畫。通過試一試2正確與錯誤的兩幅圖的對比分析，學(xué)生進(jìn)一步明確在畫圖的時候要根據(jù)題目信息畫出正確的圖形。此題通過兩幅圖的分析所得到的算式都是正確的，其原因在于“每件降價5元，就能節(jié)省100元”和“每件漲價5元，就要多付100元”，雖然畫法不同，但是100÷5=20（元），表示的都是這件衣服的單價，所以即使圖形畫錯了，但結(jié)果還是正確的。

通過變換情境及畫圖方式，教師進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生據(jù)題畫圖并依圖析題的意識與能力。

（六）溝通模型，積累經(jīng)驗(yàn)

師：（同屏呈現(xiàn)）我們今天研究了一增、兩增、一減、一增一減四種情況，但不論是哪種情況我們都必須事先明確長表示什么，寬表示什么，面積表示什么。

【設(shè)計(jì)意圖】隨著講解與回顧，逐個呈現(xiàn)今天所研究的每種情況，最后同屏呈現(xiàn)這四種情況。通過同屏對比，對今天所研究的四種模型進(jìn)行整體感知，同時尋求共性，即畫長方形解決問題的關(guān)鍵就是要明確長表示什么，寬表示什么，面積表示什么。（最后一張PPT呈現(xiàn)這個內(nèi)容）同時使學(xué)生進(jìn)一步感知對于研究兩量之積關(guān)系的題目畫長方形解決問題更直觀、形象，便于分析解決。

二、課例反思 ：借助幾何直觀，助推意義理解

（一）創(chuàng)設(shè)優(yōu)質(zhì)情境，激活原有認(rèn)知

在試教時，所創(chuàng)設(shè)的情境具有“長方形元素”，所以學(xué)生自然能想到用畫長方形圖進(jìn)行分析，看似非常圓滿，但實(shí)際學(xué)生是在畫長方形解決長方形本身的問題，意義不大。思前想后，到底什么情境更有利于學(xué)生自主建構(gòu)畫長方形解決問題的認(rèn)知？筆者想到了隊(duì)列問題，這是學(xué)生非常熟悉的情境。隊(duì)列問題本身存在長方形的影子，但它又不同于長方形花壇、長方形魚池等情境，筆者稱其為不具有“長方形元素”的情境，這對學(xué)生來說具有挑戰(zhàn)性。學(xué)生最初畫的線段圖、圓圈圖、簡化圓圈圖等都是學(xué)生對于解答隊(duì)列問題積累的原有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的有效提取，通過對不同圖形的對比分析，不斷明晰畫長方形解決問題的優(yōu)越性，由此，用畫長方形解決兩量之積數(shù)量關(guān)系的問題也就達(dá)成了共識。

（二）巧設(shè)關(guān)聯(lián)問題，保持探究興趣

學(xué)生是否能夠進(jìn)行自主學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)投入程度如何主要取決于教師設(shè)計(jì)的問題優(yōu)質(zhì)與否。本課中圍繞藝術(shù)節(jié)參加隊(duì)列表演的人數(shù)、合唱隊(duì)購買服裝等實(shí)際問題展開探究，從例1變式到例2，從畫“一邊增加”“兩邊增加”的長方形圖到畫“一邊減少”“一邊增加、一邊減少”的長方形圖，學(xué)生始終保持較高的探究熱情。問題情境看似不變，但問題本身又著實(shí)發(fā)生了變化；圖形看似相同，但的確又不相同，但不相同之中又有相同之處。一切都給學(xué)生以魔力，探究其中，其樂無窮。

（三）加強(qiáng)對比分析， 感悟畫圖關(guān)鍵

“畫長方形解決問題”從“一增”“兩增”到“一減”“一增一減”，圖式在不斷發(fā)生變化。在解決這些問題時，學(xué)生不但要掌握長方形圖的畫法，更應(yīng)明確畫長方形解決問題的關(guān)鍵就是要先確定長表示什么，寬表示什么，面積表示什么。因此筆者創(chuàng)設(shè)多次對比分析的學(xué)習(xí)活動，增強(qiáng)學(xué)生對這一關(guān)鍵問題的感悟，不斷積累學(xué)習(xí)活動經(jīng)驗(yàn)。

（四）滲透幾何直觀，積累活動經(jīng)驗(yàn)

毫無疑問，畫長方形是解決問題的一種有效策略。在解決平均數(shù)問題、分?jǐn)?shù)乘法問題，尤其是解決一些稍復(fù)雜的兩量之積數(shù)量關(guān)系的問題時，畫長方形圖往往會使問題變得簡單易懂。

對于解決兩積數(shù)量關(guān)系的問題，畫長方形圖更加直觀、形象，有助于分析數(shù)量關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生對題意的有效理解，這彰顯了數(shù)形結(jié)合的魅力。形使數(shù)更直觀，解題更加有效，課堂更加精彩，在不斷畫圖分析的過程中，經(jīng)驗(yàn)積累也更加到位。

三、課例延展：著眼課程開發(fā)，有效實(shí)施教學(xué)

本課例作為一次解決問題策略教學(xué)的大膽嘗試雖然總體比較成功，但從課堂教學(xué)實(shí)際情況來看，學(xué)生對于長方形面積的深入理解，以及據(jù)題畫圖、依圖析題等方面仍有進(jìn)一步探究的空間，下面也談一點(diǎn)不成熟的思考。

（一）對于“長×寬=面積”的理解不能僅停留在公式層面

如下圖所示，教材編排的內(nèi)容是通過拼擺操作，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探索得出長方形面積的計(jì)算方法。但教材中所涉及的練習(xí)只是情境不同，其實(shí)都是已知長、寬比較簡單的計(jì)算長方形面積的內(nèi)容，屬于對公式的直接運(yùn)用層面。

1.推導(dǎo)長方形的面積要重點(diǎn)關(guān)注理解“幾個幾”

在學(xué)生拼擺推導(dǎo)的時候，要重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生理解“每行擺5個，擺了3行”，即3個5；或者“每列3個，擺了5列”，即5個3。只有學(xué)生頭腦中建立了長方形的面積就是“幾個幾”的認(rèn)知，學(xué)生才容易理解：如果長表示單價30元，寬就可以表示數(shù)量5件，即5個30元，面積就是總價150元；或者長表示每排20人，寬就可以表示有15排，即15個20，面積就是總?cè)藬?shù)300人。只有這樣，學(xué)生才能真正將數(shù)量關(guān)系與長方形面積建立關(guān)聯(lián)，理解才能更加到位。

2.要拓展對于兩數(shù)求積算式意義理解的認(rèn)知

學(xué)生在三下年級學(xué)習(xí)了“長方形面積”之后，教師可以有意設(shè)計(jì)“看式說事”練習(xí)。以25×12為例說明操作方法。

（1）看到這個算式，你能想到哪個圖形？請你試著把它畫出來。（學(xué)生畫了一個長25厘米、寬12厘米的長方形）

（2）如果沿著長擺邊長為“1”的小正方形，可以擺多少個？可以擺幾排？（重點(diǎn)促進(jìn)學(xué)生對“幾個幾”的理解）

（3）25×12這個算式，可能還講了一件什么事？

生：每排25位學(xué)生，12排一共有多少位學(xué)生？

生：每個書包25元，買12個書包要多少錢？

……

（4）教師課件演示用小正方形換學(xué)生、用小正方形換25元這樣的操作。從而拓展了學(xué)生對25×12這個算式實(shí)際意義的理解，也拓展了學(xué)生對長方形面積的深入理解。

（5）變式算式為25×（10+2），看了這個算式你能想到哪個圖形？試著畫一畫。

如果學(xué)生能畫出右圖這樣的圖形，說明學(xué)生對于長方形的面積與算式之間真正建立起了關(guān)聯(lián)，此時教師再引導(dǎo)學(xué)生理解算式的實(shí)際意義，就會進(jìn)一步深化學(xué)生對于長方形面積的理解。

（二）可以將畫長方形解決問題作為補(bǔ)充課程分段實(shí)施教學(xué)

根據(jù)本次課例嘗試情況，筆者建議分三段實(shí)施教學(xué)，安排如下。

1.安排在三下學(xué)習(xí)了長方形面積之后

當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了長方形面積計(jì)算，并能夠比較熟練地解決已知長、寬、面積的任何兩個量求第三個量的問題的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)第一次學(xué)習(xí)。本次學(xué)習(xí)主要是畫長方形圖解決長方形本身的問題?？稍O(shè)計(jì)這樣的問題：一個長方形花壇，長8米。如果長增加2米，面積就增加6平方米。原來這個花壇的面積是多少平方米？

通過畫長方形解答這樣的問題，教師強(qiáng)調(diào)在畫圖時要表示出“已知信息”與“所求問題”，幫助學(xué)生初步積累據(jù)題畫圖以及依圖析題的經(jīng)驗(yàn)。

2.安排在四上學(xué)習(xí)了單價×數(shù)量=總價、速度×?xí)r間=路程兩個數(shù)量關(guān)系之后

這個內(nèi)容的編排類似于本課例所講的內(nèi)容。即重點(diǎn)研究不具有“長方形元素”的內(nèi)容如何通過畫長方形圖解答的問題。因?yàn)橛辛说谝欢蔚漠媹D經(jīng)驗(yàn)，所以在第二段的學(xué)習(xí)中重點(diǎn)解決遇到一個表示兩量之積的問題時，首先要明確長表示什么，寬表示什么，面積表示什么。然后再利用在第一段學(xué)習(xí)到的畫圖經(jīng)驗(yàn)據(jù)題畫圖、依圖析題。進(jìn)而將不具有“長方形元素”的內(nèi)容與長方形面積之間建立關(guān)聯(lián)，促進(jìn)學(xué)生對長方形面積的深入理解。

3.安排在五下“分?jǐn)?shù)的加法和減法”單元的“喝牛奶問題”之后

五下的“喝牛奶問題”雖然也是通過畫長方形圖分析解答的，但該內(nèi)容其實(shí)并不是筆者所要研究的畫長方形解決問題的范疇，因?yàn)樗簧婕耙鞔_長、寬、面積所表示的量，就是用長方形表示這杯牛奶。

之所以安排在這個內(nèi)容之后，就是使學(xué)生感覺到畫長方形能解決像“喝牛奶”這樣的稍復(fù)雜問題，同時希望在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步拓寬學(xué)生的視野，因此所涉及的問題要比第二段的再略微復(fù)雜和多樣一些，讓學(xué)生進(jìn)一步感受畫長方形解決稍復(fù)雜問題的優(yōu)越性。比如計(jì)算676×678-675×679，具體分析說明如下。

如下圖，用長方形ABCD表示676×678的積。長AB表示678，寬AD表示676。長增加1，寬減少1，可得長方形AEFG，即AE=679，AG=675。從圖中可看出676×678-675×679的差其實(shí)就是長方形ABCD與長方形AEFG的面積差，因?yàn)樗鼈冇泄驳拈L方形ABHG，因此，差就是長方形GHCD與長方形BEFH的面積差。所以676×678-675×679=678×1

-675×1=3。

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（浙江省杭州市大關(guān)小學(xué)教育集團(tuán)申花校區(qū) 310000）