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    借助幾何直觀,助推意義理解

    2019-04-20 02:33:12邵珠利
    關(guān)鍵詞:幾何直觀長方形解決問題

    邵珠利

    【摘 要】畫長方形解決問題雖然不像畫線段圖那樣常用,但它確實(shí)能為解決特定數(shù)學(xué)問題提供有益幫助,能夠提升學(xué)生分析和解決問題的策略與能力,為學(xué)生后續(xù)發(fā)展起到積極促進(jìn)作用。通過對人教版教材中有關(guān)畫長方形解決問題內(nèi)容進(jìn)行梳理,開發(fā)設(shè)計(jì)了一節(jié)畫長方形解決問題的拓展課,試圖為學(xué)生打開解決問題策略的另一扇窗,同時根據(jù)課堂實(shí)際情況,提出一些關(guān)于長方形面積教學(xué)及畫長方形解決問題教學(xué)的思考。

    【關(guān)鍵詞】幾何直觀;長方形;解決問題

    通過畫長方形解決問題的學(xué)習(xí)為學(xué)生打開解決問題策略的一扇窗。于是筆者想到在四年級上學(xué)期教學(xué)了單價×數(shù)量=總價、速度×?xí)r間=路程這兩個數(shù)量關(guān)系式后,設(shè)計(jì)“畫長方形解決問題”,將不具有“長方形元素1”的實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系與長方形面積建立關(guān)聯(lián),進(jìn)而通過畫長方形,借助幾何直觀,助推意義理解,幫助學(xué)生有效分析、解決問題。

    一、課例回放:圍繞主題情境,自主構(gòu)建生成

    (一)課前互動,營造氛圍

    介紹 ×× 小學(xué)及區(qū)藝術(shù)節(jié)舉行的情況。

    【設(shè)計(jì)意圖】區(qū)藝術(shù)節(jié)是本節(jié)課的主情境,本節(jié)課主要圍繞在區(qū)藝術(shù)節(jié)中遇到的實(shí)際問題而展開研究。教師介紹既能讓學(xué)生快速了解 ×× 學(xué)校,又為本課學(xué)習(xí)渲染了氛圍。

    (二)對比關(guān)聯(lián),初步感知

    1.畫圖分析,列式解答

    2.對比分析,感知模型

    (1)四圖對比,建立關(guān)聯(lián)

    師:這幾位學(xué)生雖然畫的圖形不一樣,但算式都相同,都是75÷5=15(排),20×15=300(人)。

    師:在這幾幅圖中,你更喜歡哪一幅,為什么?小組內(nèi)交流想法。

    生:我們組喜歡第④幅圖。因?yàn)樗容^簡潔、比較清楚。

    生:我們組也喜歡第④幅圖。大家看,雖然第①幅圖比較簡潔,但是不能完整表示所有信息;第②幅圖雖然比較具體,但太麻煩了;第③幅圖雖然比前兩幅圖清楚,但還是有點(diǎn)麻煩;只有第④幅圖比較具體,能表示出所有信息,而且比較簡潔。所以我們組也喜歡第④幅圖。

    師:這四幅圖之間有什么聯(lián)系呢?

    生:第①幅圖表示的就是第②③④幅圖中一排的情況。

    生:第②幅圖和第③幅圖的想法其實(shí)是一樣的,都是先表示出每排的人數(shù),再表示排數(shù),因?yàn)椴恢谰唧w的排數(shù),所以兩位同學(xué)都加上了省略號。最后都在剛才的基礎(chǔ)上表示出每排增加5人,就增加75人。

    生:第②幅圖、第③幅圖簡化后就是第④幅圖。每排的人數(shù)就是長方形的長;排數(shù)就是長方形的寬;總?cè)藬?shù)就是長方形的面積。

    師:你們這個發(fā)現(xiàn)太棒了,我要把它畫出來并記錄下來。(師在黑板上畫長方形,并進(jìn)一步規(guī)范畫法,明確要在圖中既表示出“已知信息”,還要表示出“所求問題”)

    (2)拓展聯(lián)想,感知模型

    師:我們知道長方形的面積是長與寬的積。通過剛才的分析,我們發(fā)現(xiàn),長方形的面積還可以表示誰與誰的積?

    生:每排人數(shù)與排數(shù)的積。

    師:想一想,長方形的面積還可以表示誰與誰的積?

    生:長方形的面積還可以表示數(shù)量與單價的積。

    師:你的意思就是長表示單價、寬表示數(shù)量,面積就表示總價。

    生:長方形的面積還可以表示速度、時間的積。

    師:你的意思就是長表示速度、寬表示時間,面積就表示路程……

    師:觀察這些數(shù)量關(guān)系,你有什么發(fā)現(xiàn)?

    生:它們都表示兩個數(shù)的積。

    師:是的,一般情況下,當(dāng)表示兩個量之積的數(shù)量關(guān)系時,畫長方形更直觀,更便于幫助我們分析解答問題。但在畫長方形時,我們一定要明確長表示什么、寬表示什么。(隨著學(xué)生的回答,適時生成板書內(nèi)容,見右圖)

    【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生對畫圖并不陌生,并且也比較習(xí)慣畫實(shí)物圖、示意圖或線段圖來分析解決問題。此題信息中沒有“長方形元素”,自然不存在要求學(xué)生畫長方形的暗示;另外筆者之所以沒有強(qiáng)調(diào)要畫長方形,目的就是要充分暴露學(xué)生的原有認(rèn)知。通過對四幅圖的對比分析,學(xué)生充分感知了長方形圖的特點(diǎn)及畫法,并初步感受到當(dāng)表示兩量之積的數(shù)量關(guān)系時畫長方形更直觀、形象。畫長方形幫助分析解決問題水到渠成。但畫圖的時候一定要明確長表示什么、寬表示什么、面積表示什么。

    (三)例1變式,對比畫法

    師:同學(xué)們,剛才我們不知道排數(shù),解決了這個問題?,F(xiàn)在每排的人數(shù)也不知道,但是知道信息:如果增加3排,就要增加60人。其他條件不變,你還會解答這個問題嗎?

    師:這兩位同學(xué)畫的圖形不一樣,能看懂這兩幅圖表示的意思嗎?

    生:第一個同學(xué)分開畫兩幅圖,分析起來比較方便;第二位同學(xué)合在一起只畫一幅圖,更加簡潔。

    師:我們可以像第一位同學(xué)這樣分開畫兩幅圖,也可以合起來只畫一幅圖,都能很好地幫助我們分析問題。

    師:觀察圖形,解答這個問題的關(guān)鍵是什么?如何列式?

    生:關(guān)鍵就是要求出每排的人數(shù)和排數(shù),即求出長方形的長和寬。根據(jù)學(xué)生的回答課件動態(tài)逐條呈現(xiàn)下圖內(nèi)容。

    [60÷3=20(人)——每排人數(shù)

    75÷5=15(排)——排數(shù)

    20×15=300(人)——總?cè)藬?shù)]

    【設(shè)計(jì)意圖】例1是一個量變化,畫長方形圖進(jìn)行分析;而例2是在例1的基礎(chǔ)上,兩個量都變化,畫長方形圖進(jìn)行分析。當(dāng)兩個量都變化時,可以只畫一幅圖,比較簡潔;也可以畫兩幅圖,分析起來比較清楚。但不論如何,關(guān)鍵就是要明確長表示什么,寬表示什么,面積表示什么。

    (四)課堂小結(jié),明確關(guān)鍵

    師:通過這節(jié)課的學(xué)習(xí),你有什么新的收獲?(根據(jù)學(xué)生概括適時生成板書)

    師:你認(rèn)為畫長方形解決問題的關(guān)鍵是什么?

    生:關(guān)鍵是明確長、寬、面積所代表的量。

    【設(shè)計(jì)意圖】通過對例1和例2的回顧梳理,進(jìn)一步明確畫長方形解決問題的關(guān)鍵,掌握畫長方形圖的方法與技巧。

    (五)圖形變式,綜合運(yùn)用

    師:接下來藝術(shù)節(jié)要進(jìn)行合唱比賽,老師計(jì)劃給合唱隊(duì)的學(xué)生購買一批上衣。集團(tuán)校長去詢問情況,兩位老師是這樣說的:

    我去詢問情況,兩位老師又是這樣說的:

    你們能幫校長和我解答這兩個問題嗎?

    學(xué)生獨(dú)立解答完成后,反饋交流重點(diǎn)如下:

    第1題強(qiáng)調(diào)長表示什么、寬表示什么、“降價”怎么畫。

    第2題強(qiáng)調(diào)對比分析(見下圖):將畫成“一增一減”(圖形符合題目要求)與“兩增”(圖形不符合題目要求)的圖形進(jìn)行對比分析,為什么圖形不同,但得數(shù)相同?

    【設(shè)計(jì)意圖】試一試1和試一試2的情境與例1和例2情境不同,研究的是單價、數(shù)量與總價的數(shù)量關(guān)系。另外,畫圖方法也不相同,試一試1是“一減”的情況、試一試2是“一增一減”的情況。

    通過試一試1的練習(xí),學(xué)生明確增加的時候向外畫,而減少的時候要向內(nèi)畫。通過試一試2正確與錯誤的兩幅圖的對比分析,學(xué)生進(jìn)一步明確在畫圖的時候要根據(jù)題目信息畫出正確的圖形。此題通過兩幅圖的分析所得到的算式都是正確的,其原因在于“每件降價5元,就能節(jié)省100元”和“每件漲價5元,就要多付100元”,雖然畫法不同,但是100÷5=20(元),表示的都是這件衣服的單價,所以即使圖形畫錯了,但結(jié)果還是正確的。

    通過變換情境及畫圖方式,教師進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生據(jù)題畫圖并依圖析題的意識與能力。

    (六)溝通模型,積累經(jīng)驗(yàn)

    師:(同屏呈現(xiàn))我們今天研究了一增、兩增、一減、一增一減四種情況,但不論是哪種情況我們都必須事先明確長表示什么,寬表示什么,面積表示什么。

    【設(shè)計(jì)意圖】隨著講解與回顧,逐個呈現(xiàn)今天所研究的每種情況,最后同屏呈現(xiàn)這四種情況。通過同屏對比,對今天所研究的四種模型進(jìn)行整體感知,同時尋求共性,即畫長方形解決問題的關(guān)鍵就是要明確長表示什么,寬表示什么,面積表示什么。(最后一張PPT呈現(xiàn)這個內(nèi)容)同時使學(xué)生進(jìn)一步感知對于研究兩量之積關(guān)系的題目畫長方形解決問題更直觀、形象,便于分析解決。

    二、課例反思 :借助幾何直觀,助推意義理解

    (一)創(chuàng)設(shè)優(yōu)質(zhì)情境,激活原有認(rèn)知

    在試教時,所創(chuàng)設(shè)的情境具有“長方形元素”,所以學(xué)生自然能想到用畫長方形圖進(jìn)行分析,看似非常圓滿,但實(shí)際學(xué)生是在畫長方形解決長方形本身的問題,意義不大。思前想后,到底什么情境更有利于學(xué)生自主建構(gòu)畫長方形解決問題的認(rèn)知?筆者想到了隊(duì)列問題,這是學(xué)生非常熟悉的情境。隊(duì)列問題本身存在長方形的影子,但它又不同于長方形花壇、長方形魚池等情境,筆者稱其為不具有“長方形元素”的情境,這對學(xué)生來說具有挑戰(zhàn)性。學(xué)生最初畫的線段圖、圓圈圖、簡化圓圈圖等都是學(xué)生對于解答隊(duì)列問題積累的原有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的有效提取,通過對不同圖形的對比分析,不斷明晰畫長方形解決問題的優(yōu)越性,由此,用畫長方形解決兩量之積數(shù)量關(guān)系的問題也就達(dá)成了共識。

    (二)巧設(shè)關(guān)聯(lián)問題,保持探究興趣

    學(xué)生是否能夠進(jìn)行自主學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)投入程度如何主要取決于教師設(shè)計(jì)的問題優(yōu)質(zhì)與否。本課中圍繞藝術(shù)節(jié)參加隊(duì)列表演的人數(shù)、合唱隊(duì)購買服裝等實(shí)際問題展開探究,從例1變式到例2,從畫“一邊增加”“兩邊增加”的長方形圖到畫“一邊減少”“一邊增加、一邊減少”的長方形圖,學(xué)生始終保持較高的探究熱情。問題情境看似不變,但問題本身又著實(shí)發(fā)生了變化;圖形看似相同,但的確又不相同,但不相同之中又有相同之處。一切都給學(xué)生以魔力,探究其中,其樂無窮。

    (三)加強(qiáng)對比分析, 感悟畫圖關(guān)鍵

    “畫長方形解決問題”從“一增”“兩增”到“一減”“一增一減”,圖式在不斷發(fā)生變化。在解決這些問題時,學(xué)生不但要掌握長方形圖的畫法,更應(yīng)明確畫長方形解決問題的關(guān)鍵就是要先確定長表示什么,寬表示什么,面積表示什么。因此筆者創(chuàng)設(shè)多次對比分析的學(xué)習(xí)活動,增強(qiáng)學(xué)生對這一關(guān)鍵問題的感悟,不斷積累學(xué)習(xí)活動經(jīng)驗(yàn)。

    (四)滲透幾何直觀,積累活動經(jīng)驗(yàn)

    毫無疑問,畫長方形是解決問題的一種有效策略。在解決平均數(shù)問題、分?jǐn)?shù)乘法問題,尤其是解決一些稍復(fù)雜的兩量之積數(shù)量關(guān)系的問題時,畫長方形圖往往會使問題變得簡單易懂。

    對于解決兩積數(shù)量關(guān)系的問題,畫長方形圖更加直觀、形象,有助于分析數(shù)量關(guān)系,促進(jìn)學(xué)生對題意的有效理解,這彰顯了數(shù)形結(jié)合的魅力。形使數(shù)更直觀,解題更加有效,課堂更加精彩,在不斷畫圖分析的過程中,經(jīng)驗(yàn)積累也更加到位。

    三、課例延展:著眼課程開發(fā),有效實(shí)施教學(xué)

    本課例作為一次解決問題策略教學(xué)的大膽嘗試雖然總體比較成功,但從課堂教學(xué)實(shí)際情況來看,學(xué)生對于長方形面積的深入理解,以及據(jù)題畫圖、依圖析題等方面仍有進(jìn)一步探究的空間,下面也談一點(diǎn)不成熟的思考。

    (一)對于“長×寬=面積”的理解不能僅停留在公式層面

    如下圖所示,教材編排的內(nèi)容是通過拼擺操作,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,探索得出長方形面積的計(jì)算方法。但教材中所涉及的練習(xí)只是情境不同,其實(shí)都是已知長、寬比較簡單的計(jì)算長方形面積的內(nèi)容,屬于對公式的直接運(yùn)用層面。

    1.推導(dǎo)長方形的面積要重點(diǎn)關(guān)注理解“幾個幾”

    在學(xué)生拼擺推導(dǎo)的時候,要重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生理解“每行擺5個,擺了3行”,即3個5;或者“每列3個,擺了5列”,即5個3。只有學(xué)生頭腦中建立了長方形的面積就是“幾個幾”的認(rèn)知,學(xué)生才容易理解:如果長表示單價30元,寬就可以表示數(shù)量5件,即5個30元,面積就是總價150元;或者長表示每排20人,寬就可以表示有15排,即15個20,面積就是總?cè)藬?shù)300人。只有這樣,學(xué)生才能真正將數(shù)量關(guān)系與長方形面積建立關(guān)聯(lián),理解才能更加到位。

    2.要拓展對于兩數(shù)求積算式意義理解的認(rèn)知

    學(xué)生在三下年級學(xué)習(xí)了“長方形面積”之后,教師可以有意設(shè)計(jì)“看式說事”練習(xí)。以25×12為例說明操作方法。

    (1)看到這個算式,你能想到哪個圖形?請你試著把它畫出來。(學(xué)生畫了一個長25厘米、寬12厘米的長方形)

    (2)如果沿著長擺邊長為“1”的小正方形,可以擺多少個?可以擺幾排?(重點(diǎn)促進(jìn)學(xué)生對“幾個幾”的理解)

    (3)25×12這個算式,可能還講了一件什么事?

    生:每排25位學(xué)生,12排一共有多少位學(xué)生?

    生:每個書包25元,買12個書包要多少錢?

    ……

    (4)教師課件演示用小正方形換學(xué)生、用小正方形換25元這樣的操作。從而拓展了學(xué)生對25×12這個算式實(shí)際意義的理解,也拓展了學(xué)生對長方形面積的深入理解。

    (5)變式算式為25×(10+2),看了這個算式你能想到哪個圖形?試著畫一畫。

    如果學(xué)生能畫出右圖這樣的圖形,說明學(xué)生對于長方形的面積與算式之間真正建立起了關(guān)聯(lián),此時教師再引導(dǎo)學(xué)生理解算式的實(shí)際意義,就會進(jìn)一步深化學(xué)生對于長方形面積的理解。

    (二)可以將畫長方形解決問題作為補(bǔ)充課程分段實(shí)施教學(xué)

    根據(jù)本次課例嘗試情況,筆者建議分三段實(shí)施教學(xué),安排如下。

    1.安排在三下學(xué)習(xí)了長方形面積之后

    當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了長方形面積計(jì)算,并能夠比較熟練地解決已知長、寬、面積的任何兩個量求第三個量的問題的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)第一次學(xué)習(xí)。本次學(xué)習(xí)主要是畫長方形圖解決長方形本身的問題??稍O(shè)計(jì)這樣的問題:一個長方形花壇,長8米。如果長增加2米,面積就增加6平方米。原來這個花壇的面積是多少平方米?

    通過畫長方形解答這樣的問題,教師強(qiáng)調(diào)在畫圖時要表示出“已知信息”與“所求問題”,幫助學(xué)生初步積累據(jù)題畫圖以及依圖析題的經(jīng)驗(yàn)。

    2.安排在四上學(xué)習(xí)了單價×數(shù)量=總價、速度×?xí)r間=路程兩個數(shù)量關(guān)系之后

    這個內(nèi)容的編排類似于本課例所講的內(nèi)容。即重點(diǎn)研究不具有“長方形元素”的內(nèi)容如何通過畫長方形圖解答的問題。因?yàn)橛辛说谝欢蔚漠媹D經(jīng)驗(yàn),所以在第二段的學(xué)習(xí)中重點(diǎn)解決遇到一個表示兩量之積的問題時,首先要明確長表示什么,寬表示什么,面積表示什么。然后再利用在第一段學(xué)習(xí)到的畫圖經(jīng)驗(yàn)據(jù)題畫圖、依圖析題。進(jìn)而將不具有“長方形元素”的內(nèi)容與長方形面積之間建立關(guān)聯(lián),促進(jìn)學(xué)生對長方形面積的深入理解。

    3.安排在五下“分?jǐn)?shù)的加法和減法”單元的“喝牛奶問題”之后

    五下的“喝牛奶問題”雖然也是通過畫長方形圖分析解答的,但該內(nèi)容其實(shí)并不是筆者所要研究的畫長方形解決問題的范疇,因?yàn)樗簧婕耙鞔_長、寬、面積所表示的量,就是用長方形表示這杯牛奶。

    之所以安排在這個內(nèi)容之后,就是使學(xué)生感覺到畫長方形能解決像“喝牛奶”這樣的稍復(fù)雜問題,同時希望在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步拓寬學(xué)生的視野,因此所涉及的問題要比第二段的再略微復(fù)雜和多樣一些,讓學(xué)生進(jìn)一步感受畫長方形解決稍復(fù)雜問題的優(yōu)越性。比如計(jì)算676×678-675×679,具體分析說明如下。

    如下圖,用長方形ABCD表示676×678的積。長AB表示678,寬AD表示676。長增加1,寬減少1,可得長方形AEFG,即AE=679,AG=675。從圖中可看出676×678-675×679的差其實(shí)就是長方形ABCD與長方形AEFG的面積差,因?yàn)樗鼈冇泄驳拈L方形ABHG,因此,差就是長方形GHCD與長方形BEFH的面積差。所以676×678-675×679=678×1

    -675×1=3。

    參考文獻(xiàn):

    [1]劉海林.構(gòu)建基于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)生長的數(shù)學(xué)課堂[J].江蘇教育,2012(11).

    [2]盧明芳.積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn),構(gòu)建高效課堂——淺談小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的策略[J].新課程學(xué)習(xí)(下),2012(12).

    [3]陳麗.對高效課堂與課堂高效的理解與實(shí)踐[J].文學(xué)教育,2010(6).

    (浙江省杭州市大關(guān)小學(xué)教育集團(tuán)申花校區(qū) 310000)

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