數(shù)（shù）源于數(shù)（shǔ），意義始于表征

張偉明

【摘 要】小數(shù)承接整數(shù)聯(lián)系分?jǐn)?shù)，是數(shù)概念擴(kuò)展的一個(gè)重要內(nèi)容，其意義教學(xué)是一大難點(diǎn)。基于前測定位可以形成小數(shù)意義教學(xué)的幾條策略，即在教學(xué)中以“整體”為入口，表征小數(shù)；以“數(shù)數(shù)”為突破，展現(xiàn)過程；以“分割”為深化，促進(jìn)內(nèi)化；以“文化”厚實(shí)，培育素養(yǎng)。讓數(shù)數(shù)與表征自然求聯(lián)，聚焦小數(shù)的意義的真正發(fā)生。

【關(guān)鍵詞】小數(shù)；前測；表征；數(shù)數(shù)；分割

一、緣起

“小數(shù)的意義”這一課內(nèi)容被編排在人教版教材四年級下冊，是小數(shù)意義的再認(rèn)識，教材在學(xué)生認(rèn)識小數(shù)現(xiàn)實(shí)模型的基礎(chǔ)上，借助長度單位及其現(xiàn)實(shí)意義，與十進(jìn)分?jǐn)?shù)之間建立聯(lián)系。筆者試著請教了相關(guān)年級的教師，無一不感慨，“這節(jié)課太難上了”。深思其原因，整數(shù)的位值概念和分?jǐn)?shù)的意義制約著學(xué)生對小數(shù)意義的深度理解。從本質(zhì)上來說，除了無限不循環(huán)小數(shù)外，其余的小數(shù)都是一種特殊的分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)的意義可以從分割與合成的角度來解釋。但就數(shù)的表示形式來看，小數(shù)與整數(shù)有著更為緊密的聯(lián)系，這主要是因?yàn)樾?shù)和整數(shù)都遵循十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的位值原則。

學(xué)生對小數(shù)的理解究竟有多深？小數(shù)與整數(shù)的表征如何來建立？小數(shù)與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系如何可以更緊密？教師應(yīng)該怎樣引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識小數(shù)的本質(zhì)？帶著這些問題，筆者精心設(shè)計(jì)了問卷，對學(xué)校四年級共160名學(xué)生展開了學(xué)情調(diào)查，并在此基礎(chǔ)上形成對“小數(shù)的意義”一課的教學(xué)思考。

二、部分測評題及測評結(jié)果分析

（一）小數(shù)的認(rèn)讀起點(diǎn)及分析

測評題1及結(jié)果分析：

生活中你見過小數(shù)嗎？請你寫出一個(gè)帶單位的小數(shù)，并解釋這個(gè)小數(shù)所表示的意思。

從結(jié)果上看，學(xué)生在生活情境下對于小數(shù)的含義的理解是到位的，對于純小數(shù)且一位小數(shù)最熟悉，教師可以把課堂的重心放在兩位小數(shù)的構(gòu)建及多位小數(shù)的推理上，適當(dāng)增加部分帶小數(shù)的相關(guān)內(nèi)容。學(xué)生對于小數(shù)的生活經(jīng)驗(yàn)大多來源于標(biāo)價(jià)，如人民幣單位，可以適當(dāng)增加其他單位如“米”等的理解，促進(jìn)學(xué)生對于小數(shù)意義的完整建構(gòu)。

（二）小數(shù)與整數(shù)、分?jǐn)?shù)的聯(lián)系分析

測評題2、部分學(xué)生答卷及結(jié)果分析：

你能用自己喜歡的方式表示出0.1和0.01嗎？

看似豐富的表征背后不難讀出學(xué)生對于這兩個(gè)代表小數(shù)計(jì)數(shù)單位的數(shù)存在認(rèn)識上的一種缺失。從上圖我們讀出學(xué)生對于小數(shù)都有了一定的了解，所以他們對于0.1和0.01都能用自己的方式（文字、數(shù)字、圖形等）進(jìn)行表征，圖1是一種簡化版的圖，學(xué)生說，0.1是1占了10個(gè)1中的1份，0.01是1占了10個(gè)10 中的1份，與分?jǐn)?shù)進(jìn)行了一定的建構(gòu)。圖2學(xué)生借用的是計(jì)數(shù)器模型，在計(jì)數(shù)器上設(shè)了十分位、百分位，就能輕松表示小數(shù)，這樣的學(xué)生對于小數(shù)與整數(shù)的聯(lián)系非常清晰。圖3則借助了圖進(jìn)行表征，學(xué)生知道要把整體分成10份，但對于平均分并沒有概念。整體上看，學(xué)生對于分物的整體認(rèn)識不充分，對于均分概念比較模糊，大部分學(xué)生對小數(shù)的理解仍停留在小數(shù)形式表面，對于小數(shù)本質(zhì)意義的理解還需多種形式輔助。

（三）小數(shù)與整數(shù)、分?jǐn)?shù)的聯(lián)系分析

測評題3、部分學(xué)生答卷及結(jié)果分析：

用合適的數(shù)填一填。

比0.1大，比0.3小的數(shù)有（ ）

0.5+0.08=（ ） 你的解釋

學(xué)生對于小數(shù)的意義的理解還存在一個(gè)理想與現(xiàn)實(shí)的差距，近80%的學(xué)生認(rèn)為比0.1大比0.3小的數(shù)只有一個(gè)0.2，即對小數(shù)的本質(zhì)屬性——小數(shù)的稠密性缺乏完整的體驗(yàn)，對于小數(shù)的產(chǎn)生及其必要性缺少概念，整數(shù)知識對小數(shù)意義的學(xué)習(xí)有著很大的幫助，學(xué)生能通過以往整數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)同小數(shù)進(jìn)行類比，結(jié)果顯示有57.5%的學(xué)生能通過整數(shù)知識的類比找到正確的結(jié)果，但只有13.8%的學(xué)生能以計(jì)數(shù)單位的視角進(jìn)行正確的解釋，而在不能正確計(jì)算的42.5%的學(xué)生中，有80.4%的學(xué)生把5和8相加，反映了學(xué)生對于計(jì)數(shù)單位的理解還不到位。

三、策略思考

基于前測對于教學(xué)的定位，筆者形成了對“小數(shù)的意義”一課的思考。

（一）以“整體”為入口，表征小數(shù)

張奠宙教授認(rèn)為：“引進(jìn)小數(shù)是為了表示小于‘單位1的量，除0之外，自然數(shù)中最小的是1，所以自然數(shù)不能表示小于1的量。小數(shù)是分母為10，100，1000……的一類特殊分?jǐn)?shù)。小數(shù)十進(jìn)制位值原則記數(shù)法，滿十進(jìn)一，但分?jǐn)?shù)不是?！币虼俗鳛榫謽?biāo)準(zhǔn)的“1”對于認(rèn)識小數(shù)及其意義有著至關(guān)重要的作用。而對于這個(gè)“1”的理解，以及對“1”充分理解后的表征則是走向小數(shù)意義理解的第一步。

筆者認(rèn)為建構(gòu)起以面積、線段、數(shù)軸等模型多元感知“1”，同時(shí)結(jié)合具體的情境激發(fā)學(xué)生對小數(shù)產(chǎn)生實(shí)際的共鳴。譬如在表征0.1時(shí)，可以先讓學(xué)生自主說一說0.1具體可以表示什么，學(xué)生可以把生活經(jīng)驗(yàn)中的0.1元、0.1千克、0.1米等抽取出來，并對0.1和1元、1千克、1米進(jìn)行對比，從而形成對小數(shù)的初步認(rèn)知。接著讓學(xué)生在面積、線段“1”中表征0.1，幫助學(xué)生建立對不同“1”形的認(rèn)知，從而為感知小數(shù)的本質(zhì)意義，建立小數(shù)與整數(shù)、分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，抽象出數(shù)學(xué)意義上的0.1奠定基礎(chǔ)。在這些模型的堆疊、運(yùn)用、建構(gòu)中，圖、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、現(xiàn)實(shí)生活情境，通過生活語言、圖示語言和數(shù)學(xué)語言相互轉(zhuǎn)化，從而豐富教學(xué)的內(nèi)涵。

（二）以“數(shù)數(shù)”為突破，展現(xiàn)過程

華羅庚曾說：“數(shù)（shù）源于數(shù)（shǔ）?！睌?shù)（shù）的本質(zhì)其實(shí)是數(shù)（shǔ），而數(shù)（shǔ）的本質(zhì)在于計(jì)數(shù)單位，如整數(shù)，我們可以一個(gè)一個(gè)數(shù)，十個(gè)十個(gè)數(shù)，百個(gè)百個(gè)數(shù)，個(gè)、十、百就是計(jì)數(shù)單位。小數(shù)和分?jǐn)?shù)亦是如此，通過數(shù)數(shù)，展開教學(xué)過程，在序列增加或減少中，凸顯計(jì)數(shù)單位，培養(yǎng)數(shù)感，豐富學(xué)生數(shù)概念。

因此，筆者建議在教學(xué)中應(yīng)關(guān)注作為計(jì)數(shù)單位的0.1及0.01的認(rèn)識，把小數(shù)的意義和對小數(shù)的建構(gòu)建立在數(shù)計(jì)數(shù)單位上來。在表征出0.1后，可以借助于數(shù)數(shù)鞏固對0.1的認(rèn)識，如在面積模型中從0.4開始數(shù)數(shù)到整數(shù)1，驗(yàn)證10個(gè)0.1是1，建立“1”與0.1在形上的聯(lián)系。而在對本課的難點(diǎn)兩位小數(shù)的突破上，還是以數(shù)數(shù)為基礎(chǔ)，讓學(xué)生在實(shí)際情境（如身高）0.01中或0.01的增加中深刻認(rèn)識兩位小數(shù)的計(jì)數(shù)單位是0.01，在數(shù)到相同的數(shù)如1.77時(shí)，感知一位小數(shù)與兩位小數(shù)的區(qū)別，在數(shù)到1.80時(shí)體會一位小數(shù)與兩位小數(shù)的聯(lián)系。為比較一位小數(shù)與兩位小數(shù)的本質(zhì)，進(jìn)而推理產(chǎn)生三位小數(shù)乃至多位小數(shù)，建構(gòu)起小數(shù)體系，夯實(shí)了基礎(chǔ)。學(xué)生在數(shù)數(shù)中所經(jīng)歷的十等分、百等分及計(jì)數(shù)單位累加的過程，深化了對小數(shù)意義的認(rèn)知，形成了對計(jì)數(shù)單位、數(shù)位等抽象意義更深刻、個(gè)性化的認(rèn)識和理解。

（三）以“分割”為深化，促進(jìn)內(nèi)化

維果茨基說：“了解概念形成的過程，即可把握住兒童認(rèn)知與思維的過程?！睂τ跀?shù)概念的理解也應(yīng)遵循數(shù)概念的形成過程。即幫助學(xué)生在無限分割中逐步建立小數(shù)概念，體會小數(shù)因測量、分物、計(jì)算而產(chǎn)生需要，深度理解小數(shù)的稠密性，從而促進(jìn)自身的認(rèn)知，提升數(shù)學(xué)思維。

筆者認(rèn)為小數(shù)的產(chǎn)生其實(shí)質(zhì)是整數(shù)不夠表示。當(dāng)整數(shù)不夠表示時(shí)，把整數(shù)平均分成10份，每1份是0.1，于是就產(chǎn)生了一位小數(shù)，當(dāng)一位小數(shù)不夠表示時(shí)，就把0.1平均分成10份，每1份就是0.01，于是就產(chǎn)生了兩位小數(shù)。多位小數(shù)亦是如此。借助面積、立體、數(shù)軸模型十等分再十等分，學(xué)生不斷感受細(xì)分的過程，逐漸體會兩個(gè)小數(shù)之間還存在著無數(shù)個(gè)小數(shù)。以這樣的分割操作引入，學(xué)生在分一分、畫一畫、說一說、數(shù)一數(shù)等活動中發(fā)現(xiàn)小數(shù)產(chǎn)生的實(shí)際需要，體驗(yàn)具體到抽象的理解過程，從而刻畫出小數(shù)的稠密性。在這樣的學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生對于整數(shù)、分?jǐn)?shù)自然進(jìn)行了聯(lián)系，而數(shù)數(shù)又很好地彌補(bǔ)了學(xué)生意義概念上的缺失，指向于學(xué)生對于數(shù)的本質(zhì)理解，打破了學(xué)生原有的數(shù)的體系，豐富了數(shù)系的內(nèi)涵，而更為關(guān)鍵的是學(xué)生習(xí)得數(shù)產(chǎn)生的基本活動經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)新的數(shù)的學(xué)習(xí)埋下了種子。

（四）以“文化”厚實(shí)，培育素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個(gè)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)?！笨梢?，數(shù)學(xué)、文化、素養(yǎng)本身就可以進(jìn)行有機(jī)結(jié)合。在數(shù)學(xué)的課堂里，以文化人，用文化來培育人，讓素養(yǎng)得以真正發(fā)生，是“小數(shù)的意義”這一課所期望達(dá)成的另一高度。

筆者認(rèn)為，可以讓數(shù)學(xué)在人文科學(xué)、自然科學(xué)領(lǐng)域找到原型，用學(xué)生所熟知的小數(shù)，如圓周率π、黃金分割率0.618等展開設(shè)計(jì)，開闊學(xué)生的視野，讓素養(yǎng)伴隨著文化自然發(fā)生。以0.618為例，給出一條0～1的數(shù)軸，讓學(xué)生來猜數(shù)。在學(xué)生的猜測中謎底逐步揭示，學(xué)生在數(shù)線的無限逼近中實(shí)現(xiàn)對小數(shù)意義的深度抽象認(rèn)識，推理出數(shù)軸上的點(diǎn)是稠密的，并且是連續(xù)的，任意兩個(gè)無限接近的點(diǎn)之間的線段仍然可以不斷地細(xì)分，從而繼續(xù)產(chǎn)生無數(shù)個(gè)點(diǎn)的特性，與此對應(yīng)的小數(shù)也是無窮無盡的，從而建構(gòu)起對小數(shù)本質(zhì)意義的理解。在數(shù)學(xué)素養(yǎng)諸如抽象、推理等概念的建立的同時(shí)，學(xué)生對0.618這個(gè)古老分割率的認(rèn)識得到了提升。

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（浙江省杭州市余杭區(qū)古墩路小學(xué) 311100）