動態(tài)幾何中的矩形折疊問題

王興凱

摘要：矩形的折疊是矩形變換的一種方式，能夠體現(xiàn)矩形由靜態(tài)向動態(tài)變化的過程，便于學(xué)生通過實(shí)踐操作來進(jìn)行觀察和驗(yàn)證.讓學(xué)生于親身體驗(yàn)中建立幾何直觀，發(fā)展空間觀念和想象力，從空間變換層面來發(fā)展學(xué)生的運(yùn)用意識和創(chuàng)新精神.著重考查學(xué)生的應(yīng)變能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是中考中的一抹亮麗的霞光.

關(guān)鍵詞：矩形折疊;全等變換;實(shí)踐操作;數(shù)形結(jié)合;轉(zhuǎn)化對應(yīng)

初中數(shù)學(xué)中的圖形變換是幾何直觀與空間觀念的重要組成部分，其中圖形的折疊是圖形變換的方式之一，能夠體現(xiàn)圖形由靜態(tài)向動態(tài)變化的過程，同時(shí)也增加了背景的復(fù)雜度和問題的新穎度.相對于圖形的平移與旋轉(zhuǎn)而言，圖形折疊便于學(xué)生的動手實(shí)踐，易于學(xué)生通過實(shí)際操作來進(jìn)行觀察和驗(yàn)證，是一種很好的訓(xùn)練學(xué)生學(xué)會從“變化中找不變”的體驗(yàn)?zāi)Ｊ?正因?yàn)檎郫B的易操作性和趣味性，使之受到學(xué)生的喜愛和出題者的青睞.

圖形折疊問題實(shí)質(zhì)上就是圖形的軸對稱問題，折痕所在的直線就是對稱軸.其性質(zhì)是成軸對稱的兩個(gè)圖形的任何對應(yīng)部分也成軸對稱、對應(yīng)點(diǎn)的連線被對稱軸垂直平分、對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等.通過圖形折疊可讓學(xué)生從圖形的變換中體會“變中不變”的思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與對應(yīng)思想等，讓學(xué)生于親身體驗(yàn)中建立幾何直觀，發(fā)展空間觀念和想象力，從空間變換層面來發(fā)展學(xué)生的運(yùn)用意識和創(chuàng)新精神.本文以矩形折疊為例來加以闡釋.

1 利用矩形折疊求線段的比值、角度、尋找點(diǎn)的位置

例1 （2018年泰州市）對給定的一張矩形紙片ABCD進(jìn)行如下操作：先沿CE折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上（如圖1），再沿CH折疊，這時(shí)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E恰好與點(diǎn)D重合（如圖2）.

（1）根據(jù)以上操作和發(fā)現(xiàn)，求CD/AD的值;

（2）將該矩形紙片展開.

①如圖3，折疊該矩形紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)日重合，折痕與AB相交于點(diǎn)P，再將該矩形紙片展開，求證：∠HPC =90°：

②不借助工具，利用圖4探索一種新的折疊方法，找出與圖3中位置相同的點(diǎn)P，要求只有一條折痕，且點(diǎn)P在折痕上，請簡要說明折疊方法.（不需說明理由）

簡析（1）如圖5，連接EH，DF，由第二次折疊得DH= EH，EF=DF，∠EHF=∠DHF，∠ECF=1/2∠DCE.

由第一次折疊得∠DCE=∠CEF =45°，AD∥EC.

所以∠ EFH= ∠DHF，∠ECF= 22.5°.所以∠EFH= ∠EHF.

易證礙EF= EH= DH= DF.

所以四邊形EFDH是菱形.

因?yàn)椤螮FH=∠ECF+ ∠CEF =67.5°

所以∠EHF= ∠EFH=67.5°。

點(diǎn)評 本題入口寬、層級遞進(jìn)、思維步步進(jìn)階，為不同層次的考生發(fā)揮出自己的最佳水平提供了可能.以圖形折疊為背景，綜合考查了菱形、等腰直角三角形、勾股定理、全等三角形等知識.解題時(shí)注意折疊問題實(shí)質(zhì)上就是軸對稱變換問題，利用對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等是解決此類問題的關(guān)鍵，考生可動手操作或在腦海中作無紙化模擬折疊來尋找對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角.解題（1）的關(guān)鍵是得出∠EHF= ∠EFH =67.5°，進(jìn)而判斷四邊形EFDH是菱形，再證得△AEH是等腰直角三角形，從而使問題得以化解;解題（2）①的關(guān)鍵是由折疊得PH= PC并利用CD/AD=√2，通過設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，表示出相關(guān)線段的長度，根據(jù)勾股定理分別表示出PH²與PC²的長度，利用PH²=PC²構(gòu)造方程來化解問題

2 利用矩形折疊求線段長度、角度、證明點(diǎn)的位置關(guān)系

例2（2018年鎮(zhèn)江市）（1）如圖7，將矩形ABCD折疊，使BC落在對角線BD上，折痕為BE，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處，若∠ADB=46°，則∠DBE的度數(shù)為____。.

（2）小明手中有一張矩形紙片ABCD.AB =4，AD =9.

【畫一畫】如圖8，點(diǎn)E在這張矩形紙片的邊AD上，將紙片折疊，使AB落在CE所在直線上，折痕設(shè)為MN（點(diǎn)M，N分別在邊AD，BC上），利用直尺和圓規(guī)畫出折痕MN（不寫作法，保留作圖痕跡，并用黑色水筆把線段描清楚）;

【算一算】如圖9，點(diǎn)F在這張矩形紙片的邊BC上，將紙片折疊，使FB落在射線FD上，折痕為GF，點(diǎn)A，B分別落在點(diǎn)A'，B'處，若AG=7/3，求B'D的長;

【驗(yàn)一驗(yàn)】如圖10.點(diǎn)K在這張矩形紙片的邊AD上，DK =3，將紙片折疊，使AB落在CK所在直線上，折痕為HI，點(diǎn)A，B分別落在點(diǎn)A'，B'處，小明認(rèn)為B'I，所在直線恰好經(jīng)過點(diǎn)D，他的判斷是否正確，請說明理由，

點(diǎn)評 本題層次分明、低起高落、思維層級遞增，使不同層級的考生在數(shù)學(xué)上能有不同的收獲.解題（2）【畫一畫】的關(guān)鍵是運(yùn)用折痕是對稱點(diǎn)連線的垂直平分線，從而作出圖形;解題（2）【驗(yàn)一驗(yàn)】的關(guān)鍵是利用矩形和折疊的性質(zhì)證得三角形相似，得出比例式，建立方程求得相關(guān)線段的長，尤其是根據(jù)tan ∠B'IC與tan ∠DIC是否相等來化解問題，將學(xué)生思維拉升至峰頂，成為考查思維與學(xué)科素養(yǎng)的制高點(diǎn).

3 利用矩形折疊進(jìn)行開放性探究與設(shè)計(jì)

例3（2018年德州市）再讀教材：寬與長的比是√5-1/2（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形.黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì)，下面，我們用寬為2的矩形紙片折疊黃金矩形.（提示：MN =2）

第一步，在矩形紙片一端，利用圖13的方法折出一個(gè)正方形，然后把紙片展平;

第二步，如圖14，把這個(gè)正方形折成兩個(gè)相等的矩形，再把紙片展平;

第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線AB，并把AB折到圖15中所示的AD處;

第四步，展平紙片，按照所得的點(diǎn)D折出DE，使DE⊥ND，則圖16中就會出現(xiàn)黃金矩形.

問題解決 （1）圖15中AB=____（保留根號）;

（2）如圖15，判斷四邊形BADQ的形狀，并說明理由;

（3）請寫出圖16中所有的黃金矩形，并選擇其中一個(gè)說明理由，

實(shí)際操作（4）結(jié)合圖16，請?jiān)诰匦蜝CDE中添加一條線段，設(shè)計(jì)一個(gè)新的黃金矩形，用字母表示出來，并寫出它的長和寬.

簡析（1）由折疊得AF =2，BF =1.

所以AB=√AF²+BF²=√5.

（2）四邊形BADQ是菱形.理由如下：

由折疊知四邊形ACBF是矩形.

所以BQ//AD，得∠BQA= ∠DAQ.

由折疊得∠BAQ= ∠DAQ，AB =AD.

所以∠BQA=∠BAQ，得BQ =AB.

所以BQ =AD.

又BQ//AD，

所以四邊形BADQ是平行四邊形.

因?yàn)锳B =AD，

所以四邊形BADQ是菱形.

（3）圖16中的黃金矩形有矩形BCDE、矩形MNDE.以黃金矩形BCDE為例，理由如下：

由折疊得AD =AB=√5，AN =AC =1.

所以CD =AD -AC=√5-1.

又BC =2，所以√5-1/2.

故矩形BCDE是黃金矩形.

（4）①如圖17，在矩形BCDE上添加線段GH，使四邊形GCDH為正方形，此時(shí)四邊形BGHE為所要作的黃金矩形，長GH=√5-1，寬HE =3一√5.

②如圖，在矩形BCDE上添加線段PI，使四邊形BPIE為正方形，此時(shí)四邊形CDIP為所要作的黃金矩形，長CD=√5-1，寬ID=3一√5.

點(diǎn)評 本題寬入口、低起點(diǎn)、拾級而上，讓不同層次的考生都可各施其能、各有所得.題目以圖形的折疊和教材中的黃金矩形為背景，考查了學(xué)生的幾何直觀和平時(shí)的動手能力，尤其是空間觀念與想象力.解題的關(guān)鍵是從折疊后的展開圖中，找準(zhǔn)折疊前后圖形的對應(yīng)點(diǎn)、對應(yīng)邊和對應(yīng)角，利用矩形性質(zhì)和折疊的特征來化解問題.

4 矩形折疊轉(zhuǎn)化為平行四邊形折疊并進(jìn)行開放性探究

例4（2018年齊齊哈爾市）折紙是一項(xiàng)有趣的活動，同學(xué)們小時(shí)候都玩過折紙，可能折過小動物、小花、飛機(jī)、小船等.折紙活動也伴隨著我們初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，在折紙過程中，我們可以通過研究圖形的性質(zhì)和運(yùn)動、確定圖形位置等，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念.在經(jīng)歷借助圖形思考問題的過程中，我們會初步建立幾何直觀，折紙往往從矩形紙片開始，今天，就讓我們帶著數(shù)學(xué)的眼光來玩一玩折紙，看看折疊矩形的對角線之后能得到哪些數(shù)學(xué)結(jié)論.

實(shí)踐操作如圖18，將矩形紙片ABCD沿對角線AC翻折，使點(diǎn)B'落在矩形ABCD所在平面內(nèi)，B'C和AD相交于點(diǎn)E，連接B'D.

解決問題（1）在圖18中，①B'D和AC的位置關(guān)系為____;

②將△AEC剪下后展開，得到的圖形是____;

（2）若圖18中的矩形變?yōu)槠叫兴倪呅螘r(shí)（AB≠BC），如圖19所示，結(jié)論①和結(jié)論②是否成立，若成立，請?zhí)暨x其中的一個(gè)結(jié)論加以證明，若不成立，請說明理由;

（3）小紅沿對角線折疊一張矩形紙片，發(fā)現(xiàn)所得圖形是軸對稱圖形，沿對稱軸再次折疊后，得到的仍是軸對稱圖形，則小紅折疊的矩形紙片的長寬之比為____;

拓展應(yīng)用 （4）在圖19中，若∠B= 30°，AB =4√3，當(dāng)△AB'D恰好為直角三角形時(shí)，BC的長度為____.

簡析 （1）易證得：AD =BC=B'C，AE= CE，B'E= DE，△AEC和△DEB'是等腰三角形，四邊形ACDB'是等腰梯形，△AEC剪下后展開，得到的圖形四邊相等.所以①BD'∥AC，②菱形;

（2）（i）選擇②證明如下，如圖19.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，

所以AD∥BC，得∠DAC=∠ACB.

因?yàn)閷ⅰ鰽BC沿AC翻折至△AB'C，

所以∠ACB'=∠ACB.

即∠DAC= ∠ACB'，得AE= CE.

所以△AEC是等腰三角形.

所以將△AEC剪下后展開，得到的圖形四邊相等.得到的圖形是菱形.

（ii）選擇①證明如下，如圖19.

將△ABC沿AC翻折至△AB'C，得B'G=BC.

由AD= BC，得B'C=AD.

由（i）知AE= CE，得B'E= DE.

所以△AEC和△DEB'是等腰三角形.

因?yàn)椤螦EC= ∠B'ED，所以∠ADB'=∠DAC.

即B'D∥AC.

（3）分兩種情形如下：

①當(dāng)矩形的長寬相等時(shí)，滿足條件，此時(shí)矩形紙片的長寬之比為1：1;

②如圖20，當(dāng)矩形的長寬之比為√3：1時(shí)，滿足條件，此時(shí)可以證明四邊形ACDB'是等腰梯形，是軸對稱圖形，再證明四邊形AFEB'是軸對稱圖形.

綜上所述，滿足條件的矩形紙片的長寬之比為1：1或√3：1.

（4）由（ii）知AD =B'C，AC∥B'D.

可得四邊形ACB'D是等腰梯形，

因?yàn)椤螧= 30°，所以∠AB'C=∠CDA =30°.

以下分四種情形分別討論求解：

（I）如圖21中，當(dāng)∠B'AD= 90°，AB >BC時(shí)，連接DB'，易證得四邊形ACB'D是等腰梯形.

所以當(dāng)BC的長為4或6或8或12時(shí)，△AB'D是直角三角形.

點(diǎn)評本題低起高落、層級遞增、思維螺旋上升，讓不同層次的考生都易于上手，有話可說，有分可得.以圖形的折疊為背景，考查了四邊形的綜合、軸對稱變換、矩形的性質(zhì)、等腰梯形的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識.解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題.解題（3）的關(guān)鍵是依題中的方法兩次折疊矩形紙片后所得圖形是軸對稱圖形，結(jié)合圖18中△AEC是等腰三角形和四邊形ACDB'是等腰梯形來化解問題;解題（4）的關(guān)鍵是△AB'D為直角三角形時(shí)，如何分類并畫出相應(yīng)的圖形，將眾多知識融合，通聯(lián)互補(bǔ)，從而將學(xué)生的思維拉伸至高處，成為思維考查的制高點(diǎn).