注重能力培養(yǎng) 促進(jìn)思維生長

摘要：本文在“經(jīng)驗缺失陷困境類比轉(zhuǎn)化迎曙光”一文的基礎(chǔ)上，對問題進(jìn)一步探究，從不同角度給出了新的解法.

關(guān)鍵詞：能力培養(yǎng);活動經(jīng)驗;探究

讀了顧建鋒老師發(fā)表在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2017年第5期（中旬）《經(jīng)驗缺失陷困境類比轉(zhuǎn)化迎曙光》（以下簡稱文[1]）一文后，筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)追求的目標(biāo)是學(xué)生對基礎(chǔ)知識與基本技能的應(yīng)用，是學(xué)生對問題數(shù)學(xué)化能力的發(fā)展[1]，因此教師要善于以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有經(jīng)驗為基礎(chǔ)，注重知識的生長點與延伸點.要從試題中挖掘出更深層的知識，使隱性的、零碎的解題經(jīng)驗顯性化、系統(tǒng)化.探尋學(xué)生解題時容易想到的自然解法，但不可故步自封，有時甚至可以另辟蹊徑.通過進(jìn)一步思考，筆者對解法又有了新的發(fā)現(xiàn).

1 試題呈現(xiàn)

問題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B，C的坐標(biāo)分別為（-2，0），（0，-4），（4，0），點M在y軸的正半軸上且滿足∠AMB+∠ABM= ∠ACB，求點M的坐標(biāo).

解讀 本題條件簡約，但是思維含量很大，可以考查一次函數(shù)、相似、三角形等核心知識.相似三角形及其相關(guān)知識是考查學(xué)生分析和解決問題等綜合能力的重要載體，在解決問題時，要善于從復(fù)雜圖形中分離或構(gòu)造基本圖形，發(fā)現(xiàn)隱性條件，從而迅速發(fā)現(xiàn)解題突破口.

2 解法探尋

本題將圖形放置于平面直角坐標(biāo)系中，因此可以考慮用坐標(biāo)的方法探究解題思路

解法1 如圖2，延長MA、CB交于點D，設(shè)M（O，

點評 解法1利用了解析法，待定系數(shù)法，解方程組，兩點距離公式，相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，一元二次方程等知識.解法l是通法，但運算量稍大，繼續(xù)思考，既然用M點坐標(biāo)可以表示D點坐標(biāo)，進(jìn)而求出D的坐標(biāo)，那么當(dāng)然也可以先求出D點坐標(biāo)，再將坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為水平或鉛垂線段，借助基本事實九的推論求出OM的長，得到點M坐標(biāo).

點評 解法2利用相似三角形面積比等于相似比的平方及等高的兩個三角形面積比等于底的比.充分利用共邊共角型相似這一基本圖形（也稱為母子相似）激活思維，靈活展開計算，大大簡化了解法1中的計算量.當(dāng)然也可以只延長MA，直接過點B作BD //x軸，交MA延長線于點D.既然∠DAB，∠BCA都是45°，可以在x軸上點A左側(cè)取點E，使∠DEA= 45°，構(gòu)造一線三等角這一經(jīng)驗圖形來解決.

解法3 如圖4，延長MA、CB交于點D，作DF⊥x軸交于點F，在CF的延長線上取點E，連接DE，使∠DEA =45°.

點評 這個思路清新自然，源于對問題的深入探究，對基本圖形的理解、運用更加靈活.當(dāng)然根據(jù)對稱性，在BO上取D，使OD= OA，也是可以的.

解法6 如圖7，作MD //AB，交x軸于點D，則∠MDA= ∠CAB，∠ABM= ∠DMO.

由∠AMB+∠ABM=∠ACB，得∠AMD=∠AMB+ ∠DMO= ∠AMB+ ∠ABM= ∠ACB =45°.

所以△MDA∽△CAB.

所以MD/CA=AD/AB

設(shè)OD =a，則由MD //AB，得MD/OD =BO/OA =2/1.

所以O(shè)M =2a，MD =√5a，AD =a +2.

而CA =6，AB= 2√5，代入解得a=3.

所以O(shè)M =6，即M（O，6）.

點評 通過添加輔助線把分散的條件集中，往往有利于解題當(dāng)然，根據(jù)對稱性可以把∠ABM移到MA左側(cè);也可以把∠AMB移到BA右側(cè).還可以把∠ABM或∠AMB移到∠ACB內(nèi)，轉(zhuǎn)化為類似于線段的截長補短，進(jìn)行解決，向上看，解法5相當(dāng)于作AD //BC.進(jìn)一步思考，過M，A，C，B任意一點作平行線均可（如圖8、圖9，分別對應(yīng)解法7、解法8）.添加平行線，這是構(gòu)造相似三角形的常見的輔助線，用在這里，體現(xiàn)了多解歸一的數(shù)學(xué)本質(zhì)和化繁為簡、化難為易、化陌生為熟悉的解題策略和數(shù)學(xué)意識，可謂四兩撥千斤，相比文[1]中的過點B作x軸的平行線，是一致的，且思路更顯自然，合理.

點評 解法9、解法10通過構(gòu)造基本圖形，注重數(shù)形結(jié)合，揭示了問題的本質(zhì)，開闊了學(xué)生的視野.

3 教學(xué)啟示

3.1 注重能力培養(yǎng)，促進(jìn)思維生長

通過以上解法探尋（關(guān)鍵是合理構(gòu)造相似圖，關(guān)注解法的自然生成和思路的自然轉(zhuǎn)化），給出了自己讀刊后的一點想法.對于圖形與幾何來說，重在積累解題經(jīng)驗，將四基轉(zhuǎn)化為能力，推動數(shù)學(xué)意識和數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升，促進(jìn)思維生長.因此教師首先要做好角色定位，發(fā)揮好組織者、引導(dǎo)者、點評者的作用;其次要明確轉(zhuǎn)化方向，深刻理解概念、判斷、推理的有機(jī)整合，追求知識與思維能力的自然生長;最后要循序漸進(jìn)，注重數(shù)學(xué)的過程教育，注重知識和方法的生成，持之以恒地抓好基礎(chǔ)知識、基本技能的目標(biāo)落實，做到左右逢源，游刃有余.

在實際教學(xué)中，抓住兩點就可以了.一是抓住基本圖形的教學(xué);二是抓住經(jīng)驗圖形的教學(xué)[2].特別是，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要聯(lián)系的學(xué)，整體的學(xué)，一題多解后還要多解歸一.思想的感悟與經(jīng)驗的積累，主要依賴于學(xué)生親身參與其中的數(shù)學(xué)活動，依賴學(xué)生的獨立思考，在學(xué)生自主解答時，教師要確保學(xué)生經(jīng)歷解題經(jīng)驗積累的過程，問題的解答需要經(jīng)歷學(xué)生讀題、析題、畫圖分析，綜合推敲、轉(zhuǎn)化類比、矯正完善、尋找原型、揭示本質(zhì)等過程，決不能用教師的講評、課件的演示、優(yōu)生的解答替代每一位學(xué)生的思考.

3.2 注重能力培養(yǎng)，促進(jìn)核心素養(yǎng)落地

在發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的背景下，注重能力培養(yǎng)的意義不僅在于鞏固學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本知識和基本技能，還在于學(xué)生積累豐富的活動經(jīng)驗，感悟重要的數(shù)學(xué)基本思想，提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，盡可能在課程實施，課堂教學(xué)，作業(yè)以及社會實踐中，達(dá)到和易以思、神明自得的境界，促進(jìn)核心素養(yǎng)的落地.

參考文獻(xiàn)：

[1]齊欣.一個經(jīng)典的相似模型及變式[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（24）：17 - 18.

[2]齊欣.例析線段、角的計算與證明[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2017（02）：7- 10.