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    構造等腰三角形,證明幾何問題

    2019-04-18 12:51方海國
    理科考試研究·初中 2019年2期
    關鍵詞:線段性質

    方海國

    摘要:解幾何題時,若遇到角平分線、線段的垂直平分線、倍角三角形等問題,可巧妙構造等腰三角形,借助等腰三角形的有關性質,往往能夠迅速找到解題方法,使問題化難為易,迎刃而解.本文舉例說明構造等腰三角形解幾何問題.

    關鍵詞:線段;等腰三角形;性質

    1 構造等腰三角形證兩線段相等

    例1 如圖1所示,在△ABC中,BD平分∠ABC,BD上CD于點D,DE //AB交BC于點E.

    求證:BE= CE[l].

    分析 由BD是角平分線和垂線聯(lián)想到等腰三角形,為此需要分別延長BA和CD,設它們相交于點F,則△BCF是等腰三角形,故點D為CF的中點.又DE//AB,所以BE= CE.

    2 構造等腰三角形證兩線段不相等

    例2 如圖2所示,△ABC中.AB >AC,AD平分∠A交BC于點D.

    求證:BD> DC.

    分析 如果能將BD和CD轉移到同一個三角形中,則可用邊角關系來證,為此可延長AC到點E,使AE =AB,連BE交AD的延長線于點F,則由等腰三角形“三線合一”的性質可知AF垂直平分BE,連結DE,則 BD= DE.

    又因為∠1=∠2,而∠3>1,故∠3>∠2,從而DE> DC.因此BD >DC.

    3 構造等腰三角形證線段的倍分關系

    例3 如圖3所示,BD平分∠ABC,BD⊥CD于點D,BE= DE.求證:BC =3AB,

    分析 因為BD既是角平分線又是垂線,所以可考慮構造等腰三角形來證明,延長CD交BA的延長線于點F,則BF= BC.

    過D作DG //AE交BF于點G,因點D是CF的中點,所以AG =FG.又因為E是BD的中點,即AB=AG,因而BF =3AB,從而得到BC= 3AB.

    4 構造等腰三角形證兩線段垂直

    例4 如圖4所示,在四邊形ABCD中,∠BAD=∠BCD =90°,點E、F分別是對角線AC、BD的中點.

    求證:EF⊥AC.

    分析欲證EF⊥AC,因為點E為AC的中點,即證EF是AC的中垂線,為此可考慮構造等腰三角形來證,

    連結AF和CF,由題設知△AFC是等腰三角形,由其“三線合一”的性質可得EF⊥AC,

    5 構造等腰三角形證線段的等積關系

    例5如圖5所示,△ABC中,AD平分∠BAC,AD的中垂線EF交CB的延長線于點F.

    求證:DF2= BF·CF.

    分析 線段的等積關系一般用相似三角形證明.因為求證式中的三條線段共線,故應將其中某些線段進行代換,注意到EF垂直平分AD,則連AF可得等腰△FDA,且DF= AF,如果AF代DF,即證AF2= BF·CF,即證AF/BF=CF/AF.為此只需證△AFB∽△CFA.

    此時可由∠AFB公用和∠ABF= ∠ABF+1/2∠BAC=∠DAF+1/2∠BAC=∠CAF從而得證.

    6 構造等腰三角形證線段和差關系

    例6 如圖6所示,點D為△ABC的BC邊的中點,PD ⊥DQ于點D,點P、Q分別在AB、AC上,連PQ.

    求證:PB+ QC> PQ.

    分析 乍一看此題似無從下手,因為求證式中的三條線段分散于圖形之中,關系并不明顯[2],仔細觀察則豁然開朗,因為由題設可將三條線段集中在一個圖形中,延長QD到點E,使DE =DQ,連結PE、BE,則△PEQ是等腰三角形,故PQ=PE.易證△BDE≌△CDQ,則QC= BE.

    在△PBE中,PB+ BE> PE,因此PB +QC>PQ.

    7 構造等腰三角形證明兩個角相等

    例7 如圖7,四邊形ABCD中,AB= CD,點E、F分別是AD、BC中點,BA、CD延長線分別交FE的延長線于點M、N.求證:∠AME= ∠DNE.

    分析 如果能將∠AME和∠DNE轉化為等腰三角形的兩底角,則問題就能馬上解決.從題中“等線段”和“中點”兩個條件可以看出,這種轉化能實現(xiàn)

    連結BD并取中點G,連結EG、FG.則△GEF是等腰三角形.

    故∠1=∠2.再由GE //BM,GF //CN即可獲證,

    8 構造等腰三角形證角的倍分關系

    例8 如圖8,平行四邊形ABCD中,AB= 2AD,過點B作DA的延長線的垂線,垂足為E.設點F為CD的中點.

    求證:∠EFC =3 ∠DEF.

    分析過點F作FG //DE分別交AB、EB于點日、G,則∠1=∠2.

    連結BF,由DF= CF,得EG =BG.

    又BE⊥DE,所以FG⊥BG.

    即△FEB是等腰三角形.

    從而∠2= ∠3,易證四邊形BCFH是菱形.

    故∠3= ∠4.從而∠EFC =3 ∠DEF.

    9 構造等腰三角形證角的和差關系

    例9 如圖9,△ABC中,BD平分∠ABC,AE ⊥BD于點E.求證:∠BAE= ∠C+ ∠DAE.

    分析 由題設可知,延長AE交BC于點F,△ABF是等腰三角形,則∠AF= ∠BFA.再根據(jù)三角形的外角定理即可獲證.

    總之,當圖形有角平分線、垂線等條件時,可考慮構造等腰三角形使問題化繁為簡,尋找解題捷徑[2].

    參考文獻:

    [1]魏祥勤.一類與函數(shù)圖像有關的問題探究[J].中學數(shù)學教學參考,2016(6):66 -68.

    [2]莊彩丹.構建等腰三角形的三種思路[J].讀書文摘2016(06):125.

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