橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同

徐錢誠(chéng)

高中三角函數(shù)部分的公式很多，初學(xué)時(shí)老師反復(fù)要求“理解、記憶、應(yīng)用”：不僅要記住公式，而且要學(xué)會(huì)正用、逆用、變用，感覺(jué)十分痛苦.進(jìn)入一輪復(fù)習(xí)后，經(jīng)歷大量習(xí)題的反復(fù)演練，三角公式已不再覺(jué)得枯燥和繁雜，我反而感覺(jué)“三角問(wèn)題”相對(duì)比較簡(jiǎn)單.尤其是同角三角函數(shù)的基本關(guān)系之一“sin²α+cos²α=1”（往下簡(jiǎn)稱“平方關(guān)系”），從不同視角觀察公式的結(jié)構(gòu)，能得到不一樣的理解，進(jìn)而產(chǎn)生多樣的應(yīng)用，可謂“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”.

一、圓上點(diǎn)的“坐標(biāo)”

三角函數(shù)的定義有“終邊定義法”和“單位圓定義法”.按照單位圓定義法，正弦、余弦是單位圓上的任一點(diǎn)的“坐標(biāo)”，由此我們可以迅速地得出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系公式：設(shè)角α的終邊與單位圓交于P點(diǎn)（如圖），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（COSα，sinα）.又由PO長(zhǎng)為1，可得sin^/α+cos²α=1.推導(dǎo)過(guò)程蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合的方法，根據(jù)“平方關(guān)系”可以用三角函數(shù)來(lái)表示“圓上點(diǎn)的坐標(biāo)”.

例1

已知a，b，d，為實(shí)數(shù)，且a²+b²=4，c²+d²=9，求ac+bd的最大、最小值.

分析

本題是《基本不等式》部分的一道易錯(cuò)題，我同桌給出的錯(cuò)誤解答如下：

本解法錯(cuò)誤的原因是“取等號(hào)的條件不滿足”，該如何解決呢？如果注意到已知的條件“a²+b²=4，c²+d²=9”的結(jié)構(gòu)：平方和等于常數(shù)，這兩個(gè)等式可以理解為：點(diǎn)（a，b）是圓x²+y²=4上任意一點(diǎn)，點(diǎn)（c，d）是圓x²+y²=9上任意一點(diǎn).我們可以借用“平方關(guān)系”對(duì)（a，b）和（c，d，）進(jìn)行“三角換元”.具體解法如下：

解 令a=2cosθ，b=2sinθ，c=3cosα，d=3sinα，

則ac+bd= 6cos θcosα+6sin θsinα=6sin（θ-α）.

當(dāng)a=2，b=0，c=3，d=0時(shí)，函數(shù)取得最大值6;當(dāng)a=- 2，b—0，c=3，d=0時(shí)，函數(shù)取得最小值-6.

說(shuō)明 一般地，借助“平方關(guān)系”，我們可以用三角函數(shù)表示圓（x-a）²+（y-b）²=r²上的任一點(diǎn)：（rcos α，rsin α）;還可以用三角函數(shù)表示橢x²/a²+y²/b²=1上任意一點(diǎn)：（acos α，bsin α），這在解析幾何中稱為“參數(shù)法”，能夠簡(jiǎn)便地處理一類最值問(wèn)題.

二、正弦、余弦的“等式”

我喜歡這個(gè)常常被直接使用的得力助手：“sin²α+cos²α=1”.這個(gè)“平方關(guān)系”其實(shí)就是關(guān)于正弦（ sinα）、余弦（cosα）的一個(gè)等式，最基本的運(yùn)用就是相互表示或相互轉(zhuǎn)化，尤其是某一個(gè)為“平方”時(shí)，可以簡(jiǎn)化為同一個(gè)函數(shù).

例2

求當(dāng)函數(shù)y=sin2 x+ mcos x-1/2m-3/2的最大值為1時(shí)m的值.

分析依據(jù)題設(shè)條件，可轉(zhuǎn)化為關(guān)于cos x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值的方法求解.

三、代數(shù)式的“變形”

如果從“平方關(guān)系”的特征看，等式的左邊是“兩個(gè)同角三角函數(shù)的平方和”，而等式的右邊是常數(shù)“1”，于是我覺(jué)得還可以這樣來(lái)理解這種特征：“平方關(guān)系”可以將“代數(shù)式”轉(zhuǎn)化為“常數(shù)”.以這樣的理解視角，平方關(guān)系可以應(yīng)用于“化簡(jiǎn)”、“求值”.

分析題目中涉及的信息是同角的正弦和余弦，我們將它們和“平方關(guān)系”放在一起觀察：“sin x+cos x”，“sin x-cos x”，“sin²α+cos²α=1”，如果將前兩個(gè)代數(shù)式進(jìn)行“平方”變形，可以得到一個(gè)恒等式：（sin x+cosx）²+ （sinx-cos x）²=2.

解因?yàn)閟in x+cos x=1/5，

平方得sin²x+2sin xcos x+cos²x=1/25·

所以2sin xcos x=-24/25，

所以（sinx-cosx）²=1-2sinxcos x=49/25·

因?yàn)?π/20，sin x-cos x<0，

所以sin x-cos x=-7/5·兩個(gè)角的正弦和余弦關(guān)系式，也可以利用“平方”來(lái)變形：簡(jiǎn)化或消元.

四、常數(shù)1的“代換”

如果從逆用“平方關(guān)系”的視角看，等式的右邊是常數(shù)“1”，等式的左邊是“兩個(gè)同角三角函數(shù)的平方和”，我們可以將“1”用“sin²α+ cos²α”進(jìn)行代換.

解法1 將“平方關(guān)系”看成正余弦的

說(shuō)明這里運(yùn)用“平方關(guān)系”直接求出正弦和余弦的值，求解時(shí)涉及“開(kāi)方”，要注意“±”.事實(shí)上，本題“α是第二象限角”是可以去掉的.因?yàn)閷?shí)際上我們可以不用開(kāi)方出來(lái)求具體的sinα，cosα的值，只要其平方項(xiàng)就可以。

解法2 平方關(guān)系的逆用.

從小同角度理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系“sin²α+ cos²α=1”，使我在問(wèn)題解決的同時(shí)，提高了對(duì)公式的認(rèn)識(shí)，不再需要“死記硬背”也能靈活應(yīng)用.小小心得，與大家分享.