定理奠基，數(shù)形并舉

李凈

大數(shù)學(xué)家拉格朗日說：“只要代數(shù)同幾何分道揚鑣，它們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄.但當(dāng)這兩門科學(xué)結(jié)合成伴侶時，它們就相互吸收新鮮的活力，從而以快捷的步伐走向完美.”平面向量融數(shù)、形于一身，有著代數(shù)形式與幾何形式的“雙重身份”.作為代數(shù)的對象，向量可以進(jìn)行運算;作為幾何的對象，向量有方向，可以刻畫直線、平面等幾何量.其中，向量的數(shù)量積作為連接向量與實數(shù)之間的橋梁，幾乎可以解決幾何中所有的度量問題，如長度（模）、夾角、垂直等，在向量學(xué)習(xí)中有著極其重要的作用.

一、基底為“根”，根深葉茂

所謂基底法，是指解決向量問題時，首先選取兩個模長和夾角已知（或易求）的向量作為基底，再利用平面向量的加、減運算和平面向量基本定理，將待求的向量用基底來表示.在表示向量時，要充分利用同一頂點出發(fā)的基本向量或首尾連接的向量，運用線性運算法則及數(shù)乘運算來求解，另外還要充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解.

評注

平面向量的基本定理是整個向量知識體系的理論基礎(chǔ)，它表明同一平面內(nèi)的任一向量都可表示為其他兩個不共線向量的線性組合.因此，在本題中，在確定了基底后，可以求任意兩個向量的數(shù)量積.這正如根基一定，樹干和樹枝便可以自由生長，而枝干的營養(yǎng)皆來自根基.基底法策略體現(xiàn)了“化歸與轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想.

二、坐標(biāo)為“器”，化繁為簡

所謂坐標(biāo)法，是指解決向量問題時，通過合理地建立平面直角坐標(biāo)系，將問題中的點和向量用坐標(biāo)表示，將原本復(fù)雜的圖形特征和向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為較為簡單的坐標(biāo)關(guān)系（坐標(biāo)法亦可視為選擇單位正交向量為基底的基底法），從而將向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，從而降低問題的難度，這正是處理平面向量數(shù)量積問題的算法化思想.坐標(biāo)法的難點主要在于如何建系、如何表示坐標(biāo).一般地，幾何圖形的圖形特征（定比分點、對稱性、直角特征等）和向量線性運算的幾何意義都是建系時需要考慮的因素.

評注

在引入向量的坐標(biāo)表示后，可以有效地將向量之間的運算代數(shù)化，這樣就可以將“數(shù)”“形”緊密地結(jié)合在一起，將向量運算完全代數(shù)化，可使許多幾何問題轉(zhuǎn)化為同學(xué)們熟悉的有明確關(guān)系的數(shù)量運算.坐標(biāo)法體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想.

三、幾何為“核”，巧解妙算

所謂幾何法，是指解決向量問題時，把已知條件和所求結(jié)論在圖形中表示出來（往往結(jié)合其幾何意義），借助圖形思考、解決問題，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，a-b的幾何意義是a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積.此法在求解向量數(shù)量積的大小或最值時，常?？梢云鸬剿膬蓳芮Ы锏淖饔?使得問題大大簡化.

例3

如圖4是蜂巢結(jié)構(gòu)圖的一部分，正六邊形的邊長均為1，正六邊形的頂點稱為“晶格點”.若A，B，C，D四點均位于圖中的“晶格點”處，且A，B的位置所圖4所示，則AB.CD的最大值為

解析

如圖4，將蜂巢結(jié)構(gòu)圖上各點向直線AB做投影，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)選取圖中CD時，數(shù)量積AB·CD可以取得最大值.

由于蜂巢結(jié)構(gòu)圖具有對稱性，可以選擇建立如圖5所示的平面直角坐標(biāo)系，得到C，D兩點坐標(biāo)，即可求得AB.CD的最大值為24.

評注

向量是一個有“形”的幾何量，因此，在研究向量的有關(guān)問題時，一定要結(jié)合圖形進(jìn)行分析判斷求解，這是研究平面向量最重要的方法與技巧.圖形化策略體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

四、多管齊下，融會貫通

上面提到的三種解法，各有優(yōu)勢，需要我們根據(jù)題目特征合理選擇，有時還可能會綜合利用多種方法.

評注

此題的解法很多，可以利用基底法，將所求向量進(jìn)行分解，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積問題求得最值;也可以將幾何法和坐標(biāo)法相結(jié)合，還可以先利用坐標(biāo)法，求出M的軌跡，結(jié)合幾何圖形求解（如上所示）.除此以外，例1、例2、例3也可以使用其他方法來解決，同學(xué)們可以白行嘗試.

通過上面的研究，我們可以發(fā)現(xiàn)，解決向量數(shù)量積問題的一般方法有：

（l）基底法——利用平面向量基本定理把題中所有向量用基底表示，用向量的數(shù)量積公式（基底一般選擇長度已知、夾角已知的向量）;

（2）坐標(biāo)法——寫出所有點的坐標(biāo)，代人數(shù)量積的坐標(biāo)公式求解，圖形為矩形、直角三角形、等腰三角形、圓等優(yōu)先考慮建系;

（3）幾何法——利用向量線性運算、向量數(shù)量積的幾何意義，構(gòu)建合適的幾何圖形，將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，

解決向量數(shù)量積問題的幾種方法均源于向量的本質(zhì)特征，各具特色、各有利弊，它們既可以獨當(dāng)一面，還可以綜合使用，互為補充，相得益彰.