COS 36°的幾種求法

雷亞慶

2016屆鎮(zhèn)江一模有這樣一道題：

根據(jù)sin 36°=cos 54°，求cos 2016°.

由于cos 2016°=cos（1800°+216°）=cos 216°=cos（180°+36°）=cos 36°，

所以問(wèn)題回到求cos36°的值，這是一個(gè)很經(jīng)典的問(wèn)題.事實(shí)上題目中的條件雖然提示了解題的方向，但客觀上也束縛了解題的思路.實(shí)際上如果我們打開(kāi)思路，就可以發(fā)現(xiàn)很多解法.

解法1 利用余角公式求解，因?yàn)閟in 36°=cos 54°，所以得到2sin 18°cos 18°=cos（36°+ 18°），即2sin 18°cos 18°=cos 36°cos 18°-sin 36°sin 18°，亦即2sin 18°cos 18°=cos 36°cos 18°-2sin 18°cos 18°sin 18°，兩邊同時(shí)除以cos 18°，有2sin 18°=（1-2 sin 218°）-2 sin²18°.設(shè)sin 18°=x，得2x=（1-2x²）2x²，即4X²+2x-1=0，

解得

所以

解法2 因?yàn)閟in 72°=cos 18°，所以2sin 36°cos 36°=cos 18°，即4sin 18°cos 18°cos 36°=cos 18°，兩邊同除以cos 18°，得4sin 18°（1-2sin2 18°）=1，設(shè)sin 18°=x，則4x（1-2x²）=1，

注意到上述方程有一根

解法3 利用補(bǔ)角公式求解.因?yàn)閟in 72°=sin 108°，所以2sin 36°cos 36°=sin 72°cos 36°+ cos 72°sin 36°，兩邊同除以sin 36°，得2cos 36°=2 cos²36°+cos 72°，即2cos 36°=2cos236°+2cos²36°-1.設(shè)cos 36°=x，則有2x=4x²1即4x²-2x-1=0，

解法4 構(gòu)造黃金三角形求解，

如圖1構(gòu)造三角形ABC，∠A=36°，∠ABC=∠ACB=72°，

作∠ABC的角平分線BD，交AC于點(diǎn)D，

設(shè)AB=AC=1，BD=AD=BC=BC=X，則CD=1-X，

顯然△ABC∽△BDC，

實(shí)際上我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)三角形的底與腰之比為黃金分割數(shù)

因此這個(gè)三角形也被稱(chēng)為黃金三角形或最美三角形.

解法5 利用解三角形求解.如圖1，在△BDC中，cOs 36°=X²+X²-（1-X）²/2X²=X²+2X-1/2X²在△ABD中，cos 36°=1/2X，即有X²+2X-1/2X²=1/2X，