一類歐拉積分公式的計(jì)算方法及應(yīng)用

邢家省，楊義川，王擁軍

（1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京100191；2.數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100191）

歐拉積分公式是數(shù)學(xué)分析中的重要經(jīng)典成果［1-6］。文獻(xiàn)［1，3］利用對(duì)含參變量積分的求導(dǎo)方法，給出了歐拉公式的證明，但證明過(guò)程較為繁瑣，不易于被人掌握；文獻(xiàn)［6－7］指出利用復(fù)圍道積分方法也可得到歐拉積分公式，但所需知識(shí)較多，也不利于該法在數(shù)學(xué)分析中傳播。正是這些文獻(xiàn)中對(duì)歐拉積分公式證明的復(fù)雜性，限制了其傳播和應(yīng)用。

為了簡(jiǎn)化歐拉積分公式的證明方法，本文采用復(fù)數(shù)的歐拉公式表示，從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)歐拉積分公式的簡(jiǎn)短證明，其中涉及的過(guò)程非常簡(jiǎn)單，利于人們對(duì)歐拉積分公式的理解和掌握。有幾類重要的廣義積分在以往的文獻(xiàn)中是分別給予解決的，且解決辦法相當(dāng)復(fù)雜［7-20］，而本研究發(fā)現(xiàn)利用歐拉積分公式可對(duì)這幾類廣義積分給出統(tǒng)一的處理。研究還利用積分交換次序定理［8-15］的結(jié)論給出了一類廣義積分的計(jì)算結(jié)果，且在導(dǎo)出結(jié)果的過(guò)程中完全是利用數(shù)學(xué)分析已有的理論方法。研究以理論方法統(tǒng)一的形式傳播來(lái)達(dá)到數(shù)學(xué)分析學(xué)中應(yīng)有的概括高度，并形成了一套一般性的處理方法。

1 一類Euler積分公式的簡(jiǎn)便證明方法

定理1［1-6］

證明 記：

δ］是一致收斂的［1］。從而有：

于是I（α）＝I（0）eipα，顯然，兩邊分別取實(shí)部、虛部，就得定理1的結(jié)果。

文獻(xiàn)［1，3］給出了定理1的證明，采用的是對(duì)實(shí)部和虛部分別求導(dǎo)的辦法，證明過(guò)程較為繁瑣。本文利用復(fù)數(shù)的歐拉公式表示，將其作為整體，采用對(duì)變量求導(dǎo)的辦法給出了簡(jiǎn)短的證明過(guò)程，由此說(shuō)明采用復(fù)數(shù)的歐拉公式表示可達(dá)到簡(jiǎn)化的結(jié)果。

此外，若取f（z）＝zp－1e－λze－iα，在復(fù)平面上取特殊的圍道，也可以給出用復(fù)積分的辦法來(lái)計(jì)算定理1的結(jié)果［6-7］。對(duì)此不作詳述。

定理2

式為：

證明

從而積分關(guān)于p在［0，1］上連續(xù)，且成立

對(duì)－1＜p＜0，經(jīng)過(guò)分部積分計(jì)算，并利用定理1的結(jié)果，可得：

定理2的結(jié)果得證。

定理3［1-2］

定理4［1-6］

證明

2 歐拉積分公式的直接應(yīng)用

定理5［1-6］

設(shè)a，b＞0，p＞－1，則有：

證明

得到：

定理6［1-6］

設(shè)a，b＞0，p＞0，則有：

證明

得到：

記：

定理7［1-6］設(shè)a，b＞0，p＞0，則有：

證明 記：

兩端分別取實(shí)部和虛部，就可得到結(jié)果。

3 歐拉積分公式在廣義菲涅爾積分計(jì)算中的應(yīng)用

定理8［1-6］

設(shè)－1＜p＜1，則有：

證明

定理9［1-6］

證明

4 歐拉積分公式在一些廣義積分計(jì)算中的應(yīng)用

定理10［1-6］

設(shè)k＞0，－1＜p＜1，則有：

證明

利用積分交換次序的理論方法［8-15］，可以證明有：

于是有：

于是又有：

定理1的結(jié)果，得到：

從而有：直接利用定理10的結(jié)果，可得下面定理11。

定理11［1-8］

定理12［1-8］

證明

對(duì)k＞0，0＜p＜1，有：

定理13［1-8］

設(shè)k＞0，0＜p＜1，則有：

證明

），代入積分

利用（7）式，可得：

利用定理1的結(jié)果，得到：

于是：

定理14［1-8］

設(shè)α≥0，則有：

證明

由于w（α）有界，所以

所以

于是有：