個(gè)體觀測次數(shù)與協(xié)變量個(gè)數(shù)都趨于無窮的二值數(shù)據(jù)GEE估計(jì)的漸近性質(zhì)

孫 晗，尹長明，靳永濤

（廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，南寧530004）

引言

廣義線性模型（Generalized Linear Model，GLM）最早被Nelder和Wedderburn［1］于1972年所引進(jìn)，用于解決因變量y取離散值的情況。而廣義估計(jì)方程（Generalized Estimation Equation，GEE）是Liang和Zeger［2］在1986年的一篇具有開創(chuàng)性意義的文章中引入的，作為對廣義線性模型相關(guān)數(shù)據(jù)的有用擴(kuò)展，主要用于分析縱向數(shù)據(jù)（Longitudinal Data））或集團(tuán)數(shù)據(jù)（Cluster Data）。而縱向數(shù)據(jù)一直是近些年來被研究的熱點(diǎn)之一［3］。在應(yīng)用中，廣義估計(jì)方程被廣泛應(yīng)用于生物統(tǒng)計(jì)、臨床試驗(yàn)、車險(xiǎn)定價(jià)及理賠等領(lǐng)域。張敏等［4］在高血壓研究案例當(dāng)中，以高血壓的四類并發(fā)癥擬合四個(gè)常數(shù)項(xiàng)，構(gòu)建廣義估計(jì)方程，用以計(jì)算各并發(fā)癥在基線水平上的發(fā)生概率。Wu等［5］通過收集中國高速公路出口坡道的四年碰撞數(shù)據(jù)來進(jìn)行建模，將GEE與傳統(tǒng)的GLM進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)前者可以很好地適用于碰撞頻率數(shù)據(jù)。李靜等［6］通過采用GEE方法建立了不同孕周的體重常模。康萌萌和劉素春［7］將GEE應(yīng)用到車險(xiǎn)定價(jià)中，與GLM相比，得到的變量更準(zhǔn)確。除此之外，GLM和GEE不再僅限于二值數(shù)據(jù)，在多分類問題中業(yè)已廣泛應(yīng)用，詳見文獻(xiàn)［8－12］。

Wang［13］證明了在個(gè)體觀測次數(shù)有限的情況下經(jīng)典Logit廣義估計(jì)方程估計(jì)的漸近性質(zhì)。而隨著時(shí)代的發(fā)展，對個(gè)體觀測的次數(shù)會(huì)越來越多，甚至趨于無窮。因此，本文將觀測次數(shù)由有限推廣到了無限，在相近的條件下證明了經(jīng)典Logit廣義估計(jì)方程估計(jì)的漸近性質(zhì)。

1 模型介紹

設(shè)在試驗(yàn)中對第i個(gè)個(gè)體的第j次觀測，得到二進(jìn)制響應(yīng)變量Yij和pn維協(xié)變量Xij，其中i＝1，…，n；j＝1，…，m。對于來自不同個(gè)體的觀測值，假設(shè)其相互獨(dú)立，而來自相同個(gè)體的觀測值則認(rèn)為是相關(guān)的，但相關(guān)系數(shù)未知。令Yi＝（Yi1，…，Yim）T表示第i個(gè)個(gè)體的響應(yīng)變量，并且Xi＝（Xi1，…，Xim）T為m×pn協(xié)變量矩陣。假設(shè)Ε（Yij，其中h的反函數(shù)g為聯(lián)系函數(shù)（Link Function）。對于經(jīng)典Logit模型來說，聯(lián)系函數(shù)為，βn是一個(gè)pn維的參數(shù)向量。此外，有：

詳細(xì)情況可參考文獻(xiàn)［14－16］。

在應(yīng)用中，工作相關(guān)矩陣的提出對于分析縱向數(shù)據(jù)具有重要的意義。但由于受到擾動(dòng)參數(shù)τ的影響，工作相關(guān)陣并不容易得到，于是Xie和Yang［17］以及Balan和Schiopu－Kratina［18］假設(shè)τ已知，并提出一個(gè)非隨機(jī)的正定矩陣并給出了估計(jì)方程：

式中，表示為的真實(shí)相關(guān)陣且為未知。

Wang［1］定 義 了GEE估 計(jì) 量的解，其中R＾是工作相關(guān)陣，并在一定條件下證明了協(xié)變量個(gè)數(shù)趨于無窮時(shí)β＾n的漸近性質(zhì)。本文在其基礎(chǔ)上將條件放寬，對個(gè)體觀測次數(shù)也不再設(shè)置上限（即趨于無窮），并證明的漸近性質(zhì)。本文不同位置的C代表不同正常數(shù)；對任意矩陣A＝（aij），范數(shù)為Frobenius范數(shù)［13］，即：

2 主要結(jié)果

為了后文定理敘述的簡潔，引入以下假設(shè)條件［13］：

（A2）未知參數(shù)βn屬于緊子集B?Rpn，真實(shí)參數(shù)值βn0是集合B的內(nèi)點(diǎn)，且?c1，c2＞0，使得c1≤λmin（Ai（βn0））≤λmax（Ai（βn0））≤c2，其中λmin，λmax分別表示矩陣的最小、最大特征值；

（A3）?c3，c4＞0，滿足：

定理1關(guān)于漸近存在性和相合性。對于經(jīng)典Logit模型，假設(shè)（A1）～（A7）成立，則方程Sn（βn）＝0存在一個(gè)根β＾n，且β＾

n滿足：

定理2關(guān)于漸近正態(tài)性。對于經(jīng)典Logit模型，假設(shè)（A1）－（A7）成立，則，有：

3 定理的證明

關(guān)于定理的證明需要用到以下引理。

引理1式中：

ej為第j個(gè)元素、為1，其他均為0的m維列向量。引理2假設(shè)條件（A1）～（A5）成立，則：

引理3假設(shè)條件（A1）～（A5）成立，則?Δ＞0，bn∈Rpn，有：

引理4假設(shè)條件（A1）～（A4）以及（A6）成立，則?Δ＞0，bn∈Rpn，有：

引理5假設(shè)條件（A1）～（A5）成立，則?Δ＞0，bn∈Rpn，有：

引理6設(shè)G是Rn中的有界開集，記G的閉包和邊界分別是，?G。若函數(shù)F→Rn是連續(xù)的，并且對某個(gè)x0∈G和所有的x∈?G有（x－x0）TF（x）≤0，則F（x）＝0有一個(gè)根在中。參見文獻(xiàn)［19］。

引理7假設(shè)條件（A1）～（A5）成立，則?αn∈Rpn，αn＝1，有：

定

?理1的證明 由微分中值定理和引理1，可得：

式中，β*n在βn和βn0連線內(nèi)。

首先估計(jì)In1。由引理2及（A7）可得：

其次估計(jì)In2，對求期望，即：

由（A1）－（A4）可知：

所以有：

對于In3有：

由引理3和（A6）可得：

由（A2）－（A4）可得：

而由引理4、引理5以及（A5）、（A6）可得：

由式（7）～式（12）可知In3≤－CΔ2pn，再由式（5）、式（6）可知：

最后，根據(jù)引理6可知式（5）成立，于是定理1得證。

定理2的證明 由定理1可知，Sn（β＾n）＝0。根據(jù)拉格朗日中值定理可得：

由（A2）、（A4）和式（1）可知，對于?bn∈Rpn且bn≠0，

有：

則根據(jù)Rayleigh-Rize定理以及（A3）可知：

首先證明In1＝op（1）。由Cauchy-Schwarz不等式、引理1、

式（14）以及（A5）可得：

其次證明In2＝op（1），由于

故需依次證明Jni＝op（1），i＝1，2，3，首先證明Jn1＝op（1）。

以及（A5）可得：

同理，運(yùn)用引理3、引理4，式（3）以及（A3）、（A6）可得：

由式（15）－（19）可得，In1＝In2＝op（1）。最后根據(jù)引理7，式（13）和Slutsky定理可知式（3）成立，即定理2得證。

4 實(shí)例分析

例1對于經(jīng)典Logistic回歸模型產(chǎn)生的縱向數(shù)據(jù)：

魏強(qiáng)強(qiáng)［20］通過隨機(jī)模擬，產(chǎn)生了個(gè)體觀測數(shù)n為20，每個(gè)個(gè)體觀測值m為15次，且協(xié)變量維數(shù)pn為4的數(shù)據(jù)，根據(jù)Newton-Raphson迭代法選取初值βn0＝經(jīng)過15次迭代收斂到β＾n＝，偏差較小。由此可得，當(dāng)條件（A1）～（A7）成立時(shí)，有：

例2為了研究某種新型的治療精神抑郁病藥物是否有更好的療效，某研究中心將其與標(biāo)準(zhǔn)藥物進(jìn)行對比，做了如下試驗(yàn)。該試驗(yàn)是由340位病人共同參與，并根據(jù)各個(gè)體抑郁癥的嚴(yán)重程度進(jìn)行劃分，且每組分別被隨機(jī)地指定服用新型藥或標(biāo)準(zhǔn)藥，分別記錄個(gè)體接受治療后在1、2和4周的情況，按精神抑郁的程度，各個(gè)體被劃分為正常（N）或異常（A），具體數(shù)據(jù)見表1，數(shù)據(jù)來自Biometric Society。

表1 抑郁的三次響應(yīng)對治療和抑郁嚴(yán)重程度的交叉劃分

表1給出了基于獨(dú)立工作關(guān)聯(lián)的GEE估計(jì)。而對于該數(shù)據(jù)來說，GEE估計(jì)等于通過經(jīng)典Logit模型，將3×340＝1020個(gè)觀測值當(dāng)做非獨(dú)立的觀測，進(jìn)而得到回歸結(jié)果。通過運(yùn)算分析可以得出抑郁嚴(yán)重程度、藥物治療方式以及時(shí)間都對正常響應(yīng)具有實(shí)質(zhì)影響。最初，兩種藥物的藥效相似，均隨著時(shí)間而增長，但新型藥物的藥效增長幅度更大。隨著觀測次數(shù)（周數(shù)）的增多，所得到的效果也會(huì)更加穩(wěn)定。詳細(xì)請參考文獻(xiàn)［21］。由此可見，觀測次數(shù)的適當(dāng)增加，可使得試驗(yàn)結(jié)果更加理想。