考慮滲透力和Mohr－Coulomb準則時深埋球形洞室彈塑性解

黃 華，谷新保，蔣智明

（四川輕化工大學土木工程學院，四川 自貢643000）

引言

在隧道工程的穩(wěn)定性研究中，圓形隧洞被很多人關注，是研究的重點，而球形洞室雖然也是一種受力合理的結構形式卻較少受到關注，尤其是地下水對其的影響被忽略了。地下水是影響隧道穩(wěn)定性的關鍵因素之一，尤其在圍巖強度低、外水壓力大的情況下，極易引起隧道圍巖發(fā)生坍塌［1-2］。由于隧道開挖后形成的二次應力改變了原始地應力場分布及地下水滲流場分布，因此在研究飽和孔隙介質地層中隧道應力和位移分布時，必須要考慮滲透力的影響。

經(jīng)典圓形隧洞是不需考慮滲透力的，但是對于水工隧洞來說，卻是必須要考慮滲透力對其的影響。張黎明等［3］對慮滲透力下襯砌的圓形隧洞的彈塑性解進行了分析，把含水圍巖簡化為兩相介質；黃阜等［4］利用原始的Hoek－Brown準則推導了地下水作用下圓形隧洞的解析解；文獻［5－7］對滲流作用下井筒和巷道圍巖的應力分布規(guī)律進行了研究。然而，這些研究都只針對圓形水工隧洞在地下水作用下的受力特征，卻沒有考慮球型隧洞的這種情況，更沒有將兩種不同形狀受力進行對比分析。

鑒于此，本文在考慮滲透力的情況下，基于Mohr－Coulomb準則，推導出了球形洞室圍巖應力與位移分布的解析解和塑性區(qū)半徑，并將球形洞室與圓型洞室進行了對比分析，使球形隧洞的相關理論得到進一步發(fā)展，研究結果可為隧洞形狀的選擇和設計提供一定的理論指導。

1 模型假設

在深埋的巖體中開挖一球形洞室，其開挖半徑為a，塑性區(qū)半徑為ρ，彈性區(qū)半徑為b＝βa，地應力為p0，滲流場靜水壓力為hf，開挖面支護力為p。計算模型如圖1所示。

圖1 計算模型

為了定性地研究滲透力對洞室圍巖應力和位移分布的影響，做以下假設［8－10］：

（1）設滲流場靜水壓力沿徑向均勻分布，在同一半徑上大小相等，不考慮上覆土層自重應力；

（2）開挖支護力p沿開挖面徑向均勻分布；

（3）圍巖達到屈服后不會立即被破壞，而是保留一定的殘余強度。

同時根據(jù)問題的特點采用球坐標，分別用r，θ，φ表示。邊界條件為：σr／r＝a＝－p，σr／r＝βa＝－p0且忽略體力的影響；根據(jù)球對稱可知：σθ＝σφ，εθ＝εφ；位移分量中僅有徑向位移u，并且僅是r的函數(shù)，不隨θ，φ變化，并以受拉為正。

2 滲流作用下球形洞室應力和位移場

2．1 滲流場

孔隙水壓力η可由下式確定［11-12］：

式中：hf為滲流場靜水壓力。

地下水產(chǎn)生的徑向滲透力Tr為［13-14］：

2．2 滲流場作用下球形洞室應力場彈性解

考慮滲透力作用下的平衡方程為：

在球對稱問題中，幾何方程為：

式中，u為位移。

彈性本構方程為：

式中，E指材料的彈性模量。

聯(lián)立式（3），式（4），式（5）得：

解方程得：

聯(lián)立方程（5），（7）并帶入邊界條件σr／r＝a＝－p，σr／r＝βa＝－p0，得到彈性區(qū)的位移和應力場為［15］：式中為材料的泊松比。

2．3 滲流場作用下球形洞室應力場和塑性區(qū)半徑

開挖后，洞室周圍產(chǎn)生應力重分布，當圍巖應力場超出巖體的屈服應力時，將產(chǎn)生塑性區(qū)。假設塑性區(qū)應力符合Mohr－Coulomb屈服準則［16］，即：

式中，σ1，σ3分別為第一和第三主應力；c為粘聚力；φ為內(nèi)摩擦角。當應力處于屈服的臨界狀態(tài)時有：

在球坐標下σr＝σ3，σθ＝σφ＝σ1，所以式（12）可以寫成如下的形式：

把式（2），式（13）代入式（3）得微分方程：

由式（14）可解得球形洞室塑性區(qū)圍巖徑向應力σr表達式為：

式中，A1為積分常數(shù)，由邊界條件σr／r＝a＝－p確定，p為開挖面支護力。確定積分常數(shù)A1后，帶入式（15）得到塑性區(qū)應力表達式：

將r＝ρ代入（15）得：

再由式（9）、式（10）得到：

由于彈性區(qū)和塑性區(qū)交界處的應力值相等，把r＝ρ和式（13）代入式（18），可得：

把式（17）代入（19）求得塑性半徑ρ的計算公式為：

3 分析與討論

3．1 滲流效應對圍巖塑性區(qū)應力場的影響

取巷道半徑a＝2 m，β＝20，E＝25×103MPa，φ＝30°，ν＝0.3，p0＝10 MPa，粘聚力c＝2.5 MPa，支護力p＝1 MPa。在不同滲透力下，考慮滲流力和不考慮時球形隧洞塑性區(qū)應力與半徑的關系如圖2所示。

從圖2中可知，無論是否考慮滲流力，球形隧洞塑性區(qū)應力場都隨其半徑的增大而逐漸增大；當滲流力較小時，滲流效應對塑性區(qū)應力場的影響不大（圖2（a）），但隨著滲流力的增加，滲流效應對塑性區(qū)應力場的影響逐漸增加，考慮滲流力比不考慮時塑性區(qū)應力明顯增大，且隨著滲透力的增加徑向和環(huán)向應力的增加幅度逐漸變大（圖2（b）－圖2（d）），因此當滲流力較大時必須考慮其對應力場的影響。

3．2 滲流效應對圍巖塑性區(qū)半徑的影響

取巷道半徑a＝2 m，β＝20，E＝25×103MPa，φ＝30°，ν＝0.3，hf＝0.10 MPa，p0＝10 MPa，粘聚力c＝2.5 MPa，考慮滲流力和不考慮時球形隧洞塑性區(qū)半徑隨支護力的變化如圖3所示。

圖3 考慮滲流力和不考慮時球形隧洞塑性區(qū)半徑隨支護力的變化

從圖3可知，對球形隧洞而言，當滲透力較時，在不考慮滲透力的情況下，隨著支撐力的增大，塑性區(qū)半徑先是緩慢增加，然后急速增加，到達某一最大值后，支撐力的繼續(xù)增加對其不再產(chǎn)生影響；而在考慮滲透力的情況下，起初支撐力的增加對塑性區(qū)半徑不產(chǎn)生影響，當其增加到某一值時，塑性區(qū)半徑發(fā)生突變，達到最大，之后隨著支撐力的增加，塑性區(qū)半徑逐漸減少，至到平穩(wěn)。由此說明，在考慮滲透力的情況下，支撐力的變化對塑性區(qū)半徑變化產(chǎn)生了很大的影響，因此在富含地下水的地區(qū)開挖隧洞進行支護時必須考慮地下水的滲流效應。

3．3 滲流作用下不同洞室形狀對圍巖塑性區(qū)半徑的影響

取巷道半徑a＝2 m，β＝20，E＝25×103MPa，φ＝30°，ν＝0.3，hf＝0.10 MPa，p0＝10 MPa，粘聚力c＝2.5 MPa，r＝8 m。滲流力作用下不同洞室形狀的塑性區(qū)半徑與支護力關系如圖4所示。

圖4 滲流力作用下不同洞室形狀的塑性區(qū)半徑與支護力關系

從圖4可知，在滲流作用下，圓形隧洞與球形隧洞的塑性區(qū)半徑都隨著支護力增加而逐漸減小，當支護力達到某一值時，塑性區(qū)半徑都趨于穩(wěn)定；不同的是圓形洞室塑性區(qū)半徑一開始就很小，之后的變化極其緩慢，而球形洞室的塑性區(qū)半徑一開始就比較大，之后急劇減少，因此球形隧洞的減小幅度遠大于圓形洞室；此外，當支護力小于4 MPa時，球形洞室支護力對塑性區(qū)半徑不產(chǎn)生影響，因此在考慮滲透力影響的情況下，當其他各項參數(shù)相同時，從洞室圍巖穩(wěn)定性角度考慮，采用球形洞室更有利。而當支護力大于4 MPa時，球形洞室塑性區(qū)半徑大于圓形洞室，因此采用圓形洞室更有利。

4 結論

（1）在考慮地下水滲透力的情況下，本文基于Mohr－Coulomb屈服準則，推導出了球形洞室的彈塑性區(qū)應力、彈性區(qū)洞壁徑向位移和塑性區(qū)半徑的表達式。

（2）球形洞室塑性區(qū)應力場隨著半徑的增大逐漸增大，且隨著滲流力的增加，滲流效應對塑性區(qū)應力場的影響逐漸增加；考慮滲流力比不考慮時塑性區(qū)應力增大更明顯，且隨著滲透力的增加徑向和環(huán)向應力的增加幅度逐漸變大，因此當滲流力較大時必須考慮其影響。

（3）當不考慮滲透力時，隨著支撐力的增大，球形洞室塑性區(qū)半徑逐漸增加；考慮滲透力時，隨著支撐力的增大，塑性區(qū)半徑逐漸減小，這說明支撐力的變化對球形洞室塑性區(qū)半徑產(chǎn)生了很大的影響，因此在富含地下水的地區(qū)開挖隧洞進行支護時必須考慮地下水的滲流效應。

（4）在考慮滲透力影響的情況下，圓形隧洞與球形隧洞的塑性區(qū)半徑都隨著支護力增加逐漸減??；在支護力較小時，從洞室圍巖穩(wěn)定性角度出發(fā)，采用球形洞室更有利，反之則采用圓形洞室更有利。