運(yùn)用補(bǔ)體法巧解多面體外接球的相關(guān)問(wèn)題

張桂華

(云南省紅河州蒙自市第一高級(jí)中學(xué) 661199)

一、構(gòu)造正方體

解析因?yàn)檎忮FP-ABC中，PA,PB,PC兩兩互相垂直,所以可以把該正三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體(如圖), 正三棱錐P-ABC的外接球即為以PA,PB,PC為棱的正方體的外接球, 球心為正方體的中心，正方體的體對(duì)角線為正三棱錐外接球的直徑.

點(diǎn)評(píng)該題若直接利用三棱錐來(lái)考慮不易入手，且難度較大.但若能注意到條件中的三條棱兩兩互相垂直,把正三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體來(lái)考慮，利用正方體的體對(duì)角線為該正三棱錐外接球的直徑，并找到球心是破解此題的關(guān)鍵.

例2 如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°，E為AB的中點(diǎn)，將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點(diǎn)P，則P-DCE三棱錐的外接球的體積為 ( ).

點(diǎn)評(píng)本題靈活性較強(qiáng),不僅考查了組合體的位置關(guān)系、抽象概括能力、空間想象能力以及運(yùn)算求解能力，還考查了轉(zhuǎn)化思想，難度較大.若直接利用正四面體來(lái)考慮不易入手,但若能將正四面體補(bǔ)成一個(gè)正方體來(lái)考慮，則可極大地簡(jiǎn)化運(yùn)算，能迅速求出三棱錐外接球的半徑，從而使復(fù)雜問(wèn)題迎刃而解.

點(diǎn)評(píng)該題若直接利用三棱錐來(lái)考慮很難入手.但若能注意到條件中的三個(gè)側(cè)面兩兩互相垂直, 且側(cè)棱長(zhǎng)均相等，把此三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體來(lái)考慮，利用正方體的體對(duì)角線為三棱錐外接球的直徑是破解此題的關(guān)鍵.

二、構(gòu)造長(zhǎng)方體

點(diǎn)評(píng)三棱錐的相對(duì)棱相等，探尋球心無(wú)從下手，但注意到長(zhǎng)方體的面對(duì)角線相等，可將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是該三棱錐的外接球的直徑，從而巧妙求出外接球的半徑.

點(diǎn)評(píng)該題很難畫(huà)出直觀圖，因此只能依賴空間想象，難度較大.但若能注意到條件中的三條棱兩兩互相垂直,可將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是該三棱錐的外接球的直徑，化繁為簡(jiǎn)，從而求出外接球的半徑，是破解此題的關(guān)鍵.

總之，補(bǔ)體法是巧解多面體外接球的相關(guān)問(wèn)題的常用方法.將多面體補(bǔ)成一個(gè)正方體或長(zhǎng)方體，利用正(長(zhǎng))方體的體對(duì)角線為三棱錐外接球的直徑是破解此類題的關(guān)鍵，可極大地簡(jiǎn)化運(yùn)算，能迅速求出其外接球的半徑.以下多面體可以補(bǔ)成正方形或長(zhǎng)方體：

(1)三條側(cè)棱兩兩互相垂直的正三棱錐；正四面體；四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐，可分別將他們補(bǔ)成一個(gè)正方體；

(2)相對(duì)的棱相等的三棱錐、同一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱兩兩垂直的四面體都分別可補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體或正方體；

(3)三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，可將三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體或正方體；

(4)若已知棱錐含有線面垂直關(guān)系，可將棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體或正方體.