例談用函數(shù)觀點看數(shù)列最值問題

摘要：數(shù)列是特殊的函數(shù)，主要是自變量的離散與連續(xù)的區(qū)別。所以數(shù)列的最值可以通過函數(shù)最值的求法來完成。觀察相應(yīng)函數(shù)的對稱性、單調(diào)性等，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ且⒁鈾z驗自變量的取值是否是正整數(shù)。我們通過例題辨析數(shù)列與函數(shù)的特殊關(guān)系，構(gòu)建用函數(shù)的思想解決數(shù)列的思想、方法。

關(guān)鍵詞：函數(shù);數(shù)列;問題

【例1】已知數(shù)列{an}的通項公式，an=3n2-28n，n∈N*，則an的最小值是。

分析：an=3n2-28n對應(yīng)的函數(shù)圖象是開口向上的拋物線，且對稱軸為直線n=143，但n=143不是整數(shù)，所以尋找最接近143的整數(shù)，故a5是最小值，為-65。

【例2】已知數(shù)列{an}的通項公式an=n+13n，n∈N*，則數(shù)列{an}的最小項是。

分析：利用基本不等式可得：an=n+13n≥213，當(dāng)且僅當(dāng)n=13時取等號。其對應(yīng)的函數(shù)f（x）=x+13x在（0，13）上單調(diào)遞減，在（13，+∞）上單調(diào)遞增，又3<13<4，所以只需比較a3，a4的大小，因為a3=3+133=7+13，a4=4+134=7+14，所以最小項是a4。

【例3】已知數(shù)列{an}的通項公式an=2n-82n-9，n∈N*，則an的最小值和最大值分別是。

分析：an=2n-82n-9=1+12n-9，根據(jù)函數(shù)f（x）=1+12x-9的圖象關(guān)于92，1對稱，且在區(qū)間-∞，92和92，+∞分別單調(diào)遞減，因為n∈N*，所以a4=0是最小值，a5=2是最大值。

【例4】已知數(shù)列{an}的通項公式an=2n2-5λn+4，對n∈N*，都有an+1>an，則實數(shù)λ的取值范圍是。

思路一：“對n∈N*，都有an+1>an”是一個恒成立問題。

an+1-an=[2（n+1）2-5λ（n+1）+4]-（2n2-5λn+4）=4n+2-5λ>0對n∈N*恒成立，即λ<4n+25對n∈N*恒成立，又4n+25≥65，所以λ<65。

思路二：“對n∈N*，都有an+1>an”是一個遞增數(shù)列問題，但{an}是遞增數(shù)列與其對應(yīng)的函數(shù)在[1，+∞）上單調(diào)遞增并不等價，要注意連續(xù)變量與離散變量的區(qū)別，即條件n∈N*，所以只需二次函數(shù)的對稱軸5λ4<32，解得λ<65。

【例5】已知等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，若a1=-3，S5=S10，則當(dāng)Sn取到最小值時n的值為。

思路一：由a1=-3，S5=S10可求得d=37，所以an=37n-247，所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，且n≤7，an>0，a8=0所以S7=S8，n=7或8時最小。

思路二：根據(jù)等差數(shù)列前n項和的形式是Sn=an2+bn，所以當(dāng)S5=S10，可知該函數(shù)是對稱軸為n=7.5，開口向上的二次函數(shù)，7.5不是整數(shù)，所以取距離它最近的整數(shù)7或者8。顯然思路二更加簡便，但對我們平時的學(xué)習(xí)積累，數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求更高。

（指導(dǎo)老師：賴玉枝）

作者簡介：

林粼，福建省泉州市，泉州市德化第一中學(xué)。