高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)：目標(biāo)定位與路徑選擇

李凱

【摘?要】?數(shù)學(xué)建模，作為高中新修訂課程標(biāo)準(zhǔn)提出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，要求其理念貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)教育的始終.基于《數(shù)學(xué)建模教學(xué)與評(píng)估指南》一書對(duì)高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的目標(biāo)定位與路徑選擇進(jìn)行重新審視并予以闡釋.旨為有效開展高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)及實(shí)施新修訂版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提供一些參考建議.

【關(guān)鍵詞】?高中;數(shù)學(xué)建模教學(xué);目標(biāo)定位;路徑選擇

1?問題提出

2017年6月18日，由上海大學(xué)出版社出版的《數(shù)學(xué)建模教學(xué)與評(píng)估指南》[1]（以下簡(jiǎn)稱《數(shù)學(xué)建?！罚┰谏虾Ｊ袑?shí)驗(yàn)學(xué)校首發(fā).首發(fā)儀式上，面向中學(xué)教師的數(shù)學(xué)建模教學(xué)工作坊同時(shí)舉行.該書原著是美國(guó)數(shù)學(xué)及其應(yīng)用聯(lián)合會(huì)（COMAP）、美國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)（SIAM）編寫，中文版由梁貫成、賴明治、喬中華、陳艷萍聯(lián)合編譯.恰逢我國(guó)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂版即將頒布.本書旨在為學(xué)校加強(qiáng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及數(shù)學(xué)建模的教與學(xué)提供助力.美國(guó)數(shù)學(xué)及其應(yīng)用聯(lián)合會(huì)總裁索爾·加芬克爾在中文版序中提到：“本書的目的是為您鋪墊門徑——向您展示如何在每一個(gè)年級(jí)引入數(shù)學(xué)建模，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)更多數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，在更寬的視野中看到數(shù)學(xué)一系列的重要應(yīng)用.”首都師范大學(xué)王尚志教授在中文版序中指出：“在新修訂的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，把數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，要求數(shù)學(xué)建模理念貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)教育的始終.這些舉措將對(duì)中國(guó)的數(shù)學(xué)建模教學(xué)、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)產(chǎn)生重大的影響，同時(shí)，也將促進(jìn)數(shù)學(xué)的教、學(xué)和評(píng)價(jià)的變革”[2].

綜上對(duì)該書的推介序言可見，數(shù)學(xué)建模教學(xué)急需一種適合一線教師開展教學(xué)的新思想、新引領(lǐng).該書將每個(gè)年齡段的數(shù)學(xué)建模開展做了一個(gè)系統(tǒng)的說明，重申數(shù)學(xué)建模在學(xué)生成長(zhǎng)各個(gè)階段的連續(xù)性與廣泛重要性，并在附錄部分提供了諸多珍貴的可供一線教師作為教學(xué)參考的經(jīng)典案例，旨在學(xué)生能通過這個(gè)過程，挖掘問題的本質(zhì)難點(diǎn)并能感受科學(xué)的人文關(guān)照及數(shù)學(xué)建模的廣泛性.

2018年頒布的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中將數(shù)學(xué)建模列為六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分之一[3].課程內(nèi)容將數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)作為四條主線之一，可見數(shù)學(xué)建模成為此次數(shù)學(xué)課程改革特色與亮點(diǎn)之一，并為數(shù)學(xué)建模教學(xué)向走進(jìn)課堂提供強(qiáng)有力的文件支撐與操作指引[4].與此同時(shí)，課程內(nèi)容明確要求數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)以主題的形式展開教學(xué)并規(guī)定了相應(yīng)的學(xué)時(shí)，具體是必修學(xué)時(shí)6課時(shí)，選修學(xué)時(shí)4課時(shí).

由此可見，高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)已從課程課時(shí)、內(nèi)容、形式等方面作了詳細(xì)清晰的具體說明.那么，高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的目標(biāo)定位是什么？一線師生應(yīng)當(dāng)通過怎樣的路徑更為行之有效地實(shí)施數(shù)學(xué)建模？本研究基于新出版《數(shù)學(xué)建模教學(xué)與評(píng)估指南》一書的內(nèi)涵與價(jià)值，審視高中階段數(shù)學(xué)建模教學(xué)目標(biāo)定位與路徑選擇，旨為有效開展高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)及實(shí)施新修訂版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提供一些參考建議.

2?高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)：目標(biāo)定位

教學(xué)目標(biāo)制約教學(xué)過程、方法和師生的課堂活動(dòng)方式.教師在從事教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，首先要使自己的教學(xué)目標(biāo)定位適當(dāng)，然后盡可能用可以觀察和測(cè)量的行為術(shù)語清晰地陳述目標(biāo).該書中認(rèn)為高中課程的教學(xué)內(nèi)容，為學(xué)生提供了許多適用于數(shù)學(xué)建模的新工具，如代數(shù)、幾何、微積分準(zhǔn)備課程以及統(tǒng)計(jì).同時(shí)，高中學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和興趣正在迅速擴(kuò)展，這為他們對(duì)各種各樣的現(xiàn)實(shí)世界問題的研究打開了大門.依據(jù)這一觀點(diǎn)，本文將從以下五個(gè)方面對(duì)這一觀點(diǎn)進(jìn)一步闡釋.

2.1?模型可以激勵(lì)學(xué)生對(duì)新技術(shù)與新內(nèi)容的學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)建模教學(xué)中所涉及的模型在數(shù)學(xué)上的解釋是：當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)作為某個(gè)形式語言（即包括常數(shù)符號(hào)、函數(shù)符號(hào)、謂詞符號(hào)的集合）的解釋時(shí)，稱為模型[1].數(shù)學(xué)建模經(jīng)過演繹、求解以及推斷，通過數(shù)學(xué)上的分析、預(yù)報(bào)、決策或控制，再經(jīng)過演繹和解釋，回到現(xiàn)實(shí)世界中，最后，這些推論或結(jié)果必須經(jīng)受實(shí)際的檢驗(yàn)，完成實(shí)踐——理論——實(shí)踐這一循環(huán)，對(duì)于高中生而言，創(chuàng)造就是學(xué)生在學(xué)習(xí)某些數(shù)學(xué)知識(shí)后，自己有一些新的發(fā)現(xiàn)，獲得對(duì)事物認(rèn)識(shí)的新結(jié)論.

數(shù)學(xué)建模為學(xué)生提供了自主學(xué)習(xí)的空間，有助于體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際生活問題中的價(jià)值和作用，增強(qiáng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，同時(shí)也感受了數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值的學(xué)科魅力.因此，通過建模教學(xué)中模型的探究可以極大地激勵(lì)學(xué)生對(duì)新內(nèi)容及技術(shù)的學(xué)習(xí)，同時(shí)也為學(xué)生適應(yīng)社會(huì)生活及發(fā)展奠定扎實(shí)的基礎(chǔ).

2.2?小型建模可以鞏固新概念

通過努力思考能對(duì)現(xiàn)實(shí)存在的問題做出有意義的解決方案，這是有先行知識(shí)的價(jià)值之處，在過程中培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，遇到現(xiàn)實(shí)問題能有意識(shí)上升到數(shù)學(xué)問題，試圖用數(shù)學(xué)語言表達(dá)解決問題的過程，對(duì)今后系統(tǒng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模意義非凡.數(shù)學(xué)建模的開放性，數(shù)學(xué)解決過程的曲折性，解決方案的多樣性，促使學(xué)生在數(shù)學(xué)建模的過程中嘗試使用各種方式爭(zhēng)取為團(tuán)隊(duì)貢獻(xiàn)自己的一份力.再此期間，學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)際情況集思廣益，創(chuàng)新思維的訓(xùn)練也是顯而易見，學(xué)生對(duì)于近期要開展的數(shù)學(xué)建模任務(wù)有自己的規(guī)劃.通過這些環(huán)節(jié)，學(xué)生在探索過程中不斷地從新概念學(xué)習(xí)過程中鞏固對(duì)以往知識(shí)概念的反復(fù)再現(xiàn).故建模為學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行了一次全面的重新排列再組合.可以說，數(shù)學(xué)建模是對(duì)“溫故而知新”最好的實(shí)踐詮釋.

2.3?拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，加深所學(xué)課程的關(guān)聯(lián)性

數(shù)學(xué)建模是一次微型的科學(xué)研究過程，數(shù)學(xué)建模過程歷經(jīng)了問題提出、作出假設(shè)、數(shù)學(xué)求解、分析并評(píng)估模型和解決方案、迭代以完善和擴(kuò)展模型、實(shí)現(xiàn)模型并報(bào)告結(jié)果[1].正如課程標(biāo)準(zhǔn)中的要求一樣歷經(jīng)選題、開題、做題、結(jié)題四個(gè)環(huán)節(jié)，數(shù)學(xué)建模讓學(xué)生親身經(jīng)歷科研的過程，在這個(gè)過程中學(xué)生獲得了多方面的科研知識(shí)，例如獲得了如何檢索文獻(xiàn)資料、如何運(yùn)用跨學(xué)科背景知識(shí)等能力.數(shù)學(xué)知識(shí)本來就是一個(gè)完整的體系，但由于現(xiàn)實(shí)教科書的編寫與實(shí)際教學(xué)中往往將知識(shí)作離散分章節(jié)呈現(xiàn)處理，致使學(xué)生對(duì)于知識(shí)整體性的把握與認(rèn)識(shí)明顯不夠，學(xué)生更是缺乏從整體出發(fā)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí).而數(shù)學(xué)建模需要學(xué)生從高度把握高中數(shù)學(xué)知識(shí)的相關(guān)性，因?yàn)槿魏我粋€(gè)要研究的問題可能會(huì)涉及數(shù)學(xué)領(lǐng)域的相關(guān)性知識(shí)點(diǎn)，需要學(xué)生從整體視角出發(fā)考慮問題.

2.4?幫助學(xué)生預(yù)測(cè)與洞察現(xiàn)實(shí)世界，提升學(xué)生數(shù)學(xué)水平

數(shù)學(xué)的價(jià)值在于應(yīng)用，數(shù)學(xué)建模教學(xué)恰恰是將數(shù)學(xué)的應(yīng)用發(fā)揮到淋漓盡致的地步，數(shù)學(xué)教科書知識(shí)點(diǎn)的枯燥感致使學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科逐漸產(chǎn)生厭倦感，學(xué)生對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的僅僅停留在完成一道數(shù)學(xué)題目的求解以及成功應(yīng)付考試等具有功利性的層面上.由于模型往往需要同時(shí)結(jié)合代數(shù)、幾何和統(tǒng)計(jì)學(xué)的內(nèi)容，所以數(shù)學(xué)建模拓寬了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，并生動(dòng)地說明了所學(xué)課程的關(guān)聯(lián)性.數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動(dòng)從根本上解決了學(xué)生的困惑，數(shù)學(xué)建模通過解決實(shí)際生活的問題，讓數(shù)學(xué)知識(shí)變得活躍起來，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的濃厚興趣.數(shù)學(xué)知識(shí)在與真實(shí)世界建立聯(lián)結(jié)關(guān)系的同時(shí)提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)整體水平.

2.5?有助于解釋人類發(fā)展歷程，汲取跨學(xué)科的數(shù)學(xué)思想和方法

人類歷史的發(fā)展是客觀存在的，需要人們運(yùn)用相關(guān)知識(shí)予以解釋.例如，考古可以讓歷史較為真實(shí)地展現(xiàn)在人們眼前.因此，作為自然科學(xué)的數(shù)學(xué)，更應(yīng)該肩負(fù)起歷史的使命.顯然，數(shù)學(xué)建模可以充分讓學(xué)生感知人類發(fā)展歷程，通過對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題展開積極思考并探索，不僅可以提升學(xué)生的求知欲，更能獲取更多的跨學(xué)科領(lǐng)域的知識(shí)與技能，數(shù)學(xué)建模涉及的知識(shí)不僅僅停留在數(shù)學(xué)知識(shí)層面，這其中涉及了物理、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)、人文等學(xué)科的知識(shí)背景.高中數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)建模更側(cè)重于非數(shù)學(xué)領(lǐng)域需用數(shù)學(xué)工具來解決的問題.如來自日常生活、經(jīng)濟(jì)、工程等學(xué)科中的應(yīng)用數(shù)學(xué)問題.由此可見，數(shù)學(xué)建模在解決實(shí)際問題中，往往涵蓋著多學(xué)科領(lǐng)域知識(shí)，需要學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)，這無疑對(duì)于學(xué)生而言是一種綜合能力的重大提升.

3?高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)：路徑選擇

高中數(shù)學(xué)建模過程是一個(gè)復(fù)雜的工程.該書中提及學(xué)前班至8年級(jí)的數(shù)學(xué)建模，指出五項(xiàng)指導(dǎo)原則：建模是開放且復(fù)雜的;當(dāng)學(xué)生建模時(shí)，他們必須做出真正的選擇;建模問題可以來自于熟悉的任務(wù);評(píng)估的重點(diǎn)在于過程，而不是結(jié)果或個(gè)別要素;以團(tuán)隊(duì)形式完成建模.當(dāng)然以上原則對(duì)于高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)依然是符合的，這里主要對(duì)于該書中提及的“如何使標(biāo)準(zhǔn)教科書問題過渡到完整的建模周期？”的五條原則進(jìn)行闡述.

3.1?從小問題著手

“不動(dòng)聲色地引入建模問題和活動(dòng).從應(yīng)用題和結(jié)構(gòu)合理的小研究入手，使用引導(dǎo)性的提問，以此直接幫助學(xué)生取得進(jìn)步”[1].

從小問題出發(fā)，顧名思義是教師在組織與引導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)時(shí)，要以符合學(xué)生認(rèn)知水平的問題情境出發(fā)，選擇復(fù)雜問題中的一個(gè)小問題開始作為首要研究的微課題，逐步上升到對(duì)復(fù)雜問題的探究.當(dāng)然，選取教材中的應(yīng)用題或是改編后的習(xí)題等是最直接、最有效的途徑，也可以是學(xué)生周圍真實(shí)存在的情境問題，這能有助于增強(qiáng)學(xué)生的探究欲及求知欲.

3.2?用引導(dǎo)性的問題和課堂討論，以此支持初步經(jīng)驗(yàn)的形成

“為了幫助學(xué)生上手，你可能會(huì)以小組討論的形式開始每個(gè)問題，在小組初步討論之后，讓全班同學(xué)聚在一起繼續(xù)討論，這樣使每個(gè)人對(duì)問題都有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)和一些可行的想法”[1].

教師作為教學(xué)活動(dòng)的組織者與引導(dǎo)者，需要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生開展活動(dòng)的興趣點(diǎn)，即以問題為情境導(dǎo)入課堂，引發(fā)學(xué)生積極且火熱的思考.問題驅(qū)動(dòng)下學(xué)生的自主探究型教學(xué)過程是推動(dòng)數(shù)學(xué)建模教學(xué)高效運(yùn)作的源動(dòng)力，在學(xué)生集體智慧的碰撞升華后得到的結(jié)論用以支撐高中學(xué)生形成自己的初步經(jīng)驗(yàn).如此一來，啟發(fā)與探究便成了高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的主旋律.

3.3?使用普遍的日常經(jīng)驗(yàn)來激發(fā)數(shù)學(xué)方法的使用

“數(shù)學(xué)建模和模擬可以將這些內(nèi)容帶入學(xué)生的生活，并可以在不使用那些正式的、卻會(huì)耽誤學(xué)習(xí)這些內(nèi)容的方法的情況下，加深對(duì)這些內(nèi)容的理解”[1].

隨著我國(guó)數(shù)學(xué)課程改革進(jìn)程的不斷深入，從開始重視“雙基”到“四基”再到“核心素養(yǎng)”，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科開始注重學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，那么作為教學(xué)主導(dǎo)者的教師應(yīng)該為學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)創(chuàng)造機(jī)會(huì)與可能.學(xué)生在日常生活及課堂學(xué)習(xí)中或多或少地積累了初步經(jīng)驗(yàn)，這些經(jīng)驗(yàn)或許是不太完善、不趨成熟的.因此，這時(shí)教師需要在此基礎(chǔ)之上，創(chuàng)設(shè)符合或是近似于學(xué)生曾經(jīng)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)“最近發(fā)展區(qū)”的問題情境，有利于激發(fā)學(xué)生充分聯(lián)想并在經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上尋求熟悉的方法去解決實(shí)際問題.

3.4?使用小型的建模情境，使得只需一兩個(gè)要素便能組成一個(gè)完整的建模周期

“建立一個(gè)完整的建模周期需要時(shí)間和經(jīng)驗(yàn).學(xué)生可以通過不斷地處理課堂上的問題和作業(yè)中涉及到的小決策，以及建模過程中的小問題，作為日?；顒?dòng)來培養(yǎng)經(jīng)驗(yàn)”[1].

數(shù)學(xué)建模的龐雜性決定了花費(fèi)時(shí)間與精力的持久性.因此作為數(shù)學(xué)建模的課堂教學(xué)畢竟時(shí)間有限且學(xué)生課外精力受阻，故在平時(shí)教學(xué)中設(shè)計(jì)的教學(xué)建模情境應(yīng)該是符合學(xué)生現(xiàn)有數(shù)學(xué)水平與認(rèn)知發(fā)展的簡(jiǎn)易模型，在設(shè)計(jì)基本變量或者假設(shè)變量時(shí)應(yīng)當(dāng)避免一些不可控變量的參與，使得建模要素簡(jiǎn)單且可易操作.因此，現(xiàn)階段所做的數(shù)學(xué)建模研究只是對(duì)研究問題的簡(jiǎn)單思考，研究的問題仍然有繼續(xù)開展研究的價(jià)值與意義.

3.5?與家長(zhǎng)和管理者分享你的目標(biāo)和教學(xué)實(shí)踐

“數(shù)學(xué)建模提供了一種不同的數(shù)學(xué)觀，它對(duì)什么是‘擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)的不同解釋打開了一扇門.建模也給更大范圍的學(xué)生提供機(jī)會(huì)來證明其能力，以及表現(xiàn)其聰明的方式，而這些方式并不總是在數(shù)學(xué)課堂上被重視”[1].

數(shù)學(xué)建模的教學(xué)價(jià)值是長(zhǎng)期以來被社會(huì)所忽視的問題，作為建模教學(xué)過程的參與者教師與學(xué)生應(yīng)當(dāng)將自己對(duì)某一問題的認(rèn)識(shí)予以分享并進(jìn)行展示，以便讓更多的人了解到你對(duì)該問題的關(guān)注程度與思考深度.作為教師更應(yīng)該與家長(zhǎng)或是管理者分享匯報(bào)自己設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動(dòng)的初衷與預(yù)期成果，讓人們改變對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)“冰冷”的認(rèn)知，喚醒大眾對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐的價(jià)值覺悟，彰顯數(shù)學(xué)建模教學(xué)的價(jià)值源泉.

4?結(jié)語

新修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》已經(jīng)頒布，然而，目前我國(guó)絕大多數(shù)省份未將數(shù)學(xué)建模列為常規(guī)教學(xué).因此，實(shí)施高中數(shù)學(xué)建模需要一個(gè)漫長(zhǎng)且艱難的過程.本文主要結(jié)合該書觀點(diǎn)闡述高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)目標(biāo)定位與路徑選擇，但真正就如何落實(shí)高中數(shù)學(xué)建模常規(guī)性教學(xué)，教育、考試部門，尤其是一線教師該如何評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)建模水平，如何提升教師建模教學(xué)能力和自身建模能力，都亟待相關(guān)研究者進(jìn)一步深入探討與反思.

參考文獻(xiàn)

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[4]?史寧中.高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂中的關(guān)鍵問題[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（1）：8-10.