抽屜原則

李秋月

摘要：本文簡單闡述了抽屜原則的簡單形式，以及衍生出來的各種方便計算的推廣形式，主要介紹了抽屜原則在初等數(shù)學第一階段，第二階段當中的應用以及衍生的簡便運算，著重強調(diào)了抽屜原則在生活當中的應用，巧用小定理解決大問題。

關(guān)鍵詞：抽屜原則;初等數(shù)學;應用

一、抽屜原則的形式

談到學生的教育問題，一度風靡一時的一檔湖南臺綜藝《爸爸去哪兒》相信大家都不陌生，在這部綜藝當中多次出現(xiàn)一個游戲——搶凳子，這個游戲的規(guī)則非常的簡單，假設(shè)場中有7個人，那么場中放置6個凳子，音樂響起，大家隨著音樂舞動，當音樂停止的時候，大家開始爭搶凳子，沒有搶到椅子的人淘汰，隨即進行下一輪游戲，依次重復，直至場中只剩下一個人坐在凳子上，這個人即為獲勝者。作為一個數(shù)學學習者，不僅要習慣用數(shù)學知識去解決生活中遇到的的實際問題，同時也要學會用帶有數(shù)學的眼光去看待生活中的各種相關(guān)事務，搶凳子雖然是生活中一個尋常的小游戲，但實際上體現(xiàn)了數(shù)學中一個重要的解題思想——抽屜原則。

200年前的16世紀，抽屜原則由德國書著名數(shù)學家狄利克雷（P.G.T.Dirichle）正式命名，因此抽屜原則在使用的時候也可以被稱為狄利克雷原理。抽屜原則可以簡化概括為以下內(nèi)容：

“有十雙鞋，但是現(xiàn)在只有九個鞋盒，那么必定會有一個鞋盒當中放有兩雙鞋”，這一生活中常見的現(xiàn)象，就可以體現(xiàn)抽屜原則的主要內(nèi)容。如果將每一雙鞋看成一個元素，每一個鞋盒看成可以放置元素的集合。那抽屜原則就可以表述為：“如果將n+1個元素放到n個集合中去，那么至少有一個集合里會含有不少于兩個元素?！?/p>

從上文的表述中可以就可以看出來，抽屜原則的應用非常廣泛，不僅僅可以應用于數(shù)學當中，在生活中抽屜原則同樣也發(fā)揮著重要的作用。本文主要從抽屜原則的簡單表述入手，淺談抽屜原則在初等數(shù)學以及在生活中的應用。

數(shù)學知識并不是一成不變的，隨著社會的發(fā)展和歷代科學家的探究，抽屜原則衍生出很多推廣形式，例如在組合數(shù)學當中由陳景林、閻滿富編著可以稱為里程碑式的作品《組合數(shù)學與圖論》對現(xiàn)階段抽屜原則的應用就進行了概括，分類為以下三種形式：“

原理1.把多于n個的元素按任一確定的方式分成n個集合，則一定有一個集合中含有兩個或兩個以上的元素;

原理2.把m個元素任意放到n（m>n）個集合里，則至少有一個集合里至少有k個元素，其中

原理3.把無窮個元素按任一確定的方式分成有限個集合，則至少有一個集合中仍含無個元素[1]?！?/p>

隨后，盧開澄又將抽屜原則（書中稱為鴿巢原理）進行推廣，正式表述在《組合數(shù)學》（第三版）：“

鴿巢原理：設(shè)k和n都是任意正整數(shù)，若至少有kn+1只鴿子分配在n個鴿巢中，則至少存在一個鴿巢中有至少k+1只鴿子。

推論1.有m只鴿子和n個鴿巢，則至少有一個鴿巢中有不少于+1只鴿子。

推論2.若將n（m-1）+1個球放入n個盒子里，則至少有一個盒子有m個球。

推論3.若m1， m2…mn是n個正整數(shù)，而且r=，則m1， m2…mn中至少有一個數(shù)不小于r。[2]”

二、抽屜原則在數(shù)學當中的應用

2.1抽屜原則在初等數(shù)學第一階段中的應用

抽屜原則在初等數(shù)學中的應用比較朦朧，并不時以專門的定理公里的形式正式出現(xiàn)在教材中，初等數(shù)學的學習，主要是使學生開始接觸、學習、能簡單掌握數(shù)學這門學科的思維，重點是強調(diào)從生活中看數(shù)學，以數(shù)學知識解決生活中的實際問題，可以說整個初等數(shù)學的學習過程是一個從生活中具體實物到初步的數(shù)學語言，從實際問題到簡單問題數(shù)學問題的過程，教師主要的教學目標是使學生掌握基礎(chǔ)的數(shù)學運算，能理解完成簡單的數(shù)學問題，因此對于抽屜原則這一抽象性數(shù)學思想并不做具體講解，抽屜原則一般只能在一些拔高練習冊或者是試卷的附加題上見到，且此時表述尚不明顯，教師對也不會明確指出，此時的學生還不具有獨立分析問題的能力，因此抽屜原則在初等數(shù)學第一階段的應用尚不明朗，例如班級里有17為同學，分為四組做游戲，那么必有一組是至少有5個人。在解決這類問題的過程中，并沒有系統(tǒng)的公式，也不是傳統(tǒng)的求總和，平均分等等，只要求學生可以將正確答案的思路完成的表述出來，然而這恰恰是處于數(shù)學入門學習階段的同學的弱項，我們可以采用建立模型，分門別類的來解決這樣的數(shù)學問題。

模型一：至少......有....的問題

例1.藍天小學二年級四班共有學生25人，那么班級里一定有三個人是相同的生肖。

證明：眾所周知，我們共有生肖12種，將12各生肖看成12個小組，將25人平均分成12組，25÷2=2…1，每組兩個人，剩余一人，也就是說必有一個小組是3個人，命題得證。

分析：這種類型的題目，在初等數(shù)學當中多數(shù)以附加題或者是腦筋急轉(zhuǎn)彎的形式出現(xiàn)，教師在講授這樣的題目，一般是分析問題，采用學生能理解語言解釋答案，并不會具體講解用了什么樣的數(shù)學思想，學生只是知其然，而不知其所以然，因此只有部分同學在腦海中有大致朦朧的思路。實際上，在本題的是抽屜原則應用的一個非常鮮明的例子，25位同學相當于25個元素，而12個生肖則相當于12個集合，此時問題即轉(zhuǎn)化為平均分配的問題，將25個元素平均分入12個集合，剩余的一個與元素可以任意進入其中一個抽屜當中，因此，至少有一個抽屜當中有3個元素，命題得證。

2.2抽屜原則在初等數(shù)第二階段的應用

當同學進入中階段，隨著學生能力的提升，抽屜原則應用的范圍也隨之加大，此時抽屜原則的應用主要分別兩個方面，一方面是教師應用抽屜原則對書本上的定理，公理加以解釋，使學生對所學知識能掌握的更加的融洽，另外一種情況是同學進入中學階段，各種數(shù)學競賽層出不窮，對于有能力接受完整系統(tǒng)的抽屜原則的同學，教師會對其加以詳細的講授，以提升學生的能力。無論是哪種情況，從教學大綱規(guī)定的所學知識的層面考慮，抽屜原則仍然可以歸屬為“課外知識”，需學生自身具有較強的歸納總結(jié)的能力，才能融匯貫通，但由于中學課業(yè)任務較大，筆者建議學生只需要掌握基本的抽屜原則的思想即可。

例2.證明.任意給定五個正數(shù)，一定存在從里面選定三個數(shù)，這三個數(shù)的和能被3整除。

證明：無論任何數(shù)，被3整除都只能存在三種情況：被3整除、不能被3整除，余數(shù)為1;不能被3 整除，余數(shù)為2。因此根據(jù)余數(shù)的不同，構(gòu)造出P、Q、M三個抽屜。

1.若將五個數(shù)填滿是三個抽屜，無論怎樣放置，只有保證各個抽屜中都有元素存在，從三個抽屜中各拿出一個元素來，因為余數(shù)為1、2，而1、2相加之和能被3正數(shù)，因此三個數(shù)之和也能被3整除，此種情況成立。

2.若五個數(shù)只能分布在兩個抽屜里，由抽屜原則可知，一定存在這種情況，有一個抽屜含有三個元素，無論是存在哪個抽屜當中，因為余數(shù)相同，三個數(shù)之和一定為的倍數(shù)，因此三個數(shù)之和也能被3整除，此種情況成立。

3.若將五個數(shù)放入統(tǒng)一個抽屜里，同上述情況2，余數(shù)相同，三個數(shù)之和一定為的倍數(shù)，因此三個數(shù)之和也能被3整除，此種情況成立。

綜上所述命題成立。

三、抽屜原則在生活中的應用

在生活中人事選定、物品分配、事項安排、評定職位等等都可以發(fā)現(xiàn)抽屜原理的規(guī)律，由此可見，抽屜原理不僅廣泛應用于數(shù)學研究中，在我們的實際生活中，抽屜原則的巧妙使用對于社會的發(fā)展也起到了重要的推到作用。

依照風靡一時的古裝劇《羋月傳》的情節(jié)發(fā)展，導致秦國政治分崩離析的主要原因是“七公子之亂”，惠后為了推舉無名無分卻聽其命令的一位皇子為王，召集諸位皇子進宮，宴會上宦官進獻三個晶瑩剔透的“仙桃”，一個由惠后品嘗，一個給了王叔樗離子，另外一個，惠后說應該給最優(yōu)秀的皇子，大殿之上諸位皇子為了爭搶所謂的“仙桃”證明自己是最優(yōu)秀的皇子，而大打出手，導致“七公子之亂爆發(fā)”。

獲得飛天獎最優(yōu)秀電視劇的作品《瑯琊榜》中有片段，梁國與楚國聯(lián)姻修好，梁國靖王不想娶異國公主連夜求助智者，智者回答楚國人最信占卜之術(shù)，若不想與之婚配，只要“八字不合”即可，時至今日，仍有些人對星象之術(shù)即“算命”深信不疑，所謂算命就是把一個人的的出生年、月、日作為基數(shù)，帶入特定的算法，將得出的結(jié)果根據(jù)一定的依據(jù)得出一個人所謂的“命數(shù)”，實際上，按照中國的12生肖，共有抽屜12×360×60=259200個，，把人看做是要放進抽屜的物品，抽屜的總數(shù)是固定的，而人在不斷的演變，社會在不斷的進步，橘生淮南則為橘，生于淮北則為枳，貌相同，而味不同也，世事無常，又怎么能以單純的“八字”來定論一個人的命數(shù)呢？

四、總結(jié)

抽屜原則雖然在我們學習的課本中沒有完整明確的表述，但它在數(shù)學的學習當中是不可避免的。我們學習一條定理，不僅僅要明確它的含義，懂得應用定理解題的方法，更要了解他所蘊含的思想，只有全方位的掌握他本身所具有的知識，才算學會的定理。知識的學習不應是簡單的背誦，也不是會解題只了解皮毛，應該做到融會貫通，最終提高我們的數(shù)學素養(yǎng)。本文舉例介紹了抽屜原則在數(shù)學幾個學習的階段的簡單應用，仍然比較片面，抽屜原則產(chǎn)生距今已經(jīng)有200多年的歷史了，不僅僅是在數(shù)學當中，在物理等學科以及在人們的日常生產(chǎn)生活中發(fā)揮著重要的作用，需要我們不斷進行學習和探索。

參考文獻：

[1]陳景林，閻滿富.組合數(shù)學與圖論.北京中國鐵道出版社出版，2000.04

[2]盧開澄.組合數(shù)學（第3版）.北京清華大學出版社，2002.07

[3]濮安山.“高等代數(shù)中抽屜原理的應用”.《哈師大自然科學學報》，2001.06

[4]王向東，周士藩等.高等代數(shù)常用方法[M].1989.11.

[5]楊子胥.近世代數(shù).北京.高等教育出版社.2003.12