中考青睞的“方程與不等式”題型

程玉娟

方程與不等式是數(shù)學(xué)中最基本、最核心的知識(shí)之一，是解決數(shù)學(xué)問題的有力工具，同時(shí)又是解決實(shí)際問題的橋梁。各地中考既有對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的考查，如直接解方程、方程組等，又有對(duì)同學(xué)們綜合運(yùn)用知識(shí)的能力的考查，如方案規(guī)劃問題、函數(shù)問題等。下面，我們對(duì)方程與不等式的?？碱}型進(jìn)行歸納研究。

一、直接解方程（組）或不等式（組）

例1（2018·黑龍江齊齊哈爾）解方程：2（x-3）=3x（x-3）。

【解析】移項(xiàng)后，提取公因式x-3，利用因式分解法求得一元二次方程的解即可。

解：2（x-3）=3x（x-3），

移項(xiàng)得：2（x-3）-3x（x-3）=0，

整理得：（x-3）（2-3x）=0，

x-3=0或2-3x=0，

解得：x1=3或x2=。

【點(diǎn)評(píng)】一元二次方程的解法有直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法。本題是利用整體思想、提取公因式法求解。

例2（2018·江蘇無錫）方程組的解是_______。

【解析】利用加減消元法求解可得。

解：

②-①，得：3y=3，

解得：y=1，

將y=1代入①，得：x-1=2，

解得：x=3，

【點(diǎn)評(píng)】解二元一次方程組的思想方法是消元，將二元變成一元，再去解一元一次方程即可。消元的方法有兩種：一是加減消元，另一種是代入消元。同學(xué)們要根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的方法。

二、方程與不等式的互化

【解析】解出不等式組的解集，與已知解集-1＜x＜1比較，可以求出a、b的值，然后相加，求出（a+b）的2009次方，可得最終答案。

解：由不等式得x＞a+2，x＜b，

∵-1＜x＜1，

∴a=-3，b=2，

∴（a+b）2009=（-1）2009=-1。

故答案為-1。

【點(diǎn)評(píng)】本題是已知不等式組的解集，求不等式中另一個(gè)未知數(shù)的問題。可以先將另一個(gè)未知數(shù)當(dāng)作已知處理，求出解集并與已知解集比較，構(gòu)造方程，進(jìn)而求得另一個(gè)未知數(shù)。

三、在方案規(guī)劃問題中的應(yīng)用

例4（2018·湖北咸寧）為拓寬學(xué)生視野，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)適應(yīng)社會(huì)，促進(jìn)書本知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)的深度融合，我市某中學(xué)決定組織部分班級(jí)去赤壁開展研學(xué)旅行活動(dòng)。在參加此次活動(dòng)的師生中，若每位老師帶17個(gè)學(xué)生，還剩12個(gè)學(xué)生沒人帶；若每位老師帶18個(gè)學(xué)生，就有一位老師少帶4個(gè)學(xué)生。現(xiàn)有甲、乙兩種大客車，它們的載客量和租金如表所示。

___載客量/（人__________/輛）____租金/（_____________元/輛）________________________________________________甲種客車30_________300________乙種客車_42____400____

學(xué)校計(jì)劃此次研學(xué)旅行活動(dòng)的租車總費(fèi)用不超過3100元，為了安全，每輛客車上至少要有2名老師。

（1）參加此次研學(xué)旅行活動(dòng)的老師和學(xué)生各有多少人？

（2）既要保證所有師生都有車坐，又要保證每輛客車上至少有2名老師，可知租用客車總數(shù)為________輛。

（3）你能得出哪幾種不同的租車方案？其中哪種租車方案最省錢？請(qǐng)說明理由。

【解析】（1）設(shè)老師有x名，學(xué)生有y名，得出二元一次方程組，解出即可。

（2）根據(jù)老師人數(shù)和師生總?cè)藬?shù)，再由已知條件，即可求出客車總數(shù)為8輛。

（3）設(shè)租用x輛乙種客車，則甲種客車數(shù)為（8-x）輛，由題意得出 400x+300（8-x）≤3100，得出x取值范圍，再分析即可。

解：（1）設(shè)老師有x名，學(xué)生有y名。

答：老師有16名，學(xué)生有284名。

（2）∵每輛客車上至少要有2名老師，

∴16÷2=8，即汽車總數(shù)不能大于8輛。

又∵16+284=300，即要保證300名師生有車坐，所以汽車總數(shù)不能小于（取整為8）輛，

綜上，可知汽車總數(shù)為8輛。

故答案為：8。

（3）設(shè)租用x輛乙種客車，則甲種客車數(shù)為（8-x）輛。

∵車總費(fèi)用不超過3100元，

∴400x+300（8-x）≤3100，

解得：x≤7。

為使300名師生都有座，

∴42x+30（8-x）≥300，

解得：x≥5，

∴5≤x≤7（x為整數(shù)），

∴共有3種租車方案：

方案一：租用甲種客車3輛，乙種客車5輛，租車費(fèi)用為2900元。

方案二：租用甲種客車2輛，乙種客車6輛，租車費(fèi)用為3000元。

方案三：租用甲種客車1輛，乙種客車7輛，租車費(fèi)用為3100元。

故最節(jié)省費(fèi)用的租車方案是：租用甲種客車3輛，乙種客車5輛。

【點(diǎn)評(píng)】本題第一問根據(jù)學(xué)生數(shù)與老師數(shù)之間的等量關(guān)系列方程組，從而得解，運(yùn)用的是方程模型。第三問根據(jù)費(fèi)用的不等關(guān)系以及在保證每人都有座位的前提下，列出不等式，得出x范圍，再根據(jù)實(shí)際情況，x要取整數(shù)，從而在范圍內(nèi)取有限的整數(shù)解，得出結(jié)果。此種題型是方程（組）與不等式（組）非常具有代表性的應(yīng)用，不論是從年份來看，還是從各個(gè)地區(qū)來看，在中考中最受青睞。此題分值比較大，難度中等偏上。

四、在函數(shù)中的應(yīng)用

例5（2018·江蘇揚(yáng)州）“揚(yáng)州漆器”名揚(yáng)天下，某網(wǎng)店專門銷售某種品牌的漆器筆筒，成本為30元/件，每天銷售y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示。

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。

（2）如果規(guī)定每天漆器筆筒的銷售量不低于240件，當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲取的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

（3）該網(wǎng)店店主熱心公益事業(yè)，決定從每天的銷售利潤(rùn)中捐出150元給希望工程。為了保證捐款后每天剩余利潤(rùn)不低于3600元，試確定該漆器筆筒銷售單價(jià)的范圍。

【分析】（1）可用待定系數(shù)法來確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。

（2）根據(jù)利潤(rùn)=銷售量×單件的利潤(rùn)，然后將（1）中的函數(shù)關(guān)系式代入其中，求出利潤(rùn)和銷售單價(jià)之間的關(guān)系式，然后根據(jù)其性質(zhì)來判斷出最大利潤(rùn)。

（3）首先得出w與x的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而利用所獲利潤(rùn)等于3600元時(shí)，對(duì)應(yīng)x的值，根據(jù)增減性，求出x的取值范圍。

【解答】（1）設(shè)y=kx+b，

故y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-10x+700。

（2）由題意，得-10x+700≥240，

解得x≤46，

設(shè)利潤(rùn)為w，w=（x-30）·y=（x-30）（-10x+700）=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，

∵-10＜0，

∴x＜50時(shí)，w隨x的增大而增大，

∴x=46時(shí)，w大=-10（46-50）2+4000=3840。

答：當(dāng)銷售單價(jià)為46元時(shí)，每天獲取的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是3840元。

（3）令w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600，

即-10（x-50）2=-250，

x-50=±5，

解得x1=55，x2=45，

當(dāng)45≤x≤55時(shí)，捐款后每天剩余利潤(rùn)不低于3600元。

【點(diǎn)評(píng)】利用方程或方程組求二次函數(shù)解析式基本上屬于必考題。二次函數(shù)的表達(dá)式有3種：一般式、頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式。根據(jù)所給條件選擇恰當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式，建立方程模型即可求解。