“分 式 方 程”中典型錯(cuò)解舉例分析

李 青

分式方程是初中階段重要的知識(shí)點(diǎn)之一，它是整式方程的拓展與延伸，但是分式方程的相關(guān)運(yùn)算與整式方程相比較，運(yùn)算步驟繁復(fù)，解題方法靈活多樣，在學(xué)習(xí)和運(yùn)用的過程中更容易出錯(cuò)。下面就分式方程中易混、易錯(cuò)的地方加以舉例剖析，希望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)能夠有所幫助。

一、對(duì)分式方程的概念理解不透

例1下列各式是分式方程的是 。

【錯(cuò)解】②③。

【剖析】這一題出現(xiàn)錯(cuò)誤主要是因?yàn)閷?duì)分式方程的概念理解不透。分式方程要滿足兩個(gè)條件：（1）必須是一個(gè)方程；（2）分母中要含有未知數(shù)。而③式只是一個(gè)代數(shù)式，并不是一個(gè)方程，所以③不是分式方程；對(duì)于1，由于約分后的結(jié)果是一個(gè)整式方程，所以許多同學(xué)認(rèn)為它不是分式方程，其實(shí)判斷一個(gè)方程是不是分式方程，一定要看它約分前的特征，所以④是分式方程。

【正解】②④。

二、解分式方程時(shí)，忘記驗(yàn)根

例2解方程：

【錯(cuò)解】方程兩邊同乘（x+2）（x-2），得（x-2）2-（x+2）2=16。解這個(gè)方程，得x=-2。所以x=-2是原方程的解。

【剖析】方程兩邊同乘值為0的代數(shù)式，便產(chǎn)生增根。這一題錯(cuò)解的原因是忘記驗(yàn)根。當(dāng)x=-2時(shí)，（x+2）（x-2）=0，所以x=-2是增根，原方程無解。

【正解】方程兩邊同乘（x+2）（x-2），得（x-2）2-（x+2）2=16。

解這個(gè)方程，得x=-2。

檢驗(yàn)：當(dāng)x=-2時(shí)，（x+2）（x-2）=0，x=-2是增根，原方程無解。

三、分式方程去分母時(shí)，整式部分易漏乘公分母

例3解方程

【錯(cuò)解】方程兩邊同乘（x-3），得：

x-2=-1-2。

解這個(gè)一元一次方程，得x=-1。

檢驗(yàn)：當(dāng)x=-1時(shí)，x-3≠0，所以x=-1是原方程的解。

【剖析】這一題去分母時(shí)，違反了等式的基本性質(zhì)，常數(shù)項(xiàng)-2漏乘了公分母（x-3）。

【正解】方程兩邊同乘（x-3），得：

x-2=-1-2（x-3）。

四、去分母，分子是多項(xiàng)式時(shí)漏加括號(hào)

例4解方程

【錯(cuò)解】方程兩邊同乘3（x-3），得2x+9=12x-7+6（x-3）。

【剖析】去分母時(shí)，若分式的分子是一個(gè)多項(xiàng)式，應(yīng)將多項(xiàng)式用括號(hào)括起來。這一題的錯(cuò)誤在于未把分子上的4x-7用括號(hào)括起來。

【正解】方程兩邊同乘3（x-3），得：

2x+9=3（4x-7）+6（x-3），

解這個(gè)一元一次方程，得x=3。

檢驗(yàn)：當(dāng)x=3時(shí)，3（x-3）=0，x=3是增根，原方程無解。

五、分式方程化簡(jiǎn)時(shí)，錯(cuò)用分式的基本性質(zhì)

例5解方程

【錯(cuò)解】化簡(jiǎn)，得

方程兩邊同乘（x-9），得x+4=2（x-9）。

解這個(gè)一元一次方程，得x=22。

檢驗(yàn)：當(dāng)x=22時(shí)，x-9≠0，x=22是原方程的解。

【剖析】此題化簡(jiǎn)時(shí)用到分式的基本性質(zhì)。分式的基本性質(zhì)是分式的分子和分母都乘（或除以）同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。這一題是分子乘2，而分母乘3，所以分式的值發(fā)生了改變。

【正解】化簡(jiǎn)，得

方程兩邊同乘（2x-18），得3x+12=2（2x-18）。

解這個(gè)一元一次方程，得x=48。

檢驗(yàn)：當(dāng)x=48時(shí)，2x-18≠0，x=48是原方程的解。

六、分式方程“有增根”和“無解”易混為一談

例6當(dāng)m為何值時(shí)，分式方程=0無解。

【錯(cuò)解】方程兩邊同乘（x+2）（x-2），得：

2（x+2）+mx=0。

解得m1=-4，m2=0。

【剖析】“分式方程有增根”是指去分母后的整式方程的解使得分式方程的最簡(jiǎn)公分母為0。而“分式方程無解”的原因有兩個(gè)：一是去分母后的整式方程無解；二是整式方程的解使得分式方程的最簡(jiǎn)公分母為0。分式方程“有增根”是“無解”的一種情況。這一題錯(cuò)把分式方程無解默認(rèn)為是分式方程有增根了。

【正解】方程兩邊同乘（x+2）（x-2），得：

2（x+2）+mx=0。

①當(dāng)x=2或x=-2時(shí)，

解得m1=-4，m2=0。

即：m=-2時(shí)，分式方程無解。

所以當(dāng)m1=-4，m2=0，m3=-2時(shí)，分式方程無解。

七、求分式方程中字母的取值時(shí)，易忽略分母不為0

例7已知關(guān)于x的方程的解為正數(shù)，求m的取值范圍。

【錯(cuò)解】方程兩邊同乘（x-3），得：

x=2（x-3）+m。

解這個(gè)一元一次方程，得x=6-m。

由原方程的解為正數(shù)，得x＞0，即6-m＞0。

解得m＜6。

所以當(dāng)m＜6時(shí)，原方程的解為正數(shù)。

【剖析】解決這種問題時(shí)，不僅要考慮“方程的解為正數(shù)”這個(gè)條件，還要考慮x-3≠0這個(gè)隱含的條件。這一題的錯(cuò)解就忽略了x-3≠0這個(gè)隱含的條件。

【正解】方程兩邊同乘（x-3），得：

x=2（x-3）+m。

解這個(gè)一元一次方程，得x=6-m。

由原方程的解為正數(shù)，得x＞0，即6-m＞0。

解得m＜6。

又因?yàn)閤-3≠0，得x≠3，即6-m≠3。

解得m≠3。

所以當(dāng)m＜6且m≠3時(shí)，原方程的解為正數(shù)。

小試牛刀

【參考答案】

1.原方程無解。