六談轉(zhuǎn)化與化歸

崔 文 侯宇虹

(1.山東省文登第一中學(xué) 264400;2.山東省文登南海高級(jí)中學(xué) 264400)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升的主要表現(xiàn)是能夠?qū)?fù)雜問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化抽象為具體，復(fù)雜為簡(jiǎn)單.縱觀(guān)高考題目，常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方法有以下幾種類(lèi)型.

一、直接轉(zhuǎn)化法

把原問(wèn)題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問(wèn)題.

例1 在△ABC中．sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,則A的取值范圍是( ).

答案C

點(diǎn)評(píng)本題主要考查解三角形，突出“邊角互化”這一轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

二、換元法

運(yùn)用“換元”把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問(wèn)題.

點(diǎn)評(píng)我們使用換元法時(shí)，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對(duì)應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大.

三、數(shù)形結(jié)合法

研究原問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系(解析式)與空間形式(圖形)關(guān)系，通過(guò)互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑.

例3 已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿(mǎn)足(a-c)·(b-c)=0，則|c|的最大值是( ).

答案C.

解析因?yàn)?a-c)·(b-c)=0，所以(a-c)⊥(b-c)．

點(diǎn)評(píng)通過(guò)“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題形象化，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)．

四、構(gòu)造法

用構(gòu)造法解題的關(guān)鍵是由條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出數(shù)學(xué)模型，從而簡(jiǎn)化推導(dǎo)與運(yùn)算過(guò)程．

解析如圖，以DA，AB，BC為棱長(zhǎng)構(gòu)造正方體，設(shè)正方體的外接球球O的半徑為R，則正方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)即為球O的直徑，所以

點(diǎn)評(píng)本題巧妙地構(gòu)造出正方體，而球的直徑恰好為正方體的體對(duì)角線(xiàn)，問(wèn)題很容易得到解決．

五、特殊化方法

把原問(wèn)題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的問(wèn)題，結(jié)論適合原問(wèn)題.

點(diǎn)評(píng)有些題目看起來(lái)較為抽象，貌似不易解決，但結(jié)合具體數(shù)學(xué)情境，聯(lián)系相知，建立模型，把一般問(wèn)題特殊化，以啟迪解題思路，尋找解決問(wèn)題的突破口.

六、補(bǔ)集法(正難則反)

若問(wèn)題從正面入手難以解決，可將問(wèn)題的結(jié)果看作集合A，而把包含該問(wèn)題的整體問(wèn)題的結(jié)果類(lèi)比為全集U，通過(guò)解決全集U及補(bǔ)集∪A獲得原問(wèn)題的解決.

解析g′(x)=3x2+(m+4)x-2.若g(x)在區(qū)間(t,3)上總為單調(diào)函數(shù)，則①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立．(正反轉(zhuǎn)化)

點(diǎn)評(píng)由于不為單調(diào)函數(shù)有多種情況，先求出其反面，體現(xiàn)“正難則反”的原則．一般地，題目若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形相對(duì)很少，從后面考慮較簡(jiǎn)單，因此，間接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命題情形的問(wèn)題中．

總之，轉(zhuǎn)化與化歸思想在高中數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位，數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，總離不開(kāi)轉(zhuǎn)化與化歸，它即是一種數(shù)學(xué)思想又是一種數(shù)學(xué)能力，高考對(duì)這種思想方法的考查所占比重很大，是歷年高考考查的重點(diǎn).