擬造高中數(shù)學(xué)試題的方法與技巧

陳恒曦

(廣東省湛江市教育局教育研究室 524000)

考試隨著教育的產(chǎn)生而產(chǎn)生.考試過程的核心環(huán)節(jié)是命題，命題的關(guān)鍵是擬題，由此也體現(xiàn)出教師命題的理論水平以及命題的實際技巧.數(shù)學(xué)擬題是指已知條件、已知條件展開的數(shù)學(xué)邏輯敘述(推理)過程,及由此得到的結(jié)論這三個要素組成完整數(shù)學(xué)意義的陳述.隱去或部分隱去真實、確定的完整數(shù)學(xué)意義陳述的構(gòu)成要素,要求應(yīng)答者構(gòu)造完整數(shù)學(xué)意義的陳述,這種構(gòu)造過程就是擬造數(shù)學(xué)題. 本文利用具體的數(shù)學(xué)試題去說明如何改編成題和編制新題，并對通過具體的數(shù)學(xué)試題去解讀數(shù)學(xué)擬題的方法.

一、改編成題

通過改造成題(課本例題、習(xí)題、高考試題、中考試題、中高考模擬題、數(shù)學(xué)競賽題)設(shè)計數(shù)學(xué)題,就是對原有題目的條件或結(jié)論進(jìn)行適當(dāng)?shù)募庸づc改造,在成題的基礎(chǔ)上制作新的數(shù)學(xué)題,這種方法通常稱為改造成題法.改造成題法是設(shè)計數(shù)學(xué)題的一種基本方法,根據(jù)成題的不同特點(diǎn),改造的具體途徑也不盡相同,常用的有等價變形、橫向變形、縱向變形、正逆變形等.

1.等價變形

就是在保持成題的關(guān)系結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上,通過變換題目的條件、結(jié)論或題型擬出與原題等價的新題.

案例1 (必修1第88頁例1)求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點(diǎn)的個數(shù).

解析用計算器或計算機(jī)作出x,f(x)的對應(yīng)值表與圖像如下:

x123456789f(x)-4-1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972

由上表和圖可知，f(2)<0,f(3)>0,則f(2)·f(3)<0,這說明函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，3)內(nèi)有零點(diǎn)．由于函數(shù)f(x)在定義域(0，+∞)內(nèi)是增函數(shù),所以它僅有一個零點(diǎn)．

本題為運(yùn)用函數(shù)思想解決方程的求解問題，需要理解零點(diǎn)的概念(三種等價的解釋).函數(shù)思想豐富了求解方程的思路,體驗函數(shù)思想的作用,掌握數(shù)形結(jié)合方法.在保證原題本質(zhì)不變時進(jìn)行四種變換.

變式1 (2016屆寧夏銀川一中)已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的x，f(x)的對應(yīng)表則函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)的區(qū)間有( ).

x123456f(x)136.1315.552-3.9210.88-52.488-232.064

A．區(qū)間[1,2]和[2,3]

B．區(qū)間[2,3]和[3,4]

C．區(qū)間[2,3]、[3,4]和[4,5]

D．區(qū)間[3,4]、[4,5]和[5,6]

變式2 (2013天津高考)函數(shù)f(x)=2x+x3-2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)是( ).

A．0 B．1 C．2 D．3

變式4 (2014山東高考)已知函數(shù)f(x)=|x-2|+1，g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有兩個不相等的實根，則實數(shù)k的取值范圍是( ).

變式1通過改變條件為表格；變式2改變函數(shù)解析式；變式3改變條件形式；變式4改變問題的形式，變問題為求參數(shù)的取值范圍.以上這四道改編題的本質(zhì)與原題一樣，就是所說的等價變形.

2.橫向變形

一種方法是將幾個基礎(chǔ)題疊加在一起的方式來設(shè)計試題，簡稱疊加組合式.

問題2 已知實數(shù)x，y滿足：(x-2)2+y2=3，求y的最大值.

合成新題： 在△ABC中，a=2，b=2c，求△ABC面積的最大值.

分析問題1是一道軌跡問題(阿波羅尼斯圓)，而問題2是一道有明顯圖形背景的最值問題.合成新題則通過一個不確定的三角形提出問題，其中頂點(diǎn)A到B、C的距離之比為定值.從而可先用解析法研究A的軌跡，從而求出A到邊BC的距離最大 ，最終得到問題的求解.

另外一種方法，以成題為基礎(chǔ),利用數(shù)學(xué)各科知識的橫向聯(lián)系構(gòu)造新題.

案例3 原題：在平面內(nèi)兩定點(diǎn)B、C的距離為a1，動點(diǎn)A到B、C的距離之和為2a1，求△ABC面積的最大值.

A.{Sn}為遞減數(shù)列

B.{Sn}為遞增數(shù)列

C.{S2n-1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列

D. {S2n-1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列

又b1+c1=2a1，

由歸納法可知bn+cn=2a1，△AnBnCn另兩邊之和為定值2a1，且其中bn,cn→a1，與原題當(dāng)頂點(diǎn)為橢圓短軸頂點(diǎn)時達(dá)最大一致.bn,cn變化如數(shù)軸圖所示：

3.縱向變形

縱向變形就是遞循由特殊到一般或一般到特殊的思路.對原題作特殊化、一般化的處理,通過考查題目的特殊情形在條件、結(jié)論,方法上對原題進(jìn)行推廣,由此來設(shè)計試題.

案例4 (人教版高中數(shù)學(xué)新教材必修2(A版)P133頁第4題)如圖，圓x2+y2=8內(nèi)有一點(diǎn)P0(-1,2)，AB為過點(diǎn)P0且傾斜角為α的弦．

(1)當(dāng)α=135°時，求AB的長；(2)當(dāng)弦AB被點(diǎn)P0平分時，寫出直線AB的方程．

改編2：當(dāng)135°≤α≤150°時，求弦長AB的取值范圍；

改編4：直線x-2y+5=0與圓心在原點(diǎn)的圓O相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P0(-1,2)平分弦AB，求圓O的方程；

案例5 (人教版高中數(shù)學(xué)新教材選修1-1(A版)P110頁第7題)已知函數(shù)f(x)=x(x-c)2在x=2處有極大值，求c的值．

改編1：求函數(shù)f(x)=x(x-6)2的極大值和極小值；

改編2：已知函數(shù)f(x)=x(x-6)2在x=a處有極大值，求a的值．

改編3：已知函數(shù)f(x)=x(x-c)2在x=2處有極大值，證明：方程f(x)=6有三個解．

4.正逆變形

正逆變形,指的是將題目中的條件與結(jié)論的位置相互變換,由此來編制出新的數(shù)學(xué)題.

(1)將成題改造成給出結(jié)論,探求條件的題型

參考答案：A.

(2)將條件、結(jié)論完整的題目改造成給出條件,結(jié)論讓學(xué)生猜想并進(jìn)行證明的題型.

案例7 (2017年高考理數(shù)全國Ⅰ卷第12題)幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是( ).

A．440 B．330 C．220 D．110

參考答案：A

改編成已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推；整數(shù)N滿足如下條件：N>100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪；試證明：N的最小值是440.

二、編制新題

1.利用實際問題擬造新題

通過建立數(shù)學(xué)模型,將實際問題抽象出新的數(shù)學(xué)問題.這類題的結(jié)構(gòu)為:實際問題情境,數(shù)學(xué)模型化,解數(shù)學(xué)模型,從而解答這個實際問題.其目的是為了測量學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識分析和解決問題的能力,而解答這類題的關(guān)鍵,是從所學(xué)的數(shù)學(xué)知識中選取合適的數(shù)學(xué)知識,將實際問題數(shù)學(xué)化，因此,解答這類題對于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和實踐能力很有實際意義.擬造這類題時,應(yīng)先選定日常生活中的事實作為背景,然后用合適的數(shù)學(xué)語言來表述它.

2.利用基本量法擬造新題

在一個系統(tǒng)中,如果任意一個量都可由幾個量導(dǎo)出,而這幾個量又不能相互導(dǎo)出,則稱這幾個量為該系統(tǒng)的基本量.利用基本量法擬造數(shù)學(xué)題的思路:弄清系統(tǒng)的量,確定系統(tǒng)基本量并給予賦值,設(shè)計條件擬造題并審定計算順序,應(yīng)該指出一個系統(tǒng)的基本量不一定相同.例如,與等差數(shù)列{an}相應(yīng)的量有a1，n，an，Sn，公差d等,而a1，d,Sn和d,n，Sn分別可作為它的基本量.利用等差數(shù)列的基本量可擬造題目：在等差數(shù)列{an}中,a6+a9+a12+a15=30，求S20.

3.利用新的數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算法則擬造新題

利用新規(guī)定的概念、法則等擬造數(shù)學(xué)題的主要步驟為:首先用數(shù)學(xué)的概念、法則等閘述新概念、法則的意義,然后用新概念、法則提出數(shù)學(xué)題.

案例8 (2009年高考四川卷) 設(shè)V是已知平面M上所有向量的集合,對于映射f:V→V，a∈V，記a的象為f(a).若映射f:V→V滿足:對所有a，b∈V及任意實數(shù)λ,μ都有f(λa+μb)=λf(a)+μf(b),則f稱為平面M上的線性變換,現(xiàn)有下列命題：

(1)設(shè)f是平面M上的線性變換,a，b∈V,則f(a+b)=f(a)+f(b)；

(2)若e是平面M上的單位向量,對a∈V,設(shè)f(a)=a+e,則f是平面M上的線性變換;

(3)對a∈V,設(shè)f(a)=-a,則f是平面M上的線性變換；

(4)設(shè)f是平面M上的線性變換，a∈V,則對任意實數(shù)k均有f(ka)=kf(a).

其中的真命題是( ).(寫出所有真命題的編號)

4.以高等數(shù)學(xué)知識為背景擬造新題

以高等數(shù)學(xué)的思想和知識為背景,把高等數(shù)學(xué)中的問題初等化,可以擬造新題.高等幾何中有一個帕斯卡定理:“二階曲線內(nèi)接六角形的對邊交點(diǎn)共線”.在這個定理中,把二階曲線特殊化為圓,內(nèi)接六角形用內(nèi)接六邊形代替，相應(yīng)的對邊改為對角線,則可擬造如下的題目:

已知圓的內(nèi)接六邊形的六個頂點(diǎn)分別為A(-3,4),B(0 5),C(4,3),D(4,-3),E(-3,-4),F(-5,0),求證:AD與CF的交點(diǎn)、BD與CE的交點(diǎn)、AE與BF的交點(diǎn)共線.

5.不完全確定條件或結(jié)論擬造新題

許多所探討的數(shù)學(xué)題,其條件和結(jié)論都是完全確定的.但在數(shù)學(xué)教學(xué)中還經(jīng)常使用結(jié)論或條件不完全確定的新題擬造方法.

案例9 (1)設(shè)△ABC的三邊a,b,c滿足an=bn=cn(n∈N,n≥2)，試判定△ABC的類型.

(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=12,S12>0，S13<0.指出S1,S2,…,S12中,哪一個值最大,并說明理由.

由這幾個例題可以看出,擬造這類題需對所探求的條件或結(jié)論的范圍作限制,而且這個限制表現(xiàn)在解答過程中需要對條件或結(jié)論進(jìn)行討論,這種類型的題屬于開放型的題,對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和實踐能力很有好處.