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    《怎樣圍面積最大》教學(xué)

    2019-03-27 03:26:48
    關(guān)鍵詞:等腰三角梯形周長

    黃 建

    【教學(xué)內(nèi)容】

    人教版六年級拓展課。

    【教學(xué)目標】

    1.根據(jù)周長相等的條件,100%的學(xué)生能夠圍出不同的圖形并計算面積,90%的學(xué)生進一步明確周長相等的情況下,圓的面積最大。

    2.60%的學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)語言完整地表達推理過程,能總結(jié)概括出研究報告的要素,并通過多樣化的表達形成研究報告。

    【課前思考】

    什么是數(shù)學(xué)學(xué)科的表達能力?我們該如何培養(yǎng)?數(shù)學(xué)表達能力是指運用語言文字闡明自己的數(shù)學(xué)觀點、意見或抒發(fā)思想、感情的能力。它包括口頭表達能力、文字表達能力、數(shù)字表達能力、圖示表達能力等幾種形式。同時數(shù)學(xué)語言的表達也是學(xué)生對知識的掌握程度的一種反映。

    數(shù)學(xué)交流表達的幾個表現(xiàn)層次:1.(語句)完整;2.(邏輯)嚴密;3.(用詞)準確;4.(語言)簡潔;5.(方式)多樣。

    于是,在學(xué)生經(jīng)歷了長方形(正方形)、平行四邊形、三角形、梯形、圓的面積公式推導(dǎo)、掌握這些平面圖形的面積公式,明確一些圖形之間的面積關(guān)系——當周長相等的情況下,正方形的面積大于等于長方形的面積等之后。我們設(shè)計了這樣一個小課題研究,而小課題研究的本質(zhì)上是這樣一個數(shù)學(xué)問題:當周長相等的情況下,圍成什么圖形的面積最大?基于這樣一個數(shù)學(xué)問題,我們是怎么樣培養(yǎng)學(xué)生的達能力呢?在這一節(jié)課中,我們引導(dǎo)學(xué)生通過猜測、驗證等過程培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達能力這一關(guān)鍵能力。在第一環(huán)節(jié)中,學(xué)生通過表達明確小課題研究的主題、研究內(nèi)容;在第二環(huán)節(jié)中,學(xué)生通過計算、推理等過程進行驗證,與此同時,尤其關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)表達的完整性、邏輯的嚴密性、用詞的準確性與語言的簡潔性。當然,這些都是教師評價學(xué)生語言的重要標準。在第三環(huán)節(jié)中,鼓勵學(xué)生用多樣化的方式進行表達。

    【教學(xué)過程】

    一、確定研究主題(預(yù):5 分鐘)

    1.出示情境。

    師:今天,我們要解決這樣一個問題。你會圍成什么圖形?

    生:三角形、長方形、正方形、梯形、圓等。四邊形、五邊形、六邊形等。

    小結(jié):但是不管怎么圍什么是不變的,什么變化?

    2.數(shù)學(xué)思考。

    師:我們要解決這個問題,就是在研究一個什么數(shù)學(xué)問題?

    出示課題:周長相等的情況下,什么圖形的面積最大?這就是我們今天研究的主題。

    3.交流討論。

    師:說到面積,這么多的圖形,哪些圖形的面積現(xiàn)在是能夠確定的?我們來算一算。(按π=3 計算)

    生:正方形邊長24÷4=6(米),S正=6×6=36(平方米);圓形半徑r=24÷3÷2=4(米),S圓=3×4×4=48(平方米)。

    師:哪些圖形現(xiàn)在是能比出大小的?

    生:長方形<正方形,這是我們已經(jīng)學(xué)過的知識。

    師:這么多圖形,我們能不能分分類?

    分類:三邊形、四邊形、圓。

    4.猜測。

    師:現(xiàn)在,你能不能大膽猜測一下,哪個圖形的面積最大?

    生:我覺得圓的面積最大,正方形的面積第二大。

    二、討論研究方案

    1.確定研究方案。(預(yù):2 分鐘)

    師:這只是我們的猜測,你打算怎么來驗證?

    生:我覺得圍成各種各樣的封閉圖形,然后計算這個封閉圖形的面積,最后比較它們的面積,得出結(jié)論,看看是哪個圖形的面積最大。

    (小組討論,確定研究方案)

    師:他想到了操作(板書),那我們不可能真的用一根24 米長的繩子怎么辦?

    生:那很簡單,用24 厘米的繩子代替24 米的繩子。

    師:如果每個圖形都去研究時間肯定不夠,你有什么好方法?

    生:我覺得可以這樣,我們小組內(nèi)每人選擇一種圖形來圍。這樣能節(jié)省時間,而且也可以看看其他組和你圍的圖形一樣的同學(xué)。這樣就可以看到很多圖形了,并且節(jié)省時間。

    2.合作研究。(預(yù):8 分鐘)

    師:就按照同學(xué)們說的做。

    3.全班交流。(預(yù):6 分鐘)

    師:你們是怎么來就研究的,研究結(jié)論是什么?

    (1)平行四邊形的面積。

    生:我們是四人小組合作,我們分別研究了平行四邊形、三角形、梯形這三類圖形。我研究的是平行四邊形,你們看我圍出的這個平行四邊形,通過計算我發(fā)現(xiàn)這個平行四邊形的面積是24 平方厘米。所以我發(fā)現(xiàn)圓的面積最大。(黑板上記錄)

    師:同樣是研究平行四邊形,有沒有比這個圖形面積更大的圖形?你圍的圖形的面積是多少?

    生:我圍得的也是平行四邊形,它的面積是58.5平方厘米。

    生:我覺得根本不可能,你看看我們知道周長是24 厘米。底是6.5 厘米,斜邊最多5.5 厘米。這一條高是9 厘米,高一定比斜邊短,9>5.5。根本不可能。

    師:能聽懂嗎?是的!底邊是5.5 厘米,則這一條也是5.5 厘米,那么周長是24 厘米,24-5.5×2=13(厘米),斜邊就是13÷2=5.5(厘米)。而斜邊要大于等于直角邊,9>5.5,不可能。

    小結(jié):周長相等的情況下,平行四邊形的面積小于圓的面積。

    (2)三角形的面積。

    生:我研究的是三角形,你們看我圍出的這個三角形,通過計算我發(fā)現(xiàn)這個三角形的面積是28.9 平方厘米。所以我發(fā)現(xiàn)圓的面積最大。(黑板上記錄)

    師:同樣是研究三角形,有沒有比這個圖形面積更大的圖形?你圍的圖形的面積是多少?對于三角形,還有沒補充的?

    小結(jié):周長相等的情況下,圓的面積最大。

    (3)梯形的面積。

    生:我研究的是梯形,你們看我圍出的這個梯形,通過計算我發(fā)現(xiàn)這個梯形的面積是35 平方厘米。但是它的面積要比圓小。所以我發(fā)現(xiàn)圓的面積最大。(黑板上記錄)

    師:同樣是研究梯形,有沒有比這個圖形面積更大的圖形?面積是多少?對于梯形,還有沒有補充的?

    小結(jié):周長相等的情況下,圓的面積最大。

    (4)小結(jié)提升。

    生:綜上所述,我們發(fā)現(xiàn),當周長相等的情況下,圓的面積最大。

    師:到目前為止,我們通過操作總結(jié)得出這樣一個結(jié)論。但我們是不是就能說,這個結(jié)論一定是正確的呢?

    生:我覺得是正確的!

    生:我覺得是更有信心了!但是我還是不怎么確定,你看!我們只是研究了三邊形、四邊形、圓,那還有五邊形、六邊形等我們都沒有研究過呢!

    生:我也覺得,那不一定,哪怕是三角形、梯形、平行四邊形還有很多種,我們只是舉了其中幾個例子,我們覺得還不是特別有說服力。

    4.推理論證(控制高不變)。(預(yù):8 分鐘)

    師:怎么樣變得更有說服力呢?既然我們已經(jīng)知道了S正<S圓,現(xiàn)在,我們把這四個周長相等的圖形放在一組平行線之間,你知道了什么?

    生:我知道了這幾個圖形的周長是相等的!

    生:兩條平行線之間距離處處相等,所以高也相等,都是6。

    師:周長相等、高相等,它們的面積和正方形的面積有什么關(guān)系呢?小組里互相交流一下。

    生:周長相等,當高相等時,因為平行四邊形的斜邊比正方形的邊長長,所以平行四邊形的底比正方形的底短;又因為高相等,所以平行四邊形面積小于正方形的面積。

    師:說得很完整、也很有邏輯性,但是不夠簡潔,誰愿意上來指著這個圖形再來說說看?

    生:b 大于6,所以a 小于6。高相等,所以S平小于S正。

    生:其實可以這樣理解,b 一定是大于6 厘米的,所以它的對邊也大于6 厘米,而又因為周長是24 厘米,所以2a 一定小于12,a 小于6。S平=a×6,S正=6×6,a 小于6,所以S平小于S正。

    師:在表述過程中,借助字母可以讓我們說得更簡潔、更清楚。那梯形和三角形呢?為了便于你們交流,我們也標上字母任選一個,和你的同桌說一說。

    生:c+d 大于12,所以a 小于12。高相等都是6,S△=a×6÷2,S正=6×6,a÷2 小于6,所以S△小于S正。(教師板書)

    生:c+d 大于12,所以a+b 小于12。高相等都是6,S梯=(a+b)×6÷2,S正=6×6,(a+b)÷2 小于6,所以S梯小于S正。

    師:你們覺得他們說得怎么樣?

    師:你看,我們又作了這樣的推理,當周長、高相等的情況下,它們的面積永遠小于正方形的面積,又因為正方形的面積小于圓的面積。所以,圓的面積最大?,F(xiàn)在,是不是更有信心了?

    5.進一步推理論證(底、高都變化)。(預(yù):6 分鐘)

    師:剛才我們發(fā)現(xiàn),四邊形中哪個圖形的面積最大?(出示正四邊形)那三邊形呢?

    生:我覺得是正三角形面積最大。

    生:我覺得是等腰直角三角形面積最大。

    (1)底不變,從一般三角形→等腰三角形。

    師:任意一個三角形,如果它的底不變,另一個頂點可以移動,什么時候面積最大?(操作)為什么?

    生:底相等,高最大的時候,面積最大。生:所以周長相等時等腰三角形面積最大。

    (2)等腰三角形→等邊三角形。

    ①想象:繼續(xù)想,同樣是等腰三角形,什么時候面積最大。

    ②操作:請你選擇一個三角形,找一找面積最大的等腰三角形。

    生:我覺得是等邊三角形面積最大。

    ③驗證:我們來看一下對不對?。◣缀萎嫲宀僮鳎?/p>

    生:我們猜對了,當它是正三角形的時候,面積最大是27.8 厘米。

    (3)回顧。

    師:剛才,我們是怎么找到三邊形中面積最大的圖形?

    生:當?shù)紫嗟鹊那闆r下,等腰三角形的面積最大,同樣是等腰三角形時等邊三角形的面積最大。

    師:而正三角形的面積比正四邊形的面積小,比圓的面積小,所以還是成立的。

    6.總結(jié)回顧。

    師:同學(xué)們!剛才我們通過這樣的研究得出什么結(jié)論?是用什么方法研究的?

    生:計算、推理(和正方形比較,找到周長相等、同一類中面積最大的圖形)。

    師:我們不僅得出了這樣的結(jié)論,還發(fā)現(xiàn)三邊形時,什么圖形的面積最大?四邊形時?那如果是五邊形、六邊形?幾邊形呢?有興趣的同學(xué)可以自己去研究。但是到目前為止,我們發(fā)現(xiàn),周長相等的情況下,圓的面積最大。

    三、形成研究報告

    師:今天,我們研究了一個非常了不起的小課題。需要把整個研究過程記錄下來,如果讓我們寫一份研究報告,你打算從哪些方面撰寫?

    生:我們覺得研究報告,首先要有標題;有了標題之后,得有研究主題,就是研究的是什么;而且還要寫研究的方案,我們是打算怎么來研究的;接著在研究過程中,我們是分成哪幾類情況進行研究,對于同一類,我們又用了哪些方法;最后,我們的研究成果是什么。

    師:剛才他說到了幾個關(guān)鍵詞,研究主題、研究方法、研究過程和研究結(jié)論。請你從這幾個方面把剛才的研究過程進行整理。

    四、多樣化表達

    (學(xué)生作品略)

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