關(guān)鍵卡在哪兒？
——一道中考數(shù)學(xué)題的命題與解法

山東省日照市五蓮縣教學(xué)研究室 王金鳳

一道命題巧妙、立意獨(dú)特的中考試題能夠更加準(zhǔn)確地檢測(cè)出學(xué)生的真實(shí)水平，更好地發(fā)揮升學(xué)篩選的作用，同時(shí)還可以對(duì)教師的數(shù)學(xué)教學(xué)起到引導(dǎo)作用。重慶市2015年數(shù)學(xué)中考試卷第25題給我們的感覺(jué)是第三小題的圖形很復(fù)雜，證明起來(lái)難度較大，那么如何才能降低題目的解答難度，解題的關(guān)鍵在哪里？這是本文嘗試探討的問(wèn)題。

一、試題介紹

（2）試證：HP =HF。

圖1

圖2

二、分析與解答

問(wèn)題（1）中，已知∠CED為直角，∠DCE=60°，根據(jù)勾股定理可知CD=2CE，而CE=，因此，CD=，DG=。問(wèn)題（2）比問(wèn)題（1）難度稍大，需要添加一條輔助線(xiàn)，如圖3所示，并進(jìn)行簡(jiǎn)單推理，考查的是基本技能。

圖3

如圖3，添加輔助線(xiàn)CH，GP=CF，GH=CH，因?yàn)椤螰CH=∠FCD-∠HCD=30°-∠HCD；∠HGP=∠HGC-∠PGC=∠HGC-60°=（90°-∠HDC）-60°=30°-∠HDC，可得∠HGC=∠HGP，△PGH≌△FCH，證得HP =HF。

問(wèn)題（3）保留了問(wèn)題（2）的線(xiàn)段，少了點(diǎn)P是CE中點(diǎn)的條件，屬于開(kāi)放式命題，考查的是綜合能力，難度較大。

證明：如圖4所示，取CD中點(diǎn)K，連接EK，HK，在直角三角形△中，CG =2CF，HK是△CGD的中位線(xiàn)，因此，CG =2HK，可知△為等邊三角形，故CE=EK，又因?yàn)椤螮CF=∠DCE=30°，∠EKH=∠CKH－∠EKC=30°，可知△ECF≌△EKH，所以∠CEF=∠KEH，∠CEF+∠FEK=∠KEH+∠FEK=60°，可得△FEH為等邊三角形。

圖4

該方法充分利用兩直角三角形的中點(diǎn)構(gòu)成中線(xiàn)和中位線(xiàn)，并構(gòu)造全等三角形，從而聯(lián)想到幾何變換，引出了上述的證明思路：添加輔助線(xiàn)，通過(guò)證明△FEH有兩條邊相等，再證明其中一個(gè)角為60°，從而證明其為等邊三角形。從幾何變換角度來(lái)說(shuō)，如圖4所示，證明了一對(duì)全等三角形，相當(dāng)于△EFC繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)得到△EHK。通過(guò)圖4的證明方面，我們可以看出圖2有瑕疵。

綜合性幾何題目為了呈現(xiàn)各個(gè)題目之間的關(guān)聯(lián)，體現(xiàn)從易到難的命題原則，通常需要組合多個(gè)知識(shí)點(diǎn)以及圖形拼接、疊加等。但是，圖4的證明方法沒(méi)有用到圖2中的線(xiàn)段GP，HP，為什么不將圖2的線(xiàn)段DH、FH抹去呢？通常來(lái)說(shuō)，題目條件越多，解答難度越低，而本題的題目條件多了，難度卻增加了。

三、幾何變換是關(guān)鍵

如何將問(wèn)題（3）中的圖形進(jìn)行簡(jiǎn)化，證明的關(guān)鍵在哪里？我們將把圖2中線(xiàn)段GP，HP去掉，簡(jiǎn)化圖形，在根據(jù)旋轉(zhuǎn)或?qū)ΨQ(chēng)性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題（3）。因此，原題目可以修改為：如圖5所示，在△CDE中，∠CED為直角，∠DCE=60°，點(diǎn)F是∠DCE平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F作GF垂直于CF，過(guò)點(diǎn)C作GC垂直于CD，GF，GC相交于點(diǎn)G，連接GD，點(diǎn)H為GD中點(diǎn)，GP垂直于CE，垂足為點(diǎn)P，連接HP，HF。

（1）GP垂直于CE，垂足為P，若H為GD的中點(diǎn)，CE=，求CD，DG的長(zhǎng)。

圖5

圖6

（2）如圖6所示，DH⊥AC，垂足為H，連接EF，HF，求證：HF=EF。

圖7

（3）如圖7所示，連接EF，EH，F(xiàn)H，△EFH是否為等邊三角形？如果是，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)給出理由。

通過(guò)將原題目變換為現(xiàn)在的三個(gè)圖形，對(duì)于突破難度較大的原題第3問(wèn)更加有力，同時(shí)能夠更好地實(shí)現(xiàn)命題者的考試意圖。中考命題的根本目標(biāo)是有效地檢測(cè)學(xué)生的實(shí)際水平。因此，命題者應(yīng)該從“理解學(xué)生”和“理解數(shù)學(xué)”出發(fā)來(lái)進(jìn)行中考命題。經(jīng)過(guò)修改后的題目，既不影響繼續(xù)用圖4的方法，還有利于發(fā)現(xiàn)如下更多的方法。經(jīng)過(guò)修改后的題目，不影響繼續(xù)用圖4的證明方法，還有利于發(fā)現(xiàn)更多的證明方法。

我們可以看出該題的解題關(guān)鍵在于幾何變換。圖4中，△ECF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)到了△CMF。基于這種思路，我們很容易想到，△ECF還可以繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°來(lái)證明，也可以利用對(duì)稱(chēng)來(lái)證明，在此，證明過(guò)程不再贅述，有興趣的讀者可以自己嘗試來(lái)證明。

綜上所述，我們?cè)谶M(jìn)行教學(xué)時(shí)，不要漫無(wú)目的地講解和學(xué)習(xí)各種解題思路和方法，而是要僅僅抓住幾何變換這個(gè)解題關(guān)鍵去分析才是正道。