一二維分片勢阱問題的譜元法高效求解

北京計算科學(xué)研究中心 劉 焱

薛定諤方程是數(shù)學(xué)與物理中經(jīng)典的問題，它描述了波函數(shù)量子行為，在流體力學(xué)、固體物理、電磁學(xué)、量子化學(xué)、凝聚態(tài)物理及光學(xué)等廣泛領(lǐng)域內(nèi)有著重要應(yīng)用。

無序勢阱定態(tài)薛定諤方程的波函數(shù)會出現(xiàn)高度局域化現(xiàn)象，該現(xiàn)象在相關(guān)物理領(lǐng)域中稱為安德森局域化。安德森局域化的研究已經(jīng)有五十年以上的歷史，但依然有很多相對開放的研究課題。

2016年，DouglasN.Arnold提出，在無序勢阱的條件下，薛定諤方程的特征值及特征函數(shù)局域化區(qū)域，可以由求解相應(yīng)的源問題進行預(yù)測，并給出了理論上的部分證明。Arnold以分片常數(shù)隨機勢阱模擬無序勢阱，利用三次有限元方法完成了一維和二維的數(shù)值算例，得到了經(jīng)驗性的結(jié)論，但數(shù)值結(jié)果的精度低，規(guī)模小。

考慮單位方形區(qū)域內(nèi)，零邊界條件下簡化的薛定諤方程及其對應(yīng)的源問題：

其中，V為勢阱函數(shù)。

逼近無序勢阱要求使用大規(guī)模分片勢阱V，有限元方法難以完成對大規(guī)模相應(yīng)的特征值問題及源問題的數(shù)值求解。針對大規(guī)模分片勢阱薛定諤方程及源問題，本文提出了高效的譜元法數(shù)值格式，并設(shè)計快速算法，得到了一種低計算量、高效且高精度的數(shù)值方法。利用該高效數(shù)值方法，本文在同等精度要求下，完成了更大規(guī)模的數(shù)值算例求解。

本文結(jié)構(gòu)主要分為兩個部分：第一部分，我們基于勢阱分布完成了網(wǎng)格剖分，發(fā)展譜元法提出了數(shù)值格式，設(shè)計了相應(yīng)的快速算法。第二部分，在一維及二維的數(shù)值實驗中，我們首先檢驗了譜元法的有效性及相對有限元的優(yōu)越性，然后驗證了安德森局域化現(xiàn)象，最后完成了對特征解預(yù)測理論的高精度數(shù)值研究。

一、無序勢阱問題的譜元法

源問題預(yù)測特征解的部分理論支持參見DoulasN.Arnold所著的相關(guān)文獻，因此本節(jié)僅描述數(shù)值方法。

首先，對無序勢阱使用分片常數(shù)隨機勢阱進行逼近。不失一般性，對一維單位區(qū)間[0，1]進行均勻剖分，多維區(qū)域由一維區(qū)域分解張量形成。使用在每個子區(qū)域內(nèi)取隨機常數(shù)的分片常數(shù)隨機勢阱來模擬無序勢阱。

源問題與特征值問題的變分形式及逼近格式不再贅述，重點描述基函數(shù)的選取。

參考沈捷等人的著作[5]中節(jié)4.1.2的內(nèi)容，引入在[-1，1]上的基函數(shù)，這組基函數(shù)滿足剛度矩陣為單位矩陣，質(zhì)量矩陣為三帶寬五對角矩陣。在此基礎(chǔ)上進一步優(yōu)化，于是得到一組新的基函數(shù)，其對應(yīng)的質(zhì)量矩陣與剛度矩陣均為對角陣。結(jié)合有限元對區(qū)域選擇的靈活性與譜方法的高次數(shù)高精度特性，生成譜元法基函數(shù)，進而拼接得到一維全局譜元法基函數(shù)，而二維逼近空間的基函數(shù)即為一維基函數(shù)的張量積。

得到基函數(shù)與逼近空間后，將問題轉(zhuǎn)化為離散問題線性系統(tǒng)。

以二維情況源問題對應(yīng)的線性方程組為例，說明譜元法對應(yīng)的快速算法的核心內(nèi)容。

基于Schur補的思想，通過一個恰當?shù)闹脫Q矩陣，我們將線性方程組重排為：

其中，矩陣塊A為對角矩陣，其他矩陣塊為稀疏矩陣。利用線性有限元，分別在xy兩個方向及單獨一個方向替換譜元法，我們可以得到z1，z2，z3的低精度近似解。利用矩陣塊A我們可以得到y(tǒng)的近似解。于是我們得到線性方程組的預(yù)條件子，結(jié)合共軛梯度法，我們便有高效的迭代求解算法。

二、數(shù)值實驗

圖1 概貌函數(shù)（a）及前6個特征函數(shù)（b）

本節(jié)主要介紹特征值問題與源問題在一維與二維下的數(shù)值算例。所有數(shù)值實驗均使用C語言進行并行編程實現(xiàn)。數(shù)值結(jié)果中，一律以參數(shù)（P，M）分別表示分片常數(shù)隨機勢阱的隨機最大值與單個方向分片區(qū)域個數(shù)。所有未單獨標注的數(shù)值算例均經(jīng)由N=10次分片多項式計算得到。

1．一維算例

一維算例均在工作站上完成，使用cpu核數(shù)為8。?。≒，M）=（10e5，300）的分片勢阱V來模擬無序勢阱。

源問題的解（又稱概貌函數(shù)）和前6個特征函數(shù)的圖像如圖1所示。

從圖1中可以觀察到特征函數(shù)的高度局域化現(xiàn)象。疊加兩圖對比可以觀察到，每一個特征函數(shù)均對應(yīng)局限于概貌函數(shù)的某一個波峰內(nèi)。這兩種現(xiàn)象前者對應(yīng)安德森局域化現(xiàn)象，后者對應(yīng)概貌函數(shù)的控制理論。

對于（P，M）=（10e5，300）的一維特征值問題算例，采用基函數(shù)次數(shù)N=30的算例作為參考解，檢驗一維情況源問題對特征值的預(yù)測結(jié)果。

?

顯然，源問題預(yù)測特征解的理論的可靠性在一維情況下通過了檢驗，且數(shù)值結(jié)果與經(jīng)驗性結(jié)論吻合。

2．二維算例

二維情況取參數(shù)（P，M）=（10e5，100）的算例來驗證概貌函數(shù)對特征的控制理論及預(yù)測理論。

圖2 概貌函數(shù)a及第一個特征函數(shù)（b）的等高圖

圖2展示了概貌函數(shù)與第1個特征函數(shù)的等高圖對比，我們發(fā)現(xiàn)特征函數(shù)的局域化區(qū)域可以被概貌函數(shù)預(yù)測。此外，結(jié)合參考特征值，可以得出概貌函數(shù)對特征函數(shù)的控制結(jié)論。

?

將特征函數(shù)對應(yīng)的有效限制勢函數(shù)的波谷最小值與參考特征值進行對比，得到如上表所示的源問題對特征解的二維預(yù)測結(jié)果。

本文針對傳統(tǒng)有限元難以求解大規(guī)模勢阱問題及源問題的現(xiàn)狀，提出了譜元高效數(shù)值格式并設(shè)計了快速算法，完成了一維及二維情況下的大規(guī)模數(shù)值實驗，得到了更高精度的數(shù)值結(jié)果。本文提出的數(shù)值方法尚有進一步拓展的潛力，未來我們擬將該譜元方法應(yīng)用于三維數(shù)值實驗，從而填補三維情況下的數(shù)值研究空白。