“平均數(shù)”的含義與教學(xué)

劉向彬

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出平均數(shù)的教學(xué)要從“算法理解、概念理解、統(tǒng)計(jì)理解”三個(gè)方面來(lái)引導(dǎo)學(xué)生理解平均數(shù)，尤其要重視平均數(shù)統(tǒng)計(jì)意義的理解，即發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念，使他們能夠在具體情境中能想到用平均數(shù)，愿意用平均數(shù)來(lái)刻畫數(shù)據(jù).面對(duì)這個(gè)抽象的數(shù)學(xué)概念，該如何在教學(xué)中讓“平均數(shù)”的形象鮮活起來(lái)？讓學(xué)生能夠理解它的意義，真正和“平均數(shù)”交上好朋友呢？用心思考后有了這樣的一些不成熟的想法，與大家共享.

一、情境中誘發(fā)認(rèn)知沖突：平均數(shù)是機(jī)會(huì)不對(duì)等時(shí)“挺身而出”的公平公正的數(shù)

很多教師在執(zhí)教“平均數(shù)”時(shí)，會(huì)設(shè)計(jì)兩隊(duì)pk時(shí)人數(shù)不等的虛擬游戲情境，目的是引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突——比總數(shù)不公平，感知“平均數(shù)”產(chǎn)生的必要.其實(shí)，在學(xué)生們身邊就有這樣真實(shí)的情境—競(jìng)賽成績(jī)和期末質(zhì)量檢測(cè)成績(jī).我們可以先出示本年級(jí)每班數(shù)學(xué)競(jìng)賽總成績(jī)及參賽人數(shù)（每班20人），提出問(wèn)題：“你能快速給參賽班級(jí)排排序嗎？”第二次，出示各班期末測(cè)試總成績(jī)及每班人數(shù)（人數(shù)不同）.“此時(shí)，只比較總成績(jī)行嗎？”“當(dāng)學(xué)生人數(shù)不對(duì)等時(shí)，再來(lái)比總成績(jī)就不公平了，該怎樣對(duì)期末測(cè)試成績(jī)進(jìn)行排序呢？”揭示課題：這個(gè)“平均成績(jī)”就是我們今天要認(rèn)識(shí)的新朋友——平均數(shù).它是機(jī)會(huì)不對(duì)等時(shí)“挺身而出”幫助大家的公平公正的數(shù)，從而激起學(xué)生學(xué)習(xí)新知的欲望.

二、移一移中直觀感悟：平均數(shù)是“勻乎”出來(lái)的代表“整體水平”的虛擬的數(shù)

人教版教材中例1是個(gè)“平均分”的問(wèn)題，孩子們完全有能力憑借已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)算一算或移一移的方法，得出“平均每人收集13個(gè)塑料瓶”.這一問(wèn)題的設(shè)計(jì)溝通了“平均數(shù)”與原來(lái)曾經(jīng)學(xué)過(guò)的“平均分”之間的聯(lián)系，讓孩子們對(duì)“平均數(shù)”這個(gè)新朋友有了進(jìn)一步的了解.原來(lái)“平均數(shù)”并不陌生，它就是那個(gè)平均分后每份同樣多的“每份數(shù)”.進(jìn)而，通過(guò)“移一移”的方法，通過(guò)教師追問(wèn)：平均每人收集13個(gè)，是不是每人就收集13個(gè)？學(xué)生借助圖示中的“豎虛線”，直觀感知“平均數(shù)”在這里是將總數(shù)平均分后得到的數(shù)，所以，它并不是真實(shí)存在的，是個(gè)虛擬的數(shù)據(jù).“13個(gè)”雖然不是每個(gè)人實(shí)際收集的個(gè)數(shù)，但“13個(gè)”可以代表這個(gè)小組孩子們收集塑料瓶的整體水平——相當(dāng)于每人收集13個(gè).此問(wèn)題的設(shè)計(jì)及處理讓學(xué)生深刻感悟了“平均數(shù)”的意義及計(jì)算的道理.

三、問(wèn)題解決中深刻感受，平均數(shù)是雖“隱身”但“力大無(wú)窮”的有實(shí)用價(jià)值的數(shù)

教材中例2是“踢毽子比賽”，我們可以將靜態(tài)比賽場(chǎng)景“動(dòng)”起來(lái)，在動(dòng)態(tài)變化中深刻感悟平均數(shù).教師可以這樣設(shè)計(jì)：“操場(chǎng)上四（一）班的孩子們正在進(jìn)行男女生踢毽子比賽，要求每隊(duì)派出5名隊(duì)員.瞧，1號(hào)選手出場(chǎng)，男隊(duì)、女隊(duì)分別踢出19個(gè)、18個(gè)的好成績(jī)，一個(gè)之差，好懸！2，3，4號(hào)也依次對(duì)賽完畢，男、女隊(duì)的成績(jī)分別是15，16，22和20，19，19.現(xiàn)在，你能預(yù)測(cè)一下哪個(gè)隊(duì)會(huì)勝嗎？”學(xué)生在練習(xí)本上寫出預(yù)測(cè)的依據(jù)：有的算出總數(shù)，有的算出平均數(shù)，還有的學(xué)生一對(duì)一對(duì)比較.在方法匯報(bào)評(píng)價(jià)中，讓孩子們感悟人數(shù)對(duì)等，既可以比總數(shù)，也可以比平均數(shù)，而一對(duì)一PK有一定的局限性.接著，請(qǐng)孩子們做出預(yù)測(cè)：哪個(gè)隊(duì)會(huì)勝？一定嗎？為什么？最后為了鞏固平均數(shù)的意義及算理，可以追問(wèn)：“男生5號(hào)到場(chǎng)，踢13個(gè);女生5號(hào)缺席.”制造無(wú)法比總數(shù)，只能比平均數(shù)的情況.“假如5號(hào)女生沒(méi)缺席，你能根據(jù)現(xiàn)在男女生踢毽子的平均數(shù)，推測(cè)一下，5號(hào)女生只要踢幾下就一定能贏嗎？男隊(duì)有沒(méi)有贏的可能？”讓學(xué)生在體會(huì)平均數(shù)意義的過(guò)程中初步體會(huì)數(shù)據(jù)的隨機(jī)性.

當(dāng)然，平均數(shù)的實(shí)用價(jià)值更多的應(yīng)該通過(guò)呈現(xiàn)生活中的數(shù)據(jù)信息，讓孩子感受平均數(shù)的“無(wú)處不在”.比如，呈現(xiàn)“北京六歲以下兒童乘車免票線由1.1米到1.2米”，讓孩子們體會(huì)到平均數(shù)在國(guó)家政策方面做出調(diào)整的重大作用，凸顯平均數(shù)的“力大無(wú)窮”.

四、推理驗(yàn)證中對(duì)比發(fā)現(xiàn)，平均數(shù)是容易受“極端數(shù)據(jù)”影響的不夠完美的數(shù)

在統(tǒng)計(jì)中，平均數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是能充分利用所有數(shù)據(jù)的信息刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，但它也有自身的特點(diǎn)——容易受極端數(shù)據(jù)的影響.怎樣讓孩子們深刻理解平均數(shù)的這種特點(diǎn)，進(jìn)而避免一看到含有平均數(shù)的信息，就容易忽略極端數(shù)據(jù)而做出錯(cuò)誤的判斷.我想可以在練習(xí)中設(shè)計(jì)一個(gè)生活問(wèn)題——選拔運(yùn)動(dòng)員，即從兩人中選擇一位參加比賽.出示兩組數(shù)據(jù)：一人平均成績(jī)稍高一些，但很不穩(wěn)定;另一人平均成績(jī)稍低一些，但很穩(wěn)定.你會(huì)選誰(shuí)？為什么？此問(wèn)題的設(shè)計(jì)可以讓學(xué)生感受平均數(shù)的作用，提前預(yù)知單憑平均數(shù)做出判斷所帶來(lái)的“風(fēng)險(xiǎn)性”，提高學(xué)生對(duì)一組數(shù)據(jù)的“領(lǐng)悟水平”.原來(lái)平均數(shù)雖是比較公平公正的數(shù)，但也會(huì)遇到無(wú)法完美解決的問(wèn)題.

由“公平公正”到“力大無(wú)窮”，由“價(jià)值不菲”到“不夠完美”，平均數(shù)的教學(xué)不再僅僅是傳統(tǒng)意義上計(jì)算方法的理解，加強(qiáng)平均數(shù)在統(tǒng)計(jì)意義上理解的做法，能夠激起學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲望，讓學(xué)生領(lǐng)略到每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的必要及它所擁有的神奇魅力，同時(shí)也讓學(xué)生深刻感受到每一個(gè)知識(shí)都有“欠缺之處”，都需要一種新的知識(shí)來(lái)“彌補(bǔ)不足”，進(jìn)而助力孩子朝著浩瀚數(shù)學(xué)知識(shí)的海洋遨游.