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    淺析數(shù)學(xué)思想在高中解題中的應(yīng)用

    2019-03-08 02:52:02張?jiān)待?/span>
    西部論叢 2019年6期
    關(guān)鍵詞:分類討論數(shù)形結(jié)合

    張?jiān)待?/p>

    摘 要:數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí),高中試題十分重視對(duì)數(shù)學(xué)思想及其方法的考查。因此,在高中數(shù)學(xué)的解題中重視數(shù)學(xué)思想方法的挖掘和運(yùn)用是十分必要的。本文討論了數(shù)形結(jié)合、分類談?wù)摗⒑瘮?shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸思想等思想方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。

    關(guān)鍵詞:函數(shù)方程 數(shù)形結(jié)合 分類討論 等價(jià)轉(zhuǎn)化

    1.函數(shù)與方程的思想

    函數(shù)與方程的思想是數(shù)學(xué)研究中最基本的思想之一,分為函數(shù)思想和方程思想,二者之間相互聯(lián)系,共同為解答高中的數(shù)學(xué)內(nèi)容提供思路,像求解函數(shù)最值,不等式方程以及參數(shù)討論的問題都會(huì)用到函數(shù)與方程的思想。函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用主要是利用基本的初等函數(shù)的性質(zhì)(函數(shù)的對(duì)稱性,奇偶性,周期性和相關(guān)的函數(shù)圖像等)來求解問題,某個(gè)函數(shù)所展現(xiàn)的便是自變量與因變量的變動(dòng)過程,給定一個(gè),便有與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,因此其核心思想便是運(yùn)動(dòng),運(yùn)用此觀念來建立函數(shù)關(guān)系,使抽象的問題變得更為直觀、形象,從而為解決問題提供嶄新的思路;與之不同的是,方程思想主要考慮等量之間的關(guān)系,通過求解方程和方程組的解來解決問題。函數(shù)與方程在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化,對(duì)于某個(gè)函數(shù),當(dāng)時(shí),就轉(zhuǎn)化為方程,也可以把函數(shù)式看作方程。

    例1.1,設(shè)不等式對(duì)滿足的一切實(shí)數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。

    解析:按照常規(guī)解法,容易將題目化簡(jiǎn)為,然后再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論,這樣的運(yùn)算是很復(fù)雜的。我們換一個(gè)角度來思考這個(gè)問題,把看作變量,看為常數(shù),記,原命題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)關(guān)于的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿足時(shí)參數(shù)應(yīng)該滿足的條件。

    2.數(shù)形結(jié)合的思想

    數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科,空間形式便是我們常說的“形”,用在高中數(shù)學(xué)上面多是指函數(shù)的圖像;而數(shù)量關(guān)系便是和“數(shù)”有關(guān)的所有抽象內(nèi)容,數(shù)形結(jié)合思想本質(zhì)便是將難理解的抽象語言用圖形的方式描繪出來,能夠更加直觀的展示所求解問題的性質(zhì),將數(shù)轉(zhuǎn)化為形,通過“數(shù)”更好地解釋形,數(shù)形結(jié)合,即可以加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握,又可以開拓思維。也可把某個(gè)不規(guī)則或者復(fù)雜的圖形用“數(shù)”的方式描述出來,像某些分段函數(shù)或者多個(gè)函數(shù)結(jié)合在一起的圖形,直接分析可能會(huì)比較麻煩,用基本的數(shù)學(xué)語言分段描述圖形的每一部分有助于我們得分析與理解。數(shù)形結(jié)合思想常被用來求解以下類型的數(shù)學(xué)問題。

    (1)求解集合問題??梢岳脭?shù)軸圖像處理一些集合中的參數(shù)取值范圍問題,例如:已知若,求實(shí)數(shù)的取值范圍。利用數(shù)軸圖像,可得出參數(shù)的取值范圍需要滿足:,求解即可打出答案。

    (2)求解函數(shù)問題。可結(jié)合具體的函數(shù)圖像,求解常見的二次函數(shù)區(qū)間求值問題,函數(shù)零值以及討論參數(shù)取值范圍等問題。例如,求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),即可轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)和在定義域內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。

    3.分類討論的思想

    分類討論思想即是講一個(gè)不好求解的比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題,按照給定的基礎(chǔ)條件進(jìn)行分類,進(jìn)而分解為幾個(gè)基礎(chǔ)性問題,進(jìn)而求解原問題。分類討論思想最主要的是分類,通過比較問題的相同點(diǎn)和不同點(diǎn),找到適合分類的基點(diǎn)所在,根據(jù)具體的取值范圍或者函數(shù)圖像進(jìn)行分類。在分類討論時(shí),必須要掌握分類的基本方法:不重不漏、逐條逐類。高中里邊,常見的數(shù)學(xué)分類問題有:(1)數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)和法則引起的分類討論:如絕對(duì)值和不等式的定義、集合的概念、數(shù)列的概念等。例如:集合,就要討論集合和兩種不同的情況;的取值就要分為三種來求解;等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式,分為兩種情況。(2)函數(shù)圖像位置的不確定性回憶起討論:如二次函數(shù),值的不確定需要根據(jù)函數(shù)的開口方向,對(duì)稱軸的不確定性可能會(huì)引起函數(shù)位置的不同,可能在軸左邊,也可能在右邊。(3)含有參數(shù)的分類討論:參數(shù)的取值不同可能會(huì)導(dǎo)致不同的結(jié)果。如,解不等式時(shí),必須分為三種情況討論。

    4.等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想

    等價(jià)轉(zhuǎn)化即是把高中數(shù)學(xué)題目中很難著手的問題轉(zhuǎn)化為我們耳熟能詳?shù)囊阎獑栴}的過程,把未知的轉(zhuǎn)化為已知,化簡(jiǎn)為繁,轉(zhuǎn)化的過程中一定要注意等價(jià)關(guān)系,必須把轉(zhuǎn)化的因果關(guān)系記清楚。等價(jià)轉(zhuǎn)化的常見方法有(1)普通語言向數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化,例如,求一個(gè)西瓜切九刀,最多可切成多少塊。單憑想象的話,易知切一刀最多兩塊,兩刀四塊,三刀八塊,再往后可能會(huì)因?yàn)閳D形的復(fù)雜而計(jì)算錯(cuò)誤,通過等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法,將原題轉(zhuǎn)化為平面分割空間,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為直線分割平面,點(diǎn)分割直線的問題,再找到其中的不同,便可求解原題。(2)原命題與逆否命題的轉(zhuǎn)化,求解原命題比較困難的時(shí)候轉(zhuǎn)化為求解其逆否命題。例,求證若,則。直接求解顯然不太容易,可轉(zhuǎn)化為求解若,則,逆否命題很容易得出為真命題,則原命題也為真。

    結(jié) 論

    數(shù)學(xué)思想方位是前人通過不斷地實(shí)踐積累出來的寶貴財(cái)富,數(shù)學(xué)問題的求解就是不斷地發(fā)現(xiàn)問題,解決問題的過程,靈活地運(yùn)用各種思想有助于我們便捷準(zhǔn)確的得出答案。

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