變剛度Winkler地基上受壓非均質(zhì)矩形板的自由振動(dòng)與屈曲特性

滕兆春， 衡亞洲， 崔 盼， 劉 露

(1. 蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院， 蘭州 730050； 2. 江蘇興達(dá)鋼簾線(xiàn)股份有限公司, 江蘇 興化 225721)

彈性地基上新型材料矩形板的靜、動(dòng)力學(xué)特性的研究在工程領(lǐng)域有十分重要的意義和廣泛的應(yīng)用背景。工程實(shí)際中常見(jiàn)的彈性地基雖然大都是均勻的，但也會(huì)遇到非均勻彈性地基的情況，例如建筑物的彈性地基變剛度調(diào)平設(shè)計(jì)、復(fù)合地基中的筏板基礎(chǔ)和含填充物的彈性地基等。功能梯度材料(Functionally Graded Material，F(xiàn)GM)作為一種新型非均質(zhì)先進(jìn)復(fù)合材料[1]，對(duì)其研究如今已由最初的耐高溫高熱和應(yīng)力緩和型材料逐漸擴(kuò)大到機(jī)械、電子信息、航空航天、核工業(yè)、光學(xué)器件、生物、汽車(chē)以及土木工程等領(lǐng)域。目前的研究多集中在材料參數(shù)沿厚度方向變化的情況，給出了FGM結(jié)構(gòu)在彎曲、振動(dòng)、屈曲以及斷裂等方面的響應(yīng)，而對(duì)FGM板剛度面內(nèi)變化的研究則很少[2-4]。求解非均質(zhì)材料矩形板自由振動(dòng)和屈曲問(wèn)題的方法雖然較多，如有限單元法[5]、微分求積法[6-7]、樣條法[8]、里茲法[9]、辛彈性方法[2]等，但是這些方法中有些需要較多的網(wǎng)格和和較大的前處理工作量以及計(jì)算量才能達(dá)到需要的精度，有的方法往往又需要繁瑣的公式推導(dǎo)和較多的邊界條件限制，給求解帶來(lái)不便。

微分變換法(Differential Transform Method, DTM)是一種能有效將線(xiàn)性或非線(xiàn)性微分方程(組)變換成代數(shù)方程(組)求解的半解析方法[10]，最初被用來(lái)對(duì)電路中問(wèn)題的分析[11]，近年來(lái)DTM也逐漸用于結(jié)構(gòu)的靜、動(dòng)力學(xué)響應(yīng)求解[12-21]，求解過(guò)程編程簡(jiǎn)單且具有較高的計(jì)算精度，所得結(jié)果完全能滿(mǎn)足工程方面的要求。在DTM應(yīng)用中，Lal等[22]采用DTM求解了軸對(duì)稱(chēng)功能梯度材料(FGM)圓板的無(wú)量綱固有頻率和臨界屈曲載荷，給出了與頻率對(duì)應(yīng)的前三階振型。Shariyat等[23]采用DTM求解了雙參數(shù)彈性地基上雙向功能梯度材料圓板的自由振動(dòng)和模態(tài)應(yīng)力問(wèn)題，給出了不同邊界下受材料性質(zhì)和地基剛度系數(shù)影響的固有頻率和模態(tài)應(yīng)力。Kumar[24-25]基于經(jīng)典薄板理論，采用DTM分別分析了Winkler彈性地基上各向同性矩形板和Winkler彈性地基上晶體矩形板的自由振動(dòng)，得出了不同邊界下的前三階無(wú)量綱固有頻率和相應(yīng)的振型。Semnani等[26]基于經(jīng)典薄板理論，采用DTM分析了四邊簡(jiǎn)支和四邊固定邊界下各向同性變厚度矩形板的自由振動(dòng)，研究了此方法對(duì)求解自振頻率的收斂性，得出了等厚度板前八階固有頻率和變厚度板的基頻。Mukhtar[27]基于精細(xì)板理論，采用DTM和Talyor配置法分析了正交各向異性矩形板的自由振動(dòng)，驗(yàn)證了DTM和Talyor配置法求解自振頻率的結(jié)果一致。目前，用DTM分析變剛度彈性地基上受壓非均質(zhì)材料矩形板的振動(dòng)和屈曲問(wèn)題的研究，在國(guó)內(nèi)外仍然鮮見(jiàn)有文獻(xiàn)報(bào)道。

本工作假設(shè)彈性地基剛度系數(shù)、矩形板的彈性模量和密度沿板的長(zhǎng)度方向呈指數(shù)變化，基于經(jīng)典薄板理論，通過(guò)Hamilton原理建立變剛度Winkler地基上受壓非均質(zhì)矩形板自由振動(dòng)與屈曲問(wèn)題的控制微分方程并進(jìn)行無(wú)量綱化，采用DTM再將無(wú)量綱控制微分方程及其邊界條件變換為等價(jià)的代數(shù)方程，對(duì)變剛度Winkler地基上受壓非均質(zhì)矩形板的自由振動(dòng)和屈曲特性展開(kāi)研究。

1 控制微分方程及參數(shù)的無(wú)量綱化

考慮一各向同性非均質(zhì)矩形薄板，建立如圖1所示的笛卡爾坐標(biāo)系。板的尺寸為a×b×h且受到垂直于y軸截面上的法向力Ny，將其放置在變剛度Winkler彈性地基上，這里k表示W(wǎng)inkler地基剛度系數(shù)。y=0和y=b處為簡(jiǎn)支邊界(S)，其它兩邊邊界條件則為簡(jiǎn)支(S)、固定(C)或自由(F)任意組合。下面在對(duì)矩形板四個(gè)直邊的邊界條件表示中，均按x=0、y=b、x=a和y=0處的次序給出。

圖1 變剛度Winkler彈性地基上受壓非均質(zhì)矩形板的幾何

Fig.1 Geometry and coordinates of a compressed non-homogeneous rectangular plate resting on Winkler elastic foundation with variable stiffness

假設(shè)矩形板材料的彈性模量E、密度ρ和地基剛度系數(shù)k只沿x方向呈指數(shù)梯度變化，即

(1)

式中：E0、ρ0、k0分別為x=0處的彈性模量、密度和地基剛度系數(shù)；μ、β、α分別為彈性模量變化參數(shù)、密度變化參數(shù)和地基剛度變化參數(shù)。

這里僅考慮系統(tǒng)的橫向位移而忽略縱向位移，由薄板振動(dòng)理論，非均質(zhì)矩形板橫向運(yùn)動(dòng)時(shí)的應(yīng)變能U、動(dòng)能T和外力引起的勢(shì)能V分別可表示如下

(w,yy)2+2(1-ν)(w,xy)2]dxdy

(2)

(3)

(4)

式中：D=Eh3/12(1-ν2)為板的彎曲剛度；ν為泊松比；Ny=-N0(1-γx/a)，N0為x=0處的壓力強(qiáng)度；γ為載荷變化參數(shù)；w(x,y,t)為板的橫向位移，t為時(shí)間。

Hamiltion原理表示如下

(5)

將式(2)～(4)代入式(5)，則變剛度Winkler地基上受壓非均質(zhì)矩形板橫向運(yùn)動(dòng)的控制微分方程為

D(w,xxxx+2w,xxyy+w,yyyy)+2D,x(w,xxx+w,xyy)+

D,xx(w,xx+vw,yy)-Nyw,yy+kw+ρhw,tt=0

(6)

假設(shè)矩形板作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，橫向位移w(x,y,t)可表示為

(7)

A0W″″+A1W?+A2W″+A3W′+A4W=0

(8)

式中：

A0=1，A1=2μ，A2=μ2-2λ2，A3=-2μλ2，

λ=mπa/b，K=a(1-ν2)k0/E0，

至于在X=0和X=1處的邊界條件，其無(wú)量綱形式可分別表示如下

簡(jiǎn)支(S)：

(9)

固定(C)：

(10)

自由(F)：

(11)

2 控制微分方程及其邊界條件的DTM變換

式(8)表示的變剛度Winkler地基上受壓非均質(zhì)矩形板橫向自由振動(dòng)的無(wú)量綱控制微分方程為變系數(shù)常微分方程，結(jié)合邊界條件求其解析解較為困難，這里采用微分變換法(DTM)求解固有頻率、振型以及屈曲臨界載荷。DTM基于Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)來(lái)求解微分方程，使用充分可微的多項(xiàng)式形式作為精確解的近似。經(jīng)DTM變換，可將原微分方程(組)和系統(tǒng)邊界條件轉(zhuǎn)化為由離散函數(shù)構(gòu)成的的代數(shù)方程(組)，非常適合計(jì)算機(jī)編程進(jìn)行求解。對(duì)于原函數(shù)f(x)，根據(jù)函數(shù)的Taylor公式，經(jīng)過(guò)DTM變換后的函數(shù)Fk定義為[10]

(12)

式(12)稱(chēng)為函數(shù)f(x)為x=x0時(shí)的微分變換的正變換式，F(xiàn)k稱(chēng)為f(x)的微分變換形式。

設(shè)函數(shù)f(x)能展開(kāi)為T(mén)alyor級(jí)數(shù)且收斂，則微分變換式可變換成原函數(shù)，其變換式為

(13)

式(13)稱(chēng)為微分變換的反變換形式。由式(12)和式(13)可得

(14)

由式(14)可知，微分變換法基于Talyor級(jí)數(shù)展開(kāi)式，但DTM不需要進(jìn)行函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)的求解。實(shí)際應(yīng)用中，f(x)通過(guò)有限的級(jí)數(shù)表示，式(13)可改寫(xiě)為：

(15)

當(dāng)X0=0時(shí)，式(8)由DTM變換為等價(jià)的代數(shù)方程形式如下：

(16)

(17)

(λ2μ/12)c1+[(2λ2-μ2)/12]c2-(μ/2)c3，

4λ2μ2-λ4+Ω2+λ2μ2ν)/120-

K/10H3]c1+[-(λ2μ+μ3)/30]c2-(μ/2)c3，

…，

(18)

這里，S0，S1，S2，S3是式(16)和(17)通過(guò)迭代r次而得到關(guān)于c0，c1，c2，c3的系數(shù)，c0，c1，c2，c3為待求的未知量。邊界條件由DTM變換如下：

在X=0處，

簡(jiǎn)支(S)邊界條件：

(19)

固定(C)邊界條件：

(20)

自由(F)邊界條件：

(21)

在X=1處，

簡(jiǎn)支(S)邊界條件：

(22)

固定(C)邊界條件：

(23)

自由(F)邊界條件：

(24)

(25)

(26)

令無(wú)量綱固有頻率Ωmn=0，給定參數(shù)可以求出各階屈曲載荷Ncr。Ncr的求解過(guò)程類(lèi)似于Ωmn的求解過(guò)程，同理可得

(27)

在對(duì)邊簡(jiǎn)支對(duì)邊固定(CSCS)、一邊固定三邊簡(jiǎn)支(CSSS)邊界條件下，同理可求出含有未知量無(wú)量綱固有頻率Ωmn以及屈曲載荷Ncr特征方程：

(28)

(29)

在FSSS、FSCS、FSFS邊界條件下，同理可得：

(30)

(31)

由式(26)～(31)，SSSS、SSCS、SSFS、CSSS、CSCS、CSFS、FSSS、FSCS、FSFS邊界條件下的無(wú)量綱固有頻率Ωmn和屈曲載荷Ncr可求出。為控制Ωmn和Ncr的精度，計(jì)算要求滿(mǎn)足

(32)

式中：η1、η2為給定的迭代誤差限，后面計(jì)算中均取η1=η2=0.000 001。

3 計(jì)算結(jié)果及分析

表1為a/b=1，K=0，N0=0，ν=0.3時(shí)SSSS邊界條件下變剛度板前六階無(wú)量綱固有頻率Ωmn，并與何建璋等的辛彈性方法(精確解)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果吻合。表1結(jié)果表明：采用DTM求解矩形板的自由振動(dòng)與屈曲問(wèn)題具有精度高、適用性強(qiáng)的特點(diǎn)。

表1 SSSS邊界條件下變剛度方板自振前六階無(wú)量綱固有頻率Ωmn

表2 不同邊界條件下變剛度Winkler地基上受壓非均質(zhì)方板的無(wú)量綱屈曲臨界載荷

(a)

(b)

(c)

(a)

(b)

(c)

(a)

(b)

(c)

(a)

(b)

(c)

(a)

(b)

(c)

(a)

(b)

(c)

11振型(Ω11=26.872 3) 21振型(Ω21=44.119 9)

31振型(Ω31=79.575 8)

11振型(Ω11=31.490 7) 21振型(Ω21=58.041 1)

31振型(Ω31=35.972 2)

11振型(Ω11=22.456 2)21振型(Ω21=25.752 7)

31振型(Ω31=35.972 2)

Fig.8 The first three modes for compressed non-homogeneous rectangular plates resting on Winkler foundations with variable stiffness for SSSS, CSCS and FSFS boundary conditions

4 結(jié) 論

(4) 本文采用DTM求解變剛度Winkler地基上受壓非均質(zhì)矩形板的自由振動(dòng)與屈曲問(wèn)題原理簡(jiǎn)單，易于編程，具有較高的計(jì)算精度，從而為求解此類(lèi)問(wèn)題提供了一種可供選擇的簡(jiǎn)便有效方法。