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    基于動(dòng)態(tài)等效剛度的平面柔性鉸鏈建模與分析

    2019-02-21 10:35:02應(yīng)玲君趙榮珍馬德福唐小斌
    振動(dòng)與沖擊 2019年3期
    關(guān)鍵詞:虎克柔度鉸鏈

    應(yīng)玲君, 趙榮珍, 馬德福, 唐小斌

    (蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院, 蘭州 730050)

    在剛性機(jī)構(gòu)中,運(yùn)動(dòng)副間隙帶來的運(yùn)動(dòng)軌跡偏離和關(guān)節(jié)碰撞沖擊等問題嚴(yán)重影響著機(jī)構(gòu)的工作性能和使用壽命[1]。而采用柔性鉸鏈替代傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)副的柔順機(jī)構(gòu)則能有效地降低此方面的影響,正確地傳遞運(yùn)動(dòng)和力,還具有:結(jié)構(gòu)輕便,易于一體化加工,能簡化裝配過程;無磨擦,從而能消除磨損、噪聲和振動(dòng);無需潤滑,可避免污染等[2]優(yōu)點(diǎn),因此被廣泛應(yīng)用于微機(jī)電、光學(xué)、航空航天等領(lǐng)域[3-4]。柔順機(jī)構(gòu)還具有回彈特性,在避免間隙影響的同時(shí)也能起到良好的抑振效果[5]。其中,設(shè)計(jì)柔順機(jī)構(gòu)的關(guān)鍵在于設(shè)計(jì)出符合運(yùn)動(dòng)要求的柔性鉸鏈。

    所謂柔性鉸鏈,它是一種利用自身的彈性變形在相連的剛體間傳遞力或運(yùn)動(dòng)的彈性元件[6]。當(dāng)前柔性鉸鏈的設(shè)計(jì)多采用剛體代替綜合法[7],即先將相對復(fù)雜的剛性鉸鏈分解成簡單的運(yùn)動(dòng)副,再用具有相似功能的柔性片段替換剛性構(gòu)件,最后將各柔性片段疊加整合成新的柔性鉸鏈。針對這種傳統(tǒng)柔性鉸鏈,Rad等[8-9]通過在剛體間架設(shè)3個(gè)柔性轉(zhuǎn)動(dòng)副滿足了三自由度柔性球鉸的要求,并推導(dǎo)了鉸鏈的剛度計(jì)算方程;Liu等[10]則對柔性轉(zhuǎn)動(dòng)副的切口結(jié)構(gòu)進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化,基于去除材料的方法提高了轉(zhuǎn)動(dòng)性能。而平面溢出鉸鏈[11](Lamina Emergent torsional,LET)作為一種由二維金屬薄板平面加工而成,實(shí)現(xiàn)三維運(yùn)動(dòng)的新型柔性鉸鏈,在擁有傳統(tǒng)柔性鉸鏈優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)進(jìn)一步簡化了其結(jié)構(gòu)。Wilding等[12]在LET鉸鏈內(nèi)部加入一個(gè)反向彎曲的次級(jí)鉸鏈,構(gòu)成了一個(gè)體積小巧但能承受軸向力的新轉(zhuǎn)動(dòng)副;邱麗芳等[13]則展示了LET鉸鏈易于變形的特點(diǎn)并對比了兩種等效剛度分析方法的適用范圍;基于LET鉸鏈的大變形特性,Qiu等[14]和Fowler等[3]分別以兩種不同的思路進(jìn)一步擴(kuò)大了鉸鏈工作空間:Qiu將三個(gè)LET鉸鏈進(jìn)行了串聯(lián),在實(shí)現(xiàn)了大范圍轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)降低了最高應(yīng)力;Fowler則將16個(gè)柔性薄片進(jìn)行了復(fù)雜的并聯(lián)整合,達(dá)到了90°側(cè)向彎曲的要求并分析了其配置參數(shù)對轉(zhuǎn)角范圍的影響。

    目前新型柔性鉸鏈的研究主要集中在單一轉(zhuǎn)動(dòng)副的實(shí)現(xiàn)及其結(jié)構(gòu)性能優(yōu)化,但對如虎克鉸等多自由度的運(yùn)動(dòng)副仍采用“分解-替換-整合”的傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法,即將多個(gè)柔性轉(zhuǎn)動(dòng)副物理疊加,結(jié)構(gòu)臃腫復(fù)雜,尚未有構(gòu)型輕便的多自由度鉸鏈一體化解決方案。為此,本文基于LET柔性鉸鏈的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),欲進(jìn)一步擴(kuò)展其運(yùn)動(dòng)形式,提出一種能實(shí)現(xiàn)虎克鉸功能的平面柔性鉸鏈,建立動(dòng)態(tài)的鉸鏈等效剛度模型,并根據(jù)其剛度變化特性進(jìn)行實(shí)例仿真驗(yàn)證。

    1 平面柔性鉸鏈設(shè)計(jì)及其自由度分析

    1.1 虎克鉸結(jié)構(gòu)分析

    傳統(tǒng)的虎克鉸如圖1所示,它由一個(gè)十字軸和兩個(gè)叉形鉸鏈座組成。叉形鉸鏈座繞著十字軸實(shí)現(xiàn)空間兩自由度的相對轉(zhuǎn)動(dòng)。其中,十字軸受到來自叉形鉸鏈座的2個(gè)徑向和2個(gè)軸向的約束。這8個(gè)接觸副(虛約束含4個(gè)接觸副)在運(yùn)動(dòng)中互相摩擦磨損,其產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)副間隙則會(huì)嚴(yán)重地影響鉸鏈運(yùn)動(dòng)傳遞的準(zhǔn)確性。

    (a) 轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)1(b) 轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)2

    圖1 虎克鉸

    Fig.1 Hooker hinge

    1.2 平面柔性鉸鏈設(shè)計(jì)

    基于變形LET鉸鏈[13]的特點(diǎn),本研究所建立的平面柔性鉸鏈如圖2所示,鉸鏈上下矩形部分用于相鄰構(gòu)件的連接,為剛性區(qū)域,中間的環(huán)形部分產(chǎn)生變形,為柔性區(qū)域。如圖2(a)所示,柔性區(qū)域繞轉(zhuǎn)動(dòng)中心彎折,剛性區(qū)域隨之轉(zhuǎn)動(dòng)(等效于圖1(a)的轉(zhuǎn)動(dòng))。LET鉸鏈通常只有這一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度[12-14],而本文建立的平面柔性鉸鏈因環(huán)形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),運(yùn)動(dòng)形式可進(jìn)一步擴(kuò)展為圖2(b)形式:當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)中心繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角時(shí),鉸鏈發(fā)生偏轉(zhuǎn),剛性區(qū)域隨之側(cè)傾(等效于圖1(b)的運(yùn)動(dòng))。同時(shí),環(huán)形結(jié)構(gòu)保證了鉸鏈各個(gè)偏轉(zhuǎn)方向上的剛度不會(huì)存在較大差異,且結(jié)構(gòu)簡單便于加工制造。

    (a) 彎折狀態(tài)(b) 偏轉(zhuǎn)狀態(tài)

    圖2 平面柔性鉸鏈

    Fig.2 Plane flexible hinge

    1.3 平面柔性鉸鏈自由度分析

    為驗(yàn)證圖2所示鉸鏈的運(yùn)動(dòng)形式,探究其變形性能,現(xiàn)對鉸鏈的自由度進(jìn)行分析。鉸鏈各參數(shù)如圖3所示。

    為便于分析,將平面柔性鉸鏈視作梁。故當(dāng)坐標(biāo)系處于平面柔性鉸鏈質(zhì)心時(shí),鉸鏈柔度矩陣λ可近似為等尺寸梁的柔度矩陣:

    (1)

    現(xiàn)給定參數(shù)如下:b=50 mm,l=275 mm,R=87.5 mm,r=60 mm,厚度t=1 mm。由于鉸鏈工作主要依靠彈性變形,故材料選用彈性極限、疲勞極限較高且彈性遲滯較小的鈹青銅,彈性模量E=128 GPa,泊松比μ=0.35,切變模量G=E/[2(1+μ)]=47.41 GPa。則可以得到各個(gè)柔度間的比值關(guān)系:

    (2)

    (3)

    理論上柔性體具有無限個(gè)自由度。而從式(2)、式(3)所示的柔度比值關(guān)系中我們可以得出:在z方向上的平動(dòng)柔度λtz遠(yuǎn)大于x和y方向上的平動(dòng)柔度λtx和λty;繞著x軸和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)柔度λθx和λθy遠(yuǎn)大于繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)柔度λθz。表明這三個(gè)方向的自由度具有更大的自由程度,即該平面柔性鉸鏈主要具有tz、θx和θy三個(gè)自由度。而z方向的平動(dòng)tz如圖3所示,實(shí)際上是由鉸鏈的柔性區(qū)域在yz平面內(nèi)的彎曲微變形引起的,即tz由θx引發(fā),鉸鏈不具有傳統(tǒng)意義上的z方向平動(dòng)自由度。因此只需通過θx和θy兩個(gè)方向的組合變形,鉸鏈即可實(shí)現(xiàn)彎折和偏轉(zhuǎn),滿足虎克鉸兩自由度的要求。

    2 平面柔性鉸鏈的動(dòng)態(tài)等效剛度分析

    在1.3小節(jié)的分析中,柔度、慣性矩等相關(guān)計(jì)算均采用了簡化算法,并未詳解。為進(jìn)一步揭示鉸鏈的變形特性,需對鉸鏈不同位姿下的動(dòng)態(tài)等效剛度進(jìn)行更為精確的分析計(jì)算。

    2.1 彎折時(shí)的等效剛度計(jì)算方法

    假設(shè)柔性鉸鏈在力矩T下發(fā)生總計(jì)角度為δ的彎折。如圖3所示,現(xiàn)將鉸鏈沿y軸方向劃分成n個(gè)柔性微分片段dy,由于圓環(huán)中心圓孔的隔斷,微分片段可分為連續(xù)的dy1和分離的兩段并聯(lián)關(guān)系的dy2兩類,每個(gè)微分片段在力矩T下分別發(fā)生相應(yīng)彎折,則δ為兩類所有片段彎折角度之和:

    (4)

    而力矩轉(zhuǎn)角關(guān)系又可表示為T=kfδ,則此時(shí)平面柔性鉸鏈的等效剛度為:

    (5)

    2.2 偏轉(zhuǎn)時(shí)的等效剛度計(jì)算方法

    圖4所示是用于計(jì)算偏轉(zhuǎn)時(shí)等效剛度的分析模型,當(dāng)柔性鉸鏈偏轉(zhuǎn)θ角時(shí),由于鉸鏈中的矩形部分為剛性

    圖4 偏轉(zhuǎn)時(shí)的柔性鉸鏈

    區(qū)域,從而使柔性區(qū)域(圓環(huán))中陰影部分也不參與變形,即鉸鏈形成“剛性-柔性-剛性”的斜向串聯(lián)式結(jié)構(gòu)。同時(shí)柔性區(qū)域的面積隨著偏角θ的增大而相應(yīng)的減少。

    按照2.1小節(jié)中的思路,沿轉(zhuǎn)軸中垂線方向劃分出兩類微分片段,則圖4模型的等效剛度分為如下兩種情況:

    (6)

    平面柔性鉸鏈的等效剛度為:

    (7)

    表1 五組平面柔性鉸鏈參數(shù)表

    對新的p點(diǎn)重新擬合的結(jié)果如圖6所示,可以發(fā)現(xiàn)五組曲線完全重合。這表明鉸鏈的比例系數(shù)p與其偏轉(zhuǎn)程度(偏角百分比pct)的關(guān)系存在一定共性,且不受

    圖5 偏角與比例系數(shù)的關(guān)系曲線

    圖6 偏角百分比與比例系數(shù)的關(guān)系曲線

    (8)

    由式(5),(7),(8)可得平面柔性鉸鏈的動(dòng)態(tài)等效剛度計(jì)算公式為:

    (9)

    2.3 有限元仿真驗(yàn)證

    為便于分析,去除各轉(zhuǎn)角模型相應(yīng)的剛性區(qū)域。對有限元模型連接剛性區(qū)域的兩個(gè)端面分別施加10 N·m/rad的轉(zhuǎn)矩,兩端各產(chǎn)生轉(zhuǎn)角θsim。如圖7所示為θ=10°時(shí)的z方向變形云圖,通過查看具體變形數(shù)值可計(jì)算出鉸鏈兩端的斜率,進(jìn)而得到鉸鏈的轉(zhuǎn)角數(shù)值。據(jù)此方法可得到不同偏轉(zhuǎn)角度下等效旋轉(zhuǎn)剛度的仿真值。同時(shí)通過式(5)和式(7)可得到相應(yīng)的理論計(jì)算值。兩種途徑得到的等效剛度值及其對比情況,如表2所示。

    表2不同偏角下鉸鏈等效剛度的理論值和仿真值及其誤差

    Tab.2Thetheoreticalandsimulationvaluesoftheequivalentstiffnessofhingesunderdifferentdeflectionanglesandtheirerrors

    偏角θ/(°)理論值kf/(N·m·rad-1)仿真值ksim/(N·m·rad-1)誤差/%06.556.793.64107.337.471.79208.338.31-0.31309.659.59-0.654011.4611.651.69

    圖7 偏角θ=10°時(shí)鉸鏈的變形云圖

    由表2可知:在不同偏角下,鉸鏈等效剛度的理論值與仿真值基本一致,其相對誤差最大不超過3.64%,證明了剛度計(jì)算模型的正確性。

    同理,可求得在極限偏角θ2=70 °時(shí)的最大工作應(yīng)力為458.63 MPa,低于材料屈服極限1 035 MPa的一半,因而不會(huì)發(fā)生塑性變形。

    3 平面柔性鉸鏈的動(dòng)態(tài)剛度特性分析

    基于所建立的平面柔性鉸鏈動(dòng)態(tài)等效剛度計(jì)算模型,若要設(shè)計(jì)出滿足性能要求的柔性鉸鏈,仍需研究動(dòng)態(tài)等效剛度的變化特點(diǎn)。但由式(9)較難直觀地看出各參數(shù)與等效剛度之間的關(guān)系,由此我們對各參數(shù)逐一進(jìn)行分析,進(jìn)而為平面柔性鉸鏈的應(yīng)用提供理論依據(jù)。

    3.1 鉸鏈結(jié)構(gòu)參數(shù)對等效剛度變化的影響分析

    現(xiàn)取θ=0時(shí)進(jìn)行剛度分析,如圖8(a),(b),(c),逐一改變各結(jié)構(gòu)參數(shù)值,可以得到平面柔性鉸鏈各參數(shù)和其等效剛度之間的關(guān)系,即:隨著鉸鏈圓環(huán)外徑R、寬度b、厚度t的增大,內(nèi)徑r的減少,鉸鏈等效剛度呈現(xiàn)上升趨勢。其中,鉸鏈等效剛度對厚度t的變化最為敏感,而矩形部分寬度b與剛度值關(guān)系的非線性程度最弱。

    (a) 等效剛度與b的關(guān)系圖(b) 等效剛度與t的關(guān)系圖

    (c) 等效剛度與r、R的關(guān)系圖(d) 等效剛度與θ的關(guān)系圖

    圖8 鉸鏈參數(shù)b、t、R、r及偏角θ與等效剛度的關(guān)系圖

    Fig.8 The relationship between the hinge parametersb,t,R,r,θand the equivalent stiffness

    3.2 鉸鏈偏角θ對等效剛度變化的影響分析

    當(dāng)柔性鉸鏈各結(jié)構(gòu)參數(shù)固定時(shí),如圖8(d)所示,我們可以得到鉸鏈偏角與其等效剛度之間的關(guān)系:當(dāng)偏角小于極限偏角的70%時(shí),隨著偏角的增大,等效剛度略微增大,且非線性程度較弱,基本呈線性關(guān)系;當(dāng)偏角達(dá)到極限偏角的80%時(shí),曲線非線性程度逐步增大;而90%以后則因接近鉸鏈極限偏角,剛度值劇增,實(shí)現(xiàn)了鉸鏈極限位姿的截止作用。

    基于上述平面柔性鉸鏈的動(dòng)態(tài)剛度變化特點(diǎn),對鉸鏈的剛度應(yīng)用特性進(jìn)行分析。當(dāng)鉸鏈小范圍偏轉(zhuǎn)時(shí),剛度基本不變,可實(shí)現(xiàn)虎克鉸運(yùn)動(dòng)的傳遞;當(dāng)含該鉸鏈的實(shí)際機(jī)構(gòu)位姿接近極限時(shí),鉸鏈剛度急劇增大,可對機(jī)構(gòu)整體運(yùn)動(dòng)發(fā)揮截止作用;而當(dāng)實(shí)際機(jī)構(gòu)中同時(shí)采用多個(gè)平面柔性鉸鏈時(shí),因機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中位姿不斷變化,各平面柔性鉸鏈偏角θ值呈現(xiàn)持續(xù)性變化,導(dǎo)致各鉸鏈等效剛度值也持續(xù)變化,故機(jī)構(gòu)整體剛度呈現(xiàn)出一定的非線性,而這種特性有助于強(qiáng)化被動(dòng)隔振性能[16],在一定程度上能夠拓寬平面柔性鉸鏈的應(yīng)用范圍。

    4 應(yīng)用實(shí)例驗(yàn)證

    為驗(yàn)證平面柔性鉸鏈的應(yīng)用可行性及隔振性能,在本研究中我們將其引入到圖9所示的6DOF并聯(lián)隔振平臺(tái)中,替換原來的6個(gè)虎克鉸,形成由上平臺(tái)、球鉸、帶滑動(dòng)副的支腿、平面柔性鉸鏈、下平臺(tái)組成的新隔振平臺(tái)。

    圖9 引入柔性鉸鏈的6DOF并聯(lián)隔振平臺(tái)

    4.1 平面柔性鉸鏈的應(yīng)用驗(yàn)證

    在下平臺(tái)質(zhì)心持續(xù)施加繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)激勵(lì)RotX=3d*sin(PI*110*time)、繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)激勵(lì)RotY=2d*sin(PI*110*time)以模擬振動(dòng)輸入,在ADAMS中對新隔振平臺(tái)進(jìn)行剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)仿真分析。其中,平面柔性鉸鏈?zhǔn)窃贏NSYS 15.0中劃分網(wǎng)格后導(dǎo)入的mnf柔性體。下平臺(tái)的輸入由新隔振平臺(tái)的被動(dòng)隔振作用輸出到上平臺(tái)。定義上平臺(tái)質(zhì)心角加速度與下平臺(tái)質(zhì)心角加速度的比值為振動(dòng)傳遞率η。取步長為0.01 s,仿真時(shí)間2 s。

    得到的新隔振平臺(tái)傳遞率變化如圖10。平臺(tái)的傳遞率呈周期性小幅度波動(dòng),基本穩(wěn)定在0.1附近,最高不超過0.3。由傳遞率定義可知,當(dāng)η<1時(shí)即具有隔振效果,故新平臺(tái)能實(shí)現(xiàn)隔振功能要求,即該平面柔性鉸鏈滿足虎克鉸的功能要求。

    圖10 采用平面柔性鉸鏈的新隔振平臺(tái)傳遞率

    4.2 與含間隙虎克鉸的隔振性能對比驗(yàn)證

    對原隔振平臺(tái)中6個(gè)虎克鉸十字軸中的12個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副添加0.02 mm徑向間隙與0.06 mm軸向間隙,其他參數(shù)和施加的激勵(lì)與4.1小節(jié)中一致,以對比分析兩種鉸鏈對運(yùn)動(dòng)傳遞的影響區(qū)別。從圖11可以看出,加入間隙的原隔振平臺(tái)的傳遞率η在1附近大幅度振蕩,振蕩頻率較高,且有較多峰值已遠(yuǎn)大于1,喪失了隔振效果。即含間隙的虎克鉸嚴(yán)重影響了運(yùn)動(dòng)傳遞的準(zhǔn)確性。

    圖11 采用含間隙虎克鉸的原隔振平臺(tái)傳遞率

    對比結(jié)果表明:平面柔性鉸鏈在滿足虎克鉸功能要求的同時(shí)能有效避免鉸鏈間隙帶來的影響,保證了運(yùn)動(dòng)的正確傳遞,實(shí)現(xiàn)較好的被動(dòng)隔振效果。

    5 結(jié) 論

    剛性鉸鏈的運(yùn)動(dòng)副間隙影響著機(jī)構(gòu)的工作性能與壽命。而傳統(tǒng)的柔性鉸鏈多為單一轉(zhuǎn)動(dòng)副,對于多自由度柔性鉸鏈一般存在著結(jié)構(gòu)臃腫復(fù)雜的問題,為此,本研究提出一種適用于柔順機(jī)構(gòu)的等效虎克鉸運(yùn)動(dòng)的平面柔性鉸鏈,基于動(dòng)態(tài)的等效剛度對鉸鏈進(jìn)行了理論建模和分析。得到的結(jié)論如下:

    (1) 平面柔性鉸鏈六個(gè)柔度值的對比表明:鉸鏈的變形方式滿足虎克鉸的自由度要求,能極大地簡化結(jié)構(gòu),為虎克鉸提供了一體化的柔性方案,也為多自由度柔性鉸鏈的設(shè)計(jì)提供了新的思路。

    (2) 所建立的鉸鏈動(dòng)態(tài)等效剛度計(jì)算模型能正確地展現(xiàn)鉸鏈剛度與姿態(tài)之間的關(guān)系。

    (3) 不同參數(shù)鉸鏈在大偏角下的剛度變化情況存在共性,根據(jù)所得規(guī)律擬合出非線性剛度的近似理論計(jì)算公式。

    (4) 引入平面柔性鉸鏈的6DOF并聯(lián)平臺(tái)工作性能優(yōu)于含間隙的原平臺(tái),即:平面柔性鉸鏈在滿足虎克鉸功能性要求的同時(shí)能有效避免虎克鉸間隙引起的振動(dòng)傳遞率突變問題。

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