基于變長度單元ANCF的軸向伸展懸臂梁振動分析

王忠民， 吳力國

(西安理工大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院， 西安 710048)

在工程實際中，軸向伸展懸臂梁系統(tǒng)被廣泛的應(yīng)用，例如裝載車輛的伸縮構(gòu)件，可伸縮的機翼，伸縮機器人操縱器，航天飛行器的伸縮附件等。這類系統(tǒng)的動力學(xué)方程的特點是時變和非線性的，并且系統(tǒng)的伸展運動和彈性大變形運動相互耦合。為了確保這些結(jié)構(gòu)能夠在穩(wěn)定安全的工作條件下正常運行，對其動力學(xué)特性的研究至關(guān)重要。

1992年，Sivakumar等[1]分析了端部帶有集中質(zhì)量的伸展回縮懸臂梁的橫向振動及其振動反饋控制問題。Stylianou等[2-3]采用了單元數(shù)量和節(jié)點不變、單元長度隨著時間的改變的有限單元法分析了伸展懸臂梁的橫向振動和穩(wěn)定性問題，得出了梁在伸展過程中彈性振動穩(wěn)定，但在回縮過程中不穩(wěn)定。Al-Bedoor等[4]提出了一種改進的有限單元法，將軸向運動懸臂梁分為兩段：支撐段假定成剛性體，懸臂段采用柔性體。將支撐體和懸臂段之間用一個變剛度的單元聯(lián)接，并用有限單元法對懸臂段進行離散，得到系統(tǒng)的動力學(xué)方程。這樣梁單元的數(shù)目和單元的長度均不改變，僅僅改變聯(lián)接處的單元的剛度，但其過程非常復(fù)雜。Piovan等[5]采用有限單元法分析了沿軸向伸展和回縮的環(huán)形截面的功能梯度材料梁的振動問題，得到了在不同的伸展速率和不同的梯度指標(biāo)下系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)數(shù)值解。Rogers等[6]采用了有限單元法分析了軸向運動為伸展和回縮彈性梁的橫向振動問題，其方法是不改變梁單元的長度，梁單元的數(shù)量和節(jié)點隨著時間改變而改變。Wang等[7]運用哈密頓原理研究了伸展黏彈性梁的橫向彈性振動和軸向移動的耦合問題。Chang等[8]基于Rayleigh梁理論和Floquet理論，研究了懸臂梁在勻速運動和伸展回縮的周期運動運動下的橫向振動和動力穩(wěn)定性。羅炳華等[9]建立了軸向伸展梁受移動載荷作用的有限元模型，提出了描述運動梁節(jié)點約束狀態(tài)的節(jié)點生死方法，計算了火炮炮口點處的橫向動力響應(yīng)。Downer等[10]提出了用變長度的有限元方法分析伸展梁的橫向振動。Park等[11]根據(jù)von Karman非線性應(yīng)變理論，推導(dǎo)了縱向和橫向相互耦合的動力學(xué)方程，分析了當(dāng)懸臂梁伸長或者回縮的過程中，其縱向和橫向的振動響應(yīng)。Yang等[12]分析了軸向回縮懸臂梁系統(tǒng)在回縮過程中的能量和等離子絕熱不變量特性。趙亮等[13]應(yīng)用廣義哈密爾頓原理及假設(shè)模態(tài)法，導(dǎo)出了軸向運動功能梯度懸臂梁的動力學(xué)方程，分析了梁在伸展、收縮時的運動特性。楊鑫等[14]研究了兩端簡支不可移、軸向運動梁在熱沖擊作用下的橫向振動特性。譚霞等[15]研究了外部激勵作用下，超臨界軸向運動Timoshanko梁橫向非線性振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

伸展懸臂梁系統(tǒng)中含有剛體運動和變形運動，本文采用Shabana提出的絕對節(jié)點坐標(biāo)法[16](Absolute Nodal Coordinate Formulation，ANCF)，利用該法便于處理剛?cè)狁詈洗笞冃蝿恿W(xué)問題的優(yōu)點，建立了一種變長度的Euler-Bernoulli梁單元模型，并從大變形下準(zhǔn)確的曲率和Green-Lagrangian正應(yīng)變出發(fā)，基于考慮慣性力的虛功原理，得到了軸向伸展懸臂梁的單元非線性動力學(xué)方程組，以及組裝后的伸展懸臂梁系統(tǒng)的非線性動力學(xué)方程組。最后，通過算例分析了材料特性參數(shù)(彈性模量、密度)和不同的伸展規(guī)律(勻速伸展、勻加速伸展)對伸展懸臂梁系統(tǒng)的末端非線性撓度響應(yīng)的影響。

1 變長度絕對節(jié)點坐標(biāo)法的單元描述

(1)

式中(·)=d()/dt。在圖2中，對第i單元建立其自身的隨體坐標(biāo)系oxeye，任意一點p相對于oxeye和OXY的坐標(biāo)分別為xe和X，單元i左端部相對于OXY坐標(biāo)原點O的長度為Li(t)，有

Xi=Li+xe

(2)

點P相對于絕對坐標(biāo)系在X方向上的速度為

(3)

(4)

圖1 初始瞬時的軸向伸展懸臂梁

圖2 任意瞬時的軸向伸展懸臂梁

圖3 變長度的柔性梁單元

(5)

[e4i-3e4i-2e4i-1e4ie4i+1…e4i+2e4i+3e4i+4]

(6a)

Φ=[φ1(ξ)I2×2φ2(ξ,t)I2×2φ3(ξ)I2×2×

φ4(ξ,t)I2×2]

(6b)

(6c)

(6d)

2 變長度梁單元的非線性動力學(xué)方程

2.1 慣性力的虛功

值得注意的是，與傳統(tǒng)的絕對節(jié)點坐標(biāo)法不同，變長度單元的形函數(shù)矩陣與時間有關(guān)，即是時變的。將式(5)對時間t求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，得

(7)

(8)

式中：

(9a)

(9b)

(9c)

(9d)

(9e)

(10)

式中：

(11a)

(11b)

(11c)

2.2 彈性力的虛功

設(shè)梁單元的材料均勻和各向同性，根據(jù)Euler-Bernoulli梁理論和幾何非線性理論，將梁的彈性力分為軸向應(yīng)變產(chǎn)生的和彎曲應(yīng)變產(chǎn)生的兩部分。

梁單元的軸向Green-Lagrangian正應(yīng)變?yōu)?/p>

(12)

梁單元由軸向產(chǎn)生的彈性力所做的虛功為

(13)

式中:

(14)

梁單元的準(zhǔn)確的大變形曲率為

(15)

梁單元由彎曲應(yīng)變產(chǎn)生的彈性力所做的虛功為

(16)

式中:

(17)

3.3 外力的虛功

在絕對坐標(biāo)系下，梁單元上任意一點的均布體力向量為F=[0 -ρg]T，重力(體力)做的虛功為

(18)

梁單元受到的廣義均布重力的表達式為

(19)

2.4 變長度伸展梁單元無約束非線性動力學(xué)方程

根據(jù)彈性體的虛功原理知，變長度梁單元的慣性力、彈性力、廣義外力所做的虛功有

(20)

把式(10)、(13)、(16)和(18)代入式(20)，得到變長度伸展梁單元的無約束非線性動力學(xué)微分方程組

(21)

3 伸展懸臂梁系統(tǒng)的動力學(xué)方程組

為了得到伸展懸臂梁系統(tǒng)的動力學(xué)方程組，需要對劃分的變長度梁單元進行組裝。若將伸展懸臂梁劃分為了n個單元，那么總共包含n+1個節(jié)點，每個節(jié)點包含四個廣義位移分量。令u為伸展懸臂梁的整體位移列陣

u=[e1e2e3e4…e4n+1e4n+2e4n+3e4n+4]T

(22)

(23)

伸展懸臂梁上的慣性力做的總虛功為

(24)

式中:

(25a)

(25b)

(25c)

同理得到

(26)

(27)

組裝后的伸展懸臂梁系統(tǒng)的非線性動力學(xué)方程組為

(28)

該系統(tǒng)的約束方程可寫為P(u,t)=0，即e1=e2=0,e3=1,e4=0。引入拉格朗日乘子λ，伸展懸臂梁系統(tǒng)的非線性動力學(xué)方程組為

(29)

式中：Pu為約束的Jacobi矩陣。

方程(29)的系數(shù)方陣中包含有時間和u，所以伸展懸臂梁系統(tǒng)的動力學(xué)方程是時變的非線性動力學(xué)方程，或化為關(guān)于時間的微分代數(shù)方程組。利用龍格—庫塔法求解時變系數(shù)的微分代數(shù)方程組。

4 數(shù)值計算與分析

圖4 勻加速伸展懸臂梁末端撓度響應(yīng)

4.1 材料特性參數(shù)對勻速伸展懸臂梁末端撓度響應(yīng)的影響

懸臂梁作伸展運動時，伸展長度遵循一定的規(guī)律，即可以按著勻速運動的規(guī)律伸展，也可以按著加速、指數(shù)、正弦或其他規(guī)律伸展。由于系統(tǒng)的動態(tài)特性受很多方面的影響，下面分析材料的性能參數(shù)(密度、彈性模量)和伸展規(guī)律(勻速、勻加速)對伸展懸臂梁末端非線性撓度響應(yīng)的影響。

參數(shù)選取為：橫截面面積A=1.6×10-3m2，慣性矩I=2.133×10-7m4，勻速伸展規(guī)律為L=L0+vt=0.9+0.4t(m)，初始時刻末端的撓度值為0.009 6 m。

在彈性模量E=1.4×109Pa下，分別選取材料質(zhì)量密度1 770 kg/m3和1 040 kg/m3，計算的勻速伸展懸臂梁末端撓度響應(yīng)如圖5所示。由圖可知，在伸展時間4 s內(nèi)，材料密度較大的伸展懸臂梁末端撓度最大值稍大一些，但密度較小的伸展懸臂梁末端響應(yīng)的振動頻率較大，即伸展結(jié)構(gòu)越輕，將使伸展懸臂梁的末端橫向振動頻率增大。

圖5 材料密度對勻速伸展懸臂梁末端撓度響應(yīng)的影響

在材料密度ρ=1 770 kg/m3下，分別選取彈性模量E=8.3×109Pa和E=1.4×109Pa，圖6給出了彈性模量對勻速伸展懸臂梁末端撓度響應(yīng)的影響。從圖可以看出，在伸展時間4 s內(nèi)，兩者的末端撓度最大值相差不大，但彈性模量較大的伸展懸臂梁末端撓度的振動頻率較大，即增大材料的彈性模量，相當(dāng)于增大了系統(tǒng)的剛度，故頻率增加。

圖6 彈性模量對勻速伸展懸臂梁末端撓度響應(yīng)的影響

4.2 速度和加速度對伸展懸臂梁末端撓度響應(yīng)的影響

選取質(zhì)量密度ρ=1 770 kg/m3，彈性模量E=1.4×109Pa。懸臂梁以v=0.2 m/s和v=0.4 m/s的常速度勻速伸展，末端非線性撓度響應(yīng)如圖7所示。從圖可以看出，在伸展時間4 s內(nèi)，較大的伸展速度導(dǎo)致懸臂梁的末端最大撓度值較大，但振動頻率小于低速伸展懸臂梁的振動頻率。所以，當(dāng)懸臂梁以不同的速度伸展相同長度時，低速伸展的懸臂梁，其末端橫向振動的頻率較大。

對勻加速伸展的懸臂梁，設(shè)其伸展規(guī)律為L(t)=0.9+0.5at2，即初始長度為0.9 m，以加速度為a作勻加速伸展。伸展加速度為a=0.1 m/s和a=0.2 m/s時得到伸展懸臂梁的末端撓度響應(yīng)如圖8所示。由圖可知，在初始瞬時范圍內(nèi)，以不同加速度伸展的懸臂梁的末端撓度響應(yīng)幾乎相差不大，但隨著時間的增加，懸臂梁的末端撓度值都在增大，且較大加速度伸展的懸臂梁末端撓度大于較小加速度撓度值。較大加速度伸展的懸臂梁的末端振動頻率要小于較小加速度伸展的懸臂梁的末端振動頻率。

圖7 不同勻速伸展速度下懸臂梁末端撓度響應(yīng)

懸臂梁分別以速度為v=0.4 m/s勻速伸展和以加速度為a=0.2 m/s2勻加速伸展的末端撓度響應(yīng)如圖9所示，在t=4 s時，懸臂段長度均為2.5 m，前者的在4 s伸展時間內(nèi)，懸臂梁的末端最大撓度較大，但懸臂梁勻速伸展時其末端的振動頻率要小于勻加速運動規(guī)律伸展的情況。

圖8 不同加速伸展時懸臂梁末端撓度響應(yīng)

圖9 不同伸展規(guī)律下伸展懸臂梁末端撓度響應(yīng)

5 結(jié) 語

(1) 采用變長度單元的ANCF建立了伸展懸臂梁剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的非線性動力學(xué)模型，與已有算例的結(jié)果比較說明了該法的可行性和有效性。

(2) 在勻速伸展條件下，彈性模量和質(zhì)量密度均對伸展懸臂梁的末端撓度響應(yīng)有影響，當(dāng)材料的彈性模量越大和材料較輕時，均使得伸展懸臂梁的末端振動頻率增大。

(3) 對勻速伸展的懸臂梁，較大的伸展速度導(dǎo)致懸臂梁的末端最大撓度值較大，但振動頻率小于低速伸展懸臂梁的振動頻率。對勻加速伸展的懸臂梁，較大加速度伸展的懸臂梁末端撓度大于較小加速度撓度值，但前者的振動頻率要小于后者。