“真學課堂”的“學”與“教”
——以“最小公倍數(shù)”為例

文/佛山市南海外國語學校

如何在數(shù)學課堂中堅持“以生為本”，讓學生的合作、質(zhì)疑、表達和思考推動教學的進程，充分發(fā)揮學生在課堂上的主體地位，在“真學”中取得“獲得感”呢？下面就以筆者執(zhí)教的“最小公倍數(shù)”為例談談自己的思考。

一、課前質(zhì)疑：由舊知引出新知

用數(shù)學的眼光發(fā)現(xiàn)問題，聚焦核心問題數(shù)學地提出問題是學生學習數(shù)學必備的思維習慣和學習方法。

課開始，教師以一個游戲引入：

(1)以1開始報數(shù)，數(shù)到3的倍數(shù)的同學起立。

(2)以1開始報數(shù)，數(shù)到4的倍數(shù)的同學起立。

師：游戲做完了，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：有幾個同學起立了兩次。

師：他們?yōu)槭裁雌鹆⒘藘纱文兀?/p>

眾生：(齊聲地)因為他們報的數(shù)既是3的倍數(shù)，又是4的倍數(shù)。

12和24既是3的倍數(shù)又是4的倍數(shù)，那我們該給他們起個什么名字好呢？

眾生：(齊聲地)公倍數(shù)。

師：猜一猜，今天我們要學習什么呢？

生：最大公倍數(shù) 最小公倍數(shù)。(同學們的答案不盡相同)

師：我聽到了兩種聲音，那到底是最大公倍數(shù)還是最小公倍數(shù)。

生：最小公倍數(shù)。(這時候有些同學意識到了誤區(qū),立刻改正)

師：為什么不是最大公倍數(shù)？(裝作不解的反問)

生：因為兩個數(shù)沒有最大公倍數(shù)。(一個學生敏銳的回答)

師：為什么沒有最大公倍數(shù)？(趙老師緊追其問)

生：自然數(shù)的倍數(shù)是無限的所以他們的公倍數(shù)也是無限的。(學生得意的笑著回答)

師：哈哈，真是太好了孩子們。就讓我們帶著這樣的問題思考，走近今天的學習。

(板書課題：最小公倍數(shù)。)

師：看到這個課題，你最想知道什么或者是最想研究什么?

生1：可不可以用學習最大公因數(shù)的方法來學習求最小公倍數(shù)。

生2：怎樣求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)？

生3：公倍數(shù)和公因數(shù)有什么不同?

課前質(zhì)疑是自主學習的開始，可以讓學生迅速進入自主的學習狀態(tài)。在本節(jié)課中，筆者以一個報數(shù)的小游戲作為“導火索”讓學生基于既有的知識庫，發(fā)現(xiàn)問題提出疑問。學生提出的所有問題都是對比、聯(lián)想、遷移的思維過程的外現(xiàn)，一方面是對舊知的回顧，另一方面也是對新知的推測，由舊知引出新知主動建構(gòu)知識框架。課前質(zhì)疑的習慣，讓學生的問題意識、探究意識、自主意識都由自發(fā)走向自覺，對學生終身學習能力和創(chuàng)新思維的培養(yǎng)都有重要的意義。

二、深度對話：讓思維走向深刻

學習方法的習得不是一種外在的過程，而是一種內(nèi)在的交流對話、質(zhì)疑、反思過程中通過師生之間、生生之間生命的彼此沖突、遭遇、交融中，獲得培植和發(fā)展的過程。

當學生通過自主探究研究出什么是公倍數(shù)，什么是最小公倍數(shù)，在交流用篩選法中展開了如下辯論：

生1：我先列舉出6的倍數(shù)有6、12、18、24、48……，從中篩選出8的倍數(shù)有24和48,所以他們的公倍數(shù)就是24和48

生2質(zhì)疑：老師，我們能不能從8的倍數(shù)中篩選出6的倍數(shù)呢？

師：好，對比兩種篩選法，你認為那種簡潔(展開辯論)

生3：我認為該列舉6的倍數(shù)。如果是8的話，不如6這樣簡便。

生4：我認為列舉8的倍數(shù)，從中篩選6的倍數(shù)，這樣簡潔些。我們在列舉最大公因數(shù)時，我們選小的數(shù)列舉，而6和8的倍數(shù)都是無限的。所以我覺得列舉8的倍數(shù)。

(此時課堂上歡快的氣氛達到了高潮，每個人都想發(fā)言，都躍躍欲試的想報表達自己的觀點)

師：由此在選擇算法時，對你們有什么啟示？

生5：所以我們在選擇算法時，要選擇最簡便的算法。這其實和最大公因數(shù)的學習形成了一種互逆的思考路線。

師：觀察對比這三種方法，最小公倍數(shù)和公倍數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？

生1：48是24的倍數(shù)。反過來24是48的因數(shù)

師：有了這一發(fā)現(xiàn)，你能想到些什么？

生2：只要求出最小的公倍數(shù)，就能求出所有的公倍數(shù)！(孩子們水到渠成的得到了大數(shù)翻倍法)

師：假如兩個數(shù)的最小公倍數(shù)為10，那其余的公倍數(shù)應該是？

生：10乘2，10乘3，10乘4……前面的3種方法。(應用規(guī)律解決問題，成功的體驗油然而生)

以上環(huán)節(jié)，在教師精心設計的辯論場中，學生把用篩選法找最大公因數(shù)的方法遷移到了找最小公倍數(shù)上，特別是將“比較”的方法演繹的淋漓盡致。第一層次的比較，學生學會了不同方法之間獲得優(yōu)化的思想，第二層次的比較，通過學生在每一種方法中的補充質(zhì)疑比較，獲得了辯證分析的思想，看問題要全面，數(shù)學講求嚴謹，不能簡單化的看待問題；第三層次的比較，挖掘三種方法中的共同之處，揭示數(shù)學現(xiàn)象背后的數(shù)學本質(zhì)。引導學生在兩種學習方法的相互比較中發(fā)現(xiàn)問題。這是一種創(chuàng)造性思維，是一種很有用的學習方法，更是一種思想價值的滲透。以上過程，學生嚴謹?shù)膶W習態(tài)度，良好的學習方法，歸納、類比、集合、對應的數(shù)學思想、數(shù)學學科的文化素養(yǎng)深深的根植于每一個孩子的內(nèi)心深處，數(shù)學課堂鮮活而又靈動。而這又是基于“真學課堂”中對表達、質(zhì)疑等學習習慣的培養(yǎng)，當教師能夠營造這樣一個深度對話、交流互動的“場”，學生的“真學”將會自然生成。

三、學會思考：由點到面建構(gòu)知識體系

及時對所學的知識進行歸納和整理，通過比較、反思，把知能要點從教材中提煉結(jié)晶“理出來”，化整為零，聚少成多，形成一定的知識體系,這種思維品質(zhì)和學習方法逐漸變成與學生自身能力和素質(zhì)難以分離的東西，從而達到融會貫通。

師:列舉10以內(nèi)的任意兩個數(shù)，求出最小公倍數(shù)和公倍數(shù)。

生1：我列舉的數(shù)是4和8。我發(fā)現(xiàn)8是4的倍數(shù)，而它們的最小公倍數(shù)也為8，所以我認為兩個數(shù)有倍數(shù)關(guān)系時，它們的最小公倍數(shù)就是較大的那個數(shù)。(學生很自信的說出了自己總結(jié)的規(guī)律)？

生2：我列舉了6和12。12是6的倍數(shù)，所以它們的最小公倍數(shù)為12。

師：那用一句話來概括，當兩個數(shù)有倍數(shù)關(guān)系時它們的最小公倍數(shù)應該是較大的數(shù)，最大公因數(shù)是較小的數(shù)。

生2：我選了7和9兩個奇數(shù)。相鄰的兩個奇數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是7和9相乘得到的63。

生3：我列舉了8和9。它們的最小公倍數(shù)是72。我發(fā)現(xiàn)兩個奇數(shù)相乘的得數(shù)，就是它們的最小公倍數(shù)。

生反駁：我列舉9和15的例子。那它們的最小公倍數(shù)并不是9和15的乘積。

師思考：剛才這位同學的結(jié)論該做怎樣的修改就準確了。

生：兩個數(shù)是互質(zhì)關(guān)系時，它們的最小公倍數(shù)就是這兩個數(shù)的積。(通過比較和階梯式的引導，學生們自己會發(fā)現(xiàn)規(guī)律的限制條件)

師：當然，有同學列舉的數(shù)既不是倍數(shù)關(guān)系，也不互為質(zhì)數(shù)，所以就要老老實實的用列舉法、篩選法等這些方法了。

師：好了，孩子們，從剛才的課堂教學中，我們一定要善于觀察數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系。這樣就會讓我們的計算簡便、快、準、好。

在以上學生自主出題求最小公倍數(shù)的過程中，將最小公倍數(shù)的知識置于數(shù)的整除的知識體系中，因數(shù)、倍數(shù)、互質(zhì)數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、最大公因數(shù)等知識聯(lián)通起來，及時對所學的知識進行歸納和整理，學生獲得的知識不再是孤立的、片面的、靜止的，而是聯(lián)系的、全面的、發(fā)展的，同時積淀了提出問題、解決問題、不斷提出新問題的思路和方法。這里的聯(lián)通，不僅是知識的聯(lián)通，還有最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)學習方法的聯(lián)通，構(gòu)建了完整的立體化的知識網(wǎng)絡，這中“拎出來”“滲進去”“理出來”的過程，是厚積薄發(fā)的過程，是學生的知識和能力逐步形成的一個過程。若再一以貫之“動起來”這個思想，自始自終讓學生“動口說”，經(jīng)年累月讓學生“動腦想”，持之以恒讓學生“動手寫”，那么它就不再是一個積淀知識的過程，而是學生養(yǎng)成習慣并形成能力和素質(zhì)學會學習的有效生成！

四、合作分享：在表達中增加“獲得感”

在總結(jié)提升環(huán)節(jié)，教師可指導學生從下面四個方面入手，一是通過組內(nèi)合作分享所思所想，如為什么要引入最小公倍數(shù)？學習最小公倍數(shù)有什么作用？二是組間交流學習過程，教師可以適當引導學生做如下思考：“在剛才的學習中我們是怎樣認識最小公倍數(shù)的？”“將最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)對比學習有什么好處”，“在以往的那些學習中哪些地方也用到了這樣的方法”“以后學習概念我還想用這種方法學習。三是引導學生課后質(zhì)疑，不同側(cè)面設想問題，還有別的方法嗎？可以推廣嗎？公式可以逆用嗎？這是一種創(chuàng)造性思維。四是讓學生在對話交流中形成知識遷移，如新舊知識的比較、易混知識的比較、對立知識的比較、類似知識的比較等。如果長期引導學生進行這樣的總結(jié)反思，將對學生后續(xù)的數(shù)學學習插上騰飛的翅膀，飛得更高更遠。

這是一節(jié)典型的“真學課堂”，從質(zhì)疑、合作、表達和抽象推理入手，將學生的“學”作為整節(jié)課的主旋律，學生自始至終都是推動教學的主體。由疑而動，從“獨學”到“合學”，貫穿合作，強調(diào)表達，“真學課堂”的每一個環(huán)節(jié)都體現(xiàn)了“以生為本”的理念，并且教學目標已經(jīng)遠遠超出知識與技能，而是著眼于學生“聽”“說”“想”“問”等可持續(xù)能力的培養(yǎng)，以及自信、自主、自覺、自律意識的提高。這才應該是當前教育背景下“數(shù)學課堂”的應然狀態(tài)，也是最符合學生身心發(fā)展規(guī)律的“教”和“學”。