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    淺談斐波納契數(shù)列與黃金數(shù)的關(guān)系

    2019-02-19 08:05:12馮云霞
    數(shù)理化解題研究 2019年6期
    關(guān)鍵詞:作差通項黃金

    馮云霞

    (江蘇省連云港市藝術(shù)學(xué)校 222002)

    一、Fibonacci數(shù)列的通項公式

    Fibonacci數(shù)列的通項的證明可以通過求解遞推關(guān)系公式來實現(xiàn),通過求解常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系或利用生成函數(shù)法分別加以證明遞推關(guān)系為

    證明: 設(shè)Fn的生成函數(shù)為F(x),則有

    F(x)=F0+F1x+F2x2+…+Fnxn+…,

    x(F(x)-F0)=F1x2+F2x3+…Fn-1xn+…,

    x2F(x)=F0x2+F1x3+F2x4+….

    把以上式子的兩邊由上向下作差得

    F(x)(1-x-x2)+x=F0+F1x+(F2-F1-F0)x2+(F3-F2-F1)x3+…=1+x+0+0+….

    二、下面來證明該數(shù)列與黃金數(shù)的關(guān)系

    我們先證明命題1和2,然后再求數(shù)列{bn}的極限.

    命題1 Fibonacci數(shù)列的相鄰四項都滿足關(guān)系式:Fn-2Fn+1-FnFn-1=(-1)n,n≥3.

    證明:根據(jù)行列式與線性方程組的關(guān)系,

    整理得:Fn-12+FnFn-1-Fn2=(-1)n+1,

    (Fn-Fn-1)(Fn+Fn+1)-FnFn-1=(-1)n,

    Fn-2Fn+1-FnFn-1=(-1)n.

    命題2 數(shù)列{bn}存在極限.

    又因為數(shù)列{bn}有界.所以{b2n},{b2n-1}的極限存在.

    則必有A=B≠0.所以數(shù)列{bn}存在極限.

    由此可知Fibonacci數(shù)列與黃金數(shù)之間有著密切的關(guān)系.

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