空間翻滾目標(biāo)位姿耦合建模與運(yùn)動(dòng)特性分析

郝宇星，申 麟，李 揚(yáng)

（中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院研究發(fā)展中心，北京，100076）

0 引 言

空間失效航天器與太空碎片對正常運(yùn)行的航天器而言是極大的威脅，發(fā)生碰撞會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的后果。與傳統(tǒng)的航天器的交會(huì)對接與編隊(duì)飛行不同的是，這一類目標(biāo)航天器不能提供自身的姿軌信息，其行為難以預(yù)測，可能會(huì)有翻滾等復(fù)雜運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，使得空間操作的安全性受到威脅。

翻滾是空間目標(biāo)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的一種形式。在軌目標(biāo)處于翻滾狀態(tài)時(shí)，可以看做一個(gè)繞質(zhì)心作定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的剛體。這種運(yùn)動(dòng)與翻滾目標(biāo)的自身性質(zhì)（如質(zhì)量、慣量分布）以及初始狀態(tài)有關(guān)。為了掌握目標(biāo)器的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，便于任務(wù)設(shè)計(jì)，需要對不同條件下的翻滾目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行研究。

在傳統(tǒng)建模方法解決位姿耦合問題遇到瓶頸后，學(xué)者們嘗試用新的數(shù)學(xué)工具進(jìn)行姿態(tài)和軌道的統(tǒng)一建模。Brodsky等[1]基于 Pennock等[2]和 Adams[3]對旋量理論的研究，首先討論了對偶慣性算子的本質(zhì)和物理特性，然后使用對偶慣性算子和矢量變換規(guī)則得到對偶動(dòng)量、對偶角動(dòng)量、對偶力的一般表示形式，并基于這些定義推導(dǎo)以三維對偶形式表示的剛體動(dòng)力學(xué)的牛頓-歐拉方程，為航天器一般性空間運(yùn)動(dòng)的研究和分析提供了理論基礎(chǔ)。

在進(jìn)一步的理論研究上，Wang等[4，5]推導(dǎo)了用單位對偶四元數(shù)表示的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型，指出單位對偶四元數(shù)是單位四元數(shù)的自然擴(kuò)展，能同時(shí)表示旋轉(zhuǎn)和平移，相對于齊次變換矩陣要用 16 個(gè)數(shù)來表示空間的一般運(yùn)動(dòng)，而對偶四元數(shù)僅僅需8 個(gè)數(shù)，另外，在計(jì)算效率上對偶四元數(shù)也高于齊次變換矩陣。在應(yīng)用研究上，Wu等[6]使用對偶四元數(shù)來設(shè)計(jì)捷聯(lián)慣性導(dǎo)航算法，并指出對偶四元數(shù)是同時(shí)表示剛體轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)最簡潔和最有效的數(shù)學(xué)工具；Wang等[7]基于對偶四元數(shù)分別推導(dǎo)了交會(huì)對接最終段和兩個(gè)航天器編隊(duì)飛行的六自由度相對運(yùn)動(dòng)模型；Zhang等[8]推導(dǎo)了基于對偶四元數(shù)的剛體航天器平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)組合的跟蹤誤差模型。

使用對偶數(shù)和旋量可將剛體運(yùn)動(dòng)的平動(dòng)部分與轉(zhuǎn)動(dòng)部分結(jié)合于一個(gè)框架之下，本文使用簡明的模型，使用經(jīng)典力學(xué)公式推導(dǎo)，得到由對偶數(shù)表示的牛頓-歐拉方程，該方程形式上與歐拉方程具有相似性，并且可以直觀地看到姿軌耦合項(xiàng)的影響。

在對空間翻滾目標(biāo)進(jìn)行在軌任務(wù)前，需要對其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行分析。對于非合作目標(biāo)而言，在無法獲得其準(zhǔn)確本體參數(shù)的條件下，需要根據(jù)其運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)對其參數(shù)進(jìn)行識(shí)別與估計(jì)，因此對翻滾目標(biāo)的典型運(yùn)動(dòng)形式及其條件的分類格外重要。首先，本文將對翻滾目標(biāo)進(jìn)行分類，對不同類別目標(biāo)的基本性質(zhì)進(jìn)行劃分；在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用位姿耦合動(dòng)力學(xué)方程建立模型，分析在軌翻滾剛體的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)；最后給出 3種典型的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方式，并使用仿真舉例說明其條件。

1 空間翻滾目標(biāo)的分類及特征

根據(jù)任務(wù)對象的不同，可將空間翻滾目標(biāo)分為：正常工作的航天器、功能受損（需要維修）的航天器、空間碎片或廢棄部件與小行星等空間自然物體。由于針對這4類目標(biāo)的任務(wù)各不相同，而且要考慮到各類目標(biāo)的特性差異，翻滾帶來的姿軌耦合程度也有所不同，在面對空間翻滾目標(biāo)問題時(shí)，要對其特點(diǎn)進(jìn)行分類，內(nèi)容可以分為翻滾原因、翻滾速率、慣量陣特征、質(zhì)量、耦合性以及主要任務(wù)目的。表 1為空間翻滾目標(biāo)特征分類。

表1 空間翻滾目標(biāo)特征分類Tab.1 Space Roll Target Feature Classification

2 空間目標(biāo)位姿耦合動(dòng)力學(xué)模型

本文采用對偶數(shù)與旋量的概念進(jìn)行剛體的動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)，基于傳統(tǒng)的理論力學(xué)原理，與新概念相結(jié)合，得到的結(jié)果表達(dá)形式簡潔，物理意義明確，易于進(jìn)行姿軌耦合分析以及一體化的任務(wù)設(shè)計(jì)。

剛體在三維空間的運(yùn)動(dòng)均可以表示為繞一軸線的旋轉(zhuǎn)與沿該軸的平移，因此可將六維空間的向量稱為一個(gè)旋量，映射一個(gè)三維剛體運(yùn)動(dòng)。幾何上用六維列向量表示，代數(shù)上可用對偶數(shù)表示，形式如下：

式中 α，α′分別為主部和副部，或稱為實(shí)部和對偶部，在表示物理量時(shí)，主部表示平移相關(guān)的量，副部表示旋轉(zhuǎn)相關(guān)的量；ε為對偶單位，其性質(zhì)為

設(shè)質(zhì)量為m，質(zhì)心為C的衛(wèi)星在軌道上運(yùn)行，并帶有翻滾，如圖1所示。建立衛(wèi)星的本體坐標(biāo)系bS，原點(diǎn)位于C點(diǎn)，X，Y，Z軸分別為衛(wèi)星的3個(gè)慣量主軸。慣性系oS的原點(diǎn)為O。

圖1 航天器動(dòng)力學(xué)模型示意Fig.1 Spacecraft Dynamics Model

將衛(wèi)星視作剛體，則在時(shí)刻t，bS的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由剛體的角速度矢量ω、C點(diǎn)t時(shí)刻的線速度矢量CV表示。

由于速度V與參考點(diǎn)有關(guān)，角速度ω與參考點(diǎn)無關(guān)， V與ω可構(gòu)成以C為參考點(diǎn)的速度旋量，記為

由純力F以及與該力作用線平行的力偶T組成的力，稱為作用在旋量軸線上的力的旋量，簡稱力旋量。用對偶數(shù)表示，則為對偶力，記為

對于航天器而言，作用在其上的力分為控制力uF、地球引力 Fg、擾動(dòng)力 Fd，力矩可分為控制力矩 Tu、重力梯度力矩 Tg和擾動(dòng)力矩 Td。將這些力和力矩用對偶力概念統(tǒng)一起來，則作用在追蹤器上的合外對偶力為

定義對偶慣性算子，由對偶質(zhì)量算子與對偶慣量算子組成，記為

式（10）即為對偶力與對偶動(dòng)量的關(guān)系式。根據(jù)矢量積運(yùn)算規(guī)則改寫為矩陣方程式，得到：

3 空間翻滾目標(biāo)運(yùn)動(dòng)特性分析

將式（11）展開為實(shí)數(shù)部分與對偶部分：

得到：

上述兩組方程是相互耦合的，當(dāng)以傳統(tǒng)的方法研究航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí)，通常把姿態(tài)運(yùn)動(dòng)對軌道運(yùn)動(dòng)的影響略去不計(jì)，且在分析姿態(tài)運(yùn)動(dòng)參數(shù)時(shí)，把軌道運(yùn)動(dòng)參數(shù)當(dāng)作已知量，做這樣的簡化假設(shè)后，姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程便可單獨(dú)進(jìn)行積分計(jì)算。進(jìn)行解耦后的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程即歐拉方程，由式（15）可以看出它是對偶動(dòng)力學(xué)方程的一部分，并在以下情況的翻滾目標(biāo)其運(yùn)動(dòng)位姿耦合最為顯著：

a）目標(biāo)飛行器與追蹤器的距離較近（幾十米到幾百米）時(shí)，此時(shí)平移量與旋轉(zhuǎn)量處于相近的數(shù)量級(jí)，耦合項(xiàng)與非耦合項(xiàng)幅值接近；

b）目標(biāo)飛行器的質(zhì)量與慣量較大時(shí)，姿態(tài)運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的動(dòng)量與角動(dòng)量較大，對應(yīng)的耦合量也較大；

c）目標(biāo)飛行器存在復(fù)雜的姿態(tài)變化時(shí)，角速度項(xiàng)多變使得耦合項(xiàng)多變，影響其幅值以及方向。

對于無外力矩剛體的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)問題，其解析解與幾何解在理論力學(xué)中已有結(jié)論，其中的一般情形稱為歐拉-潘索情形，其角速度軌跡在兩個(gè)橢球的交線上。對于在軌自由運(yùn)動(dòng)的剛體而言，其受力主要為各天體的引力、引力梯度矩，其中以地球的引力與引力梯度矩為主，其余項(xiàng)可當(dāng)作環(huán)境干擾力與力矩處理。由于引力梯度矩的值很小，并且工程上的航天器其質(zhì)心與重心可近似重合，因此在短時(shí)間內(nèi)可忽略；但在長期的軌道運(yùn)行條件下，其對姿態(tài)積累的影響會(huì)十分顯著。

針對在軌翻滾剛體的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，以在軌翻滾航天器為例，通過設(shè)定不同的慣量矩陣、初始姿態(tài)、角速度的狀態(tài)，根據(jù)剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，進(jìn)行舉例分析：

假設(shè)某航天器軌道高度430 km，質(zhì)量74 783 kg，處于圓軌道上做姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)使用對偶動(dòng)力學(xué)模型，以航天器本體系作為計(jì)算坐標(biāo)系，對各類轉(zhuǎn)動(dòng)情形進(jìn)行數(shù)值仿真。

a）在軌定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

Jx= Jy= Jz時(shí)，過原點(diǎn)的任意軸都具有定向性；

Jx= Jy≠ Jz時(shí)，Z軸與Oxy平面的過原點(diǎn)的任意軸都具有定向性；

圖2 在軌定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)航天器角速度變化Fig.2 Spacecraft Palstance in Fixed-axis Rotation

圖3 在軌定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)重力梯度矩變化Fig.3 Gravity Gradient Torque in Fixed-axis Rotation

當(dāng)滿足定軸轉(zhuǎn)動(dòng)條件時(shí)，航天器轉(zhuǎn)軸方向在慣性空間保持不變，且當(dāng)轉(zhuǎn)軸為Z軸時(shí)，旋轉(zhuǎn)剛體受擾動(dòng)后仍能保持在原來的方向近旁運(yùn)動(dòng)，或漸趨于原來的方向。正常工作的航天器往往處于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。由于慣量矩陣的3個(gè)分量相同，航天器受到的重力梯度力矩為零，因此航天器角速度基本不變，作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

圖4 在軌規(guī)則進(jìn)動(dòng)時(shí)航天器角速度變化Fig.4 Spacecraft Palstance in Regular Precession

圖5 在軌規(guī)則進(jìn)動(dòng)時(shí)重力梯度矩變化Fig.5 Gravity Gradient Torque in Regular Precession

可以看出：當(dāng)航天器角速度發(fā)生異常，但結(jié)構(gòu)完好的情況下，航天器可能會(huì)規(guī)則進(jìn)動(dòng)。而這種角速度異常會(huì)由姿控系統(tǒng)故障引起。本例中航天器進(jìn)動(dòng)周期為 20 s，角速度矢量軌跡在本體系上為一個(gè)圓形，重力梯度矩在 ,XY軸上在零附近波動(dòng)，而Z軸上進(jìn)行周期變化。

圖6 歐拉-潘索運(yùn)動(dòng)時(shí)航天器角速度變化Fig.6 Spacecraft Palstance in Euler-poinsot Motion

圖7 歐拉-潘索運(yùn)動(dòng)時(shí)重力梯度矩變化Fig.7 Gravity Gradient Torque in Euler-poinsot Motion

圖8 歐拉-潘索運(yùn)動(dòng)時(shí)角速度矢徑變化Fig.8 Palstance Vector in Euler-poinsot Motion

對于不規(guī)則物體與隨即狀態(tài)而言，歐拉-潘索狀態(tài)為最為普遍的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)?？臻g翻滾目標(biāo)有大量的空間碎片以及小行星體，其質(zhì)量與形狀很不規(guī)則，姿態(tài)運(yùn)動(dòng)由碰撞產(chǎn)生，有很強(qiáng)的隨機(jī)性，因此這類目標(biāo)通常作歐拉-潘索運(yùn)動(dòng)。由結(jié)果可以看出，受到重力梯度矩的影響后航天器的Z方向角速度成周期變化，結(jié)合進(jìn)動(dòng)效果后角速度的軌跡在本體系中表現(xiàn)為馬鞍面邊際線（兩橢球的交線）。

4 結(jié) 論

空間翻滾目標(biāo)在軌道上雖然受到引力與環(huán)境干擾力的影響，但其姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方式依然可以按照無外力矩剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律劃分，并且根據(jù)其運(yùn)動(dòng)特征可以反推其質(zhì)量特性，這對空間目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的識(shí)別與參數(shù)估計(jì)擁有重要參考意義。本文使用對偶數(shù)作為運(yùn)動(dòng)參數(shù)的表達(dá)形式，其輸入輸出均為6維，對于空間目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的初步識(shí)別與耦合估計(jì)非常實(shí)用，但為了得到更加精確的結(jié)果，仿真需要較高的運(yùn)算精度，否則誤差項(xiàng)的耦合放大會(huì)對結(jié)果產(chǎn)生很大影響，因此在解決高精度位姿估計(jì)問題時(shí)，需要對該仿真系統(tǒng)進(jìn)行更深入的理論研究。