二次函數(shù)中與動點(diǎn)相關(guān)的最值問題

王樹寶

摘要：初中函數(shù)學(xué)習(xí)時(shí)，動點(diǎn)相關(guān)問題在二次函數(shù)中是學(xué)生大多感覺較為困難的問題，怎樣按照題目給出的信息，根據(jù)變化的動點(diǎn)特點(diǎn)，找到對問題進(jìn)行解決的關(guān)鍵，達(dá)到化繁為簡，獲得問題巧妙的解決辦法.本文針對初中二次函數(shù)中動點(diǎn)相關(guān)最大值問題進(jìn)行分析探討，給出實(shí)際案例進(jìn)行說明，剖析對常見困難問題的分析思路，找出巧妙解決的關(guān)鍵所在，旨在為大家起到事半功倍觸類旁通的作用。

關(guān)鍵詞：初中；二次函數(shù)；動點(diǎn)；最值問題；分析

引言

二次函數(shù)含有字母系數(shù)的最值求解，一般遇常遇到的題目中函數(shù)求最值的系數(shù)是常數(shù)，但往往實(shí)際中考選題時(shí)會出現(xiàn)字線為系數(shù)的問題。需要在解答時(shí)進(jìn)行討論系數(shù)的取值問題，因?yàn)轭愃频念}目頗有難度較為復(fù)雜，常會將很多學(xué)生在試卷中因此丟失。其實(shí)對這種題目基本的解決思路，可以將系數(shù)當(dāng)作常數(shù)來思考，因?yàn)槌?shù)的二次函數(shù)是學(xué)生一般都較為熟悉的題型，再給合在自變量變化范圍內(nèi)頂點(diǎn)的不同變化位置，展開對函數(shù)分類的討論，得出各種不同情況條件下的題目結(jié)論。

二次函數(shù)區(qū)間范圍內(nèi)最值的求解

初中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)時(shí)，二次函數(shù)最值在區(qū)間范圍內(nèi)類型的問題，在學(xué)生中普在普遍的難度，學(xué)生除了要對二次函數(shù)的性質(zhì)熟練地掌握，同時(shí)函數(shù)解題時(shí)的應(yīng)用技巧也需要具備。通常來說，對于一個(gè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)x=-- 這種情況下的解題過程比較簡單，很容易求得它的最值為f（-- ）。而如果x的取值范圍被限定了，當(dāng)x=[a，b]時(shí)，求解最值的方法就顯得十分的困難?；诖?，必須要針對性的分情況進(jìn)行討論，求解時(shí)要根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和提供的圖象來分析。

1.定軸定區(qū)間

函數(shù)的區(qū)間和對稱軸均固定是指的為定軸定區(qū)間，求解種類題目時(shí)較為簡單，一般結(jié)合函數(shù)圖象分析就能判斷最小或是最大值。

例1：求函數(shù)y=x2-2x-3在區(qū)間[-2，2]上的最大值.

解析：二次函數(shù)的最值在閉區(qū)間上，也許會在閉區(qū)間的端點(diǎn)上出現(xiàn)，也可能在函數(shù)的頂點(diǎn)上出現(xiàn).此二次函數(shù)的開口向上，有可能在兩個(gè)頂點(diǎn)上或兩個(gè)端點(diǎn)均取得.按照函數(shù)對稱軸或是區(qū)間范圍可以該作出函數(shù)的草圖，進(jìn)行對草圖的觀察或獲得最小值和最大值的位置.對稱軸為x=1是原方程式提供的信息，通過草圖的觀察分析出應(yīng)在x=1處取得最小值，即ymin=-4；而在x=-2處取得最大值，即ymax=5。.

2.定軸動區(qū)間

可以確定函數(shù)的對稱軸是為定軸動區(qū)間，但其不確定的是閉區(qū)間，有變量區(qū)間內(nèi)的函數(shù)存在.對稱軸之間和函數(shù)的區(qū)間的相對位置關(guān)系是這類問題主要考查的。

例2：求在區(qū)間[t，t+1]上時(shí)，y=-x2+2x-2，其最小值和最大值。

解析：與例1的不同的是，這一例題是關(guān)于變量的函數(shù)區(qū)間，對稱軸和區(qū)間端點(diǎn)值不能采取直接對應(yīng)值大小的比較，具體的函數(shù)圖象不能起草畫出而供分析參考，無法直接進(jìn)行問題的求解。需要在解題時(shí)分類討論.最大、最小值的取值點(diǎn)按照對稱軸和區(qū)間端點(diǎn)的距離關(guān)系來進(jìn)行分析確定。

函數(shù)圖象的對稱軸根據(jù)原函數(shù)可知為x=1.當(dāng)在區(qū)間的左側(cè)函數(shù)的對稱軸時(shí)，即t+1< 1時(shí)，ymax=y（t + 1 ） = -t 2 -1；當(dāng)函數(shù)的對稱軸在區(qū)間右側(cè)時(shí)，即t≤1時(shí)，ymax=y（t）=-t2+2t-2；當(dāng)在區(qū)間范圍內(nèi)的對稱軸函數(shù)時(shí)，即t≤1≤t+1 0≤t≤1時(shí)，ymax=y（1）=-1.

3.定區(qū)間動軸

函數(shù)的區(qū)間固定即為定區(qū)間動軸，它是變化著的對稱軸，這種情況下，需要討論二次函數(shù)的最值。與定軸動區(qū)間有著相似的討論情況。

例3：求函數(shù)在區(qū)間[-1，2]上y=x2+2ax+1的最小值.

解析：該函數(shù)的對稱軸根據(jù)函數(shù)方程可知x=-a.當(dāng)在區(qū)間的左側(cè)函數(shù)的對稱軸時(shí)，即-a<-1時(shí)，Ymax=y（-1）=--2a+2；當(dāng)在區(qū)間范圍內(nèi)的對稱軸函數(shù)時(shí)，為-1≤-a≤2時(shí)，Ymax=y（2）=4a+5.

4.軸定區(qū)間變問題

例4：求在區(qū)間[t，t+2]上時(shí)，二次函數(shù)f（x）=x2-2x-3的值域.

分析：隨著改變的區(qū)間位置，函數(shù)值域因?yàn)閷ΨQ軸和區(qū)間的相對位置的變化影響顯而易見。

①當(dāng)位于區(qū)間的左側(cè)的對稱軸位置時(shí)，即t≥1時(shí)，在區(qū)間[t，t+2]上的函數(shù)f（x）為增函數(shù)，此時(shí)取值f（x）的范圍為f（t）≤f（x）≤f（t+2）；

②當(dāng)位于左半?yún)^(qū)間的對稱軸位置時(shí)，即t≤1≤t+1時(shí)，在區(qū)間[t，t+2]上的函數(shù)f（x）變化是先減后增，距離對稱軸右端點(diǎn)t+2較遠(yuǎn)，此時(shí)取值f（x）的范圍為f（1）≤f（x）≤f（t+2）；

③當(dāng)位于右半?yún)^(qū)間的對稱軸位置時(shí)，即t+1≤1≤t+2時(shí)，在區(qū)間[t，t+2]上的函數(shù)f（x）也是先減后增，此時(shí)距離對稱軸是左端點(diǎn)t較遠(yuǎn)，因而是f（1）≤f（x）≤f（t）f（x）的取值范圍；

④當(dāng)位于區(qū)間的右側(cè)的對稱軸時(shí)，t+2≤1時(shí)，在區(qū)間[t，t+2]上的函數(shù)f（x）為減函數(shù)，此時(shí)取值f（x）的范圍是f（t+2）≤f（x）≤f（t）.

有些學(xué)生很可能只會進(jìn)行三種情況的討論，而合并②③，這是求解思路是容易造出錯(cuò)的普遍原因。

結(jié)束語

總之，想要加強(qiáng)求解二次函數(shù)最值問題的練習(xí)，需要從不同角度對問題進(jìn)行分析的探討，綜合培養(yǎng)學(xué)生思考問題的維度，促使學(xué)生能夠分析出最快捷方便的解題技巧，從而幫助學(xué)生對初中二次函數(shù)關(guān)于動點(diǎn)最值問題有更深入的理解和掌握。獲得數(shù)學(xué)知識能力的有效提升。

參考文獻(xiàn)：

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