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    兩法歸一統(tǒng)

    2019-02-19 09:35:54宋岑
    新教育論壇 2019年16期
    關(guān)鍵詞:定積分

    宋岑

    摘要:高等數(shù)學(xué)教材在介紹定積分時(shí),一般先講解定積分的概念,后給出牛頓—萊布尼茨公式來計(jì)算定積分。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中體驗(yàn)了黎曼和的極限的復(fù)雜性,?!R公式的神奇性,但卻沒有真正搞清楚二者之間的關(guān)系,甚至因無法直接計(jì)算,對“分割、取近似、求和、取極限”的方法實(shí)用性產(chǎn)生了懷疑。本文重新從曲邊梯形面積問題出發(fā),從解決問題尋找方法的角度梳理了黎曼和的極限與積分上限函數(shù)之間的關(guān)系,將這兩種方法與思想合二為一。

    關(guān)鍵詞:定積分;黎曼和的極限;積分上限函數(shù)

    高等數(shù)學(xué)中介紹的定積分又稱黎曼積分,它的定義非常獨(dú)特,采用了大量符號語言介紹了方法步驟,詳細(xì)描述了黎曼和的極限的計(jì)算方法。黎曼和的極限所用的“分割、取近似、求和、取極限”的方法是計(jì)算曲邊梯形面積的重要方法,而牛頓—萊布尼茨公式則是計(jì)算黎曼和的極限的公式。這部分內(nèi)容看似邏輯清晰,先學(xué)方法后學(xué)計(jì)算,但其實(shí)二者之間的關(guān)系并沒有那么單純。換從解決問題尋找方法的角度重新思考曲邊梯形面積問題時(shí),會(huì)得到一些有趣的結(jié)論,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)這些數(shù)學(xué)概念的真正內(nèi)涵。

    一、黎曼和的極限并沒有解決問題

    在數(shù)學(xué)建模中,評價(jià)一個(gè)方法的好壞,最簡單的標(biāo)準(zhǔn)就是看該方法能否獲得答案。比如最優(yōu)化路徑問題是數(shù)學(xué)建模中的經(jīng)典問題,可以有很多種辦法去做。但??茖W(xué)生受限于自身水平和時(shí)間,像神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)這樣的高難度算法,??茖W(xué)生在短時(shí)間里一般無法掌握,無法真正計(jì)算出結(jié)果。沒有結(jié)果的論文就是一個(gè)空架子,所以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對??茖W(xué)生來說并不是一個(gè)好算法。黎曼和的極限在計(jì)算曲邊梯形面積這個(gè)問題上,也如同一個(gè)空架子一般,看似把問題解決的很完美,但實(shí)際操作會(huì)發(fā)現(xiàn),計(jì)算無限項(xiàng)之和的極限基本就是不可能的事情。雖然?!R公式給出了計(jì)算方法,但需要說明的是,它并不是直接解決了無限項(xiàng)之和的極限計(jì)算問題,而是另辟襲擊,尋找到了計(jì)算曲邊梯形面積的另一個(gè)新方法。所以從這個(gè)角度來說,黎曼和的極限并沒有真正解決問題。

    二、積分上限函數(shù)是一個(gè)獨(dú)立的方法

    ?!R公式的證明過程中,最為核心的部分就是構(gòu)造了積分上限函數(shù) (如圖1)。

    圖1 積分上限函數(shù) 的幾何意義與面積增量的無限累加

    這是一個(gè)被構(gòu)造出的函數(shù),由于受其名稱和表示形式的影響,容易誤以為它的誕生需要依賴于定積分的概念。其實(shí),這個(gè)函數(shù)完全可以脫離定積分的概念而存在,構(gòu)造出這個(gè)能夠直接反應(yīng)曲邊梯形面積動(dòng)態(tài)變化的函數(shù),是可以完全獨(dú)立的解決曲邊梯形面積問題的。下面是簡要的計(jì)算過程,由于可以參考牛—萊公式的證明,所以部分證明從略。為了說明其與定積分的概念無關(guān),這里直接用符號 來代表積分上限函數(shù)。

    構(gòu)造函數(shù) , , 的幾何意義如圖1所示。顯然若能得到函數(shù) ,那么曲邊梯形的面積即為 ,問題得解。利用函數(shù) 自身的相關(guān)特性,易證 。利用不定積分的概念,設(shè) 是 的任意原函數(shù),得 ,代入初始條件 ,確定常數(shù) ,得特解 。代入 ,得 ,問題得解。

    上述計(jì)算過程在名詞使用上,特意采用了微分方程的術(shù)語,因?yàn)閺谋举|(zhì)上來講,計(jì)算 的過程就是在計(jì)算一個(gè)微分方程的特解。只不過目標(biāo)函數(shù) 與 之間的函數(shù)關(guān)系隱藏的非常深,當(dāng)二者關(guān)系被證明后,原問題自然就轉(zhuǎn)化成了如下這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的微分方程問題?!耙阎⒎址匠?,初始條件 ,求特解 ,并計(jì)算 。”

    三、兩法歸一統(tǒng)

    僅從解決問題的角度,黎曼和的極限不如積分上限函數(shù)來的有價(jià)值。甚至可以說黎曼和的極限竊取了積分上限函數(shù)的結(jié)果,強(qiáng)行把另一種解決曲邊梯形面積問題的方法,當(dāng)作為是解決自身計(jì)算問題的方法。為什么教科書要如此“厚此薄彼”呢?下面給出理由。

    黎曼和的極限促成了微元法的誕生。如果定積分只能求解曲邊梯形面積問題,那它根本不可能登上基礎(chǔ)學(xué)科數(shù)學(xué)的教科書,成為一個(gè)經(jīng)典方法。把“分割、取近似、求和、取極限”的方法應(yīng)用到其它領(lǐng)域和問題中,才是定積分最大的魅力。微元法可以把可以很多新問題,比如變力做功、液體壓力等問題轉(zhuǎn)化為寫微元后直接積分的問題,把很多理論分析的過程變成了操作性更強(qiáng)的具體方法。所以,雖然黎曼和的極限不能直接算,但它卻是一個(gè)可以最快將新問題標(biāo)準(zhǔn)化,寫出相應(yīng)積分算式的方法。而積分上限函數(shù)所采用的這種類似求解微分方程的方法,卻正好與之相反,由于函數(shù)之間的導(dǎo)數(shù)關(guān)系難被發(fā)現(xiàn)和證明,這種方法難以推廣。但是它可以算。

    同一個(gè)問題兩種方法,二者之間的互補(bǔ)性也非常的明顯。前者能列出算式但自己不會(huì)算,后者列不出算式但是能幫前者算。兩種方法各自都存在缺陷,但結(jié)合后就可以完美解決問題。前者作為經(jīng)典方法被大力推廣,后者成為前者的計(jì)算公式,而這也是現(xiàn)在的高等數(shù)學(xué)教材所最終呈現(xiàn)的二者關(guān)系。黎曼和的極限的方法成為了定積分的概念,積分上限函數(shù)成為牛頓—萊布尼茨公式,為定積分的計(jì)算而存在。

    四、兩種方法同一個(gè)思想

    黎曼和的極限與積分上限函數(shù)在思想上其實(shí)是高度一致的。積分上限函數(shù)是一個(gè)處處體現(xiàn)了“分割、取近似、求和、取極限”思想的函數(shù)??疾熳兞?從 增加到 時(shí),函數(shù) 的變化過程,可以認(rèn)為整個(gè)曲邊梯形是在這個(gè)增加過程下逐步形成的。 隨著 的增加,不斷增大,其值時(shí)刻表示著由 到 函數(shù) 所決定的曲邊梯形面積。如圖1,記 處增量有 ,則面積增量為 ,當(dāng) 時(shí),面積增量 。

    根據(jù)這個(gè)過程,整個(gè)曲邊梯形可以看作是由無數(shù)多個(gè)小長方形面積的增量累加所形成,而這個(gè)過程與黎曼和極限的思想不謀而合。積分上限函數(shù)就像是“分割、取近似、求和、取極限”這十個(gè)字的一個(gè)現(xiàn)實(shí)代言人。本文之前把變上限函數(shù)看作了一個(gè)解決曲邊梯形面積問題的獨(dú)立方法,但其思想?yún)s和黎曼和的極限如出一轍。所以從思想上見本質(zhì),兩種方法歸根結(jié)底還是一種方法。

    總結(jié):本文從定積分那獨(dú)特的定義出發(fā),從新角度深度解析曲邊梯形面積,為教科書中內(nèi)容安排的合理性給出了說明,闡述了定積分的概念和?!R公式之間的真正關(guān)系,為學(xué)生學(xué)習(xí)定積分提供了一定參考。經(jīng)典教科書中內(nèi)容的安排都是很講究的,必須深度解析才能體會(huì)到其中的奧妙。

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