關(guān)于高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題的解題技巧的探究

丁翔 劉子龍 肖春暉 楊衛(wèi)紅

摘 要：數(shù)列因?yàn)槠湓诟呖贾姓紦?jù)較大分值比較，貫穿于高中數(shù)學(xué)的其他知識，所以數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中有著十分重要的地位。掌握數(shù)列的解題技巧能夠在很大程度上提高學(xué)習(xí)效率，因此本文主要針對數(shù)列問題的解題技巧和解題思路展開分析，并用例題的形式加以形象的說明，最后對提高數(shù)學(xué)數(shù)列問題技巧的方法提出了建議。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);數(shù)列;解題技巧

1 數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中的意義和地位

數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)中獨(dú)立的教學(xué)板塊，對其章節(jié)進(jìn)行了十分詳細(xì)的分解和講述，是教育教學(xué)中必不可少的教學(xué)章節(jié)，其重要性不言而喻。除此之外，數(shù)列還與高中數(shù)學(xué)中的其他內(nèi)容有著密不可分的聯(lián)系，如函數(shù)、方程以及不等式等，對于高中生來說，在高考試卷里數(shù)列也常常和其他知識相聯(lián)合組成一道大題，占據(jù)很大的比重;從更長遠(yuǎn)來看，對于高考以后的大學(xué)生活，還涉及到極限的相關(guān)知識，同樣與數(shù)列有著十分密切的關(guān)系，所以在高中時期學(xué)好數(shù)列知識，不僅是為了高考，更是為了以后的學(xué)習(xí)生活，因此掌握數(shù)列的解題方法和解題技巧，可以有效的提高數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)成績，對高中生來說具有特備重要的意義。

2 高中數(shù)列學(xué)習(xí)的解題方法與技巧研究

2.1 利用數(shù)列基本概念求解

解題的基礎(chǔ)條件是對概念的理解和掌握，也是靈活運(yùn)用相關(guān)知識的基礎(chǔ)，首次接觸時可能由于陌生而使同學(xué)覺得望而卻步，因此失去了對數(shù)列知識學(xué)習(xí)的耐心和興趣，但是我們可以運(yùn)用基本的概念和公式來解決一些簡單的數(shù)列知識。

但是這種方法只能應(yīng)對簡單的問題，隨著學(xué)習(xí)的深入，難度會逐漸增加，這就要求學(xué)生學(xué)會并掌握數(shù)列相關(guān)的解題技巧和方法。眾所周知，不論多么復(fù)雜的題目都包含基本的理論知識，困難的題目都是由簡單的題目演化而來，所以對基礎(chǔ)知識的掌握就顯得尤為重要，對學(xué)生以后的學(xué)習(xí)生活也有很大益處。

例1：等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn（n為正整數(shù)），若已知a2=4，S7=0，求S10。

求解：對該題解答只需要學(xué)生熟記等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，將題目中所有的已知條件代入所學(xué)公式即可。首先，我們需要求出首項(xiàng)a1和公差d，將已知變量將a2=4，S7=0套入公式，便可求出an或Sn。即：

an=a1+（n-1）d，Sn={n（a1+a2）}/2

可以求出a1=6，d=-2，最后得出S10=-30。通過這道題目我們可以看出，在數(shù)列的解題過程中，對概念的熟記和靈活運(yùn)用有助于我們平時的學(xué)習(xí)，對解題大有幫助。

2.2 利用數(shù)列性質(zhì)求解

數(shù)學(xué)中的性質(zhì)往往會使我們在解題過程中“猶如神助”，達(dá)到事半功倍的效果。數(shù)列性質(zhì)的學(xué)習(xí)也是如此，學(xué)生要在平時學(xué)習(xí)中深入了解其性質(zhì)并學(xué)會融合貫通，將所學(xué)到的知識靈活的運(yùn)用到解題過程中去。

例2：已知等比數(shù)列{an}，n為正整數(shù)，a3a6=32，求a1a8+a5a4。

求解：根據(jù)等比數(shù)列中一個簡單的數(shù)列性質(zhì)，如果m+n=p+q，則aman=apaq，那么這道問題就迎刃而解了。根據(jù)這個性質(zhì)，我們就能夠很快的得到我們想要的結(jié)果，即a1a6+a3a4=64。通過對例2的分析，我們了解到面對這類數(shù)學(xué)問題，基本的概念是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，只有在對數(shù)列性質(zhì)充分熟悉的前提下才能對此類問題進(jìn)行求解，。

2.3 關(guān)于通項(xiàng)公式的解題技巧

通過觀察可以知道，最近幾年的數(shù)學(xué)高考題目中，對數(shù)列相關(guān)知識點(diǎn)的考查主要是對數(shù)列通項(xiàng)公式及相關(guān)知識點(diǎn)的考察比較多，所以數(shù)列求和是我們不能忽視的內(nèi)容。下面將列舉三種數(shù)列求和的主要方法：錯位相減法、合并求和法和分組求和法。

錯位相減法。在求n項(xiàng)和的題目中數(shù)列求和是常用的方法之一，適用于求解等差數(shù)列或者等比數(shù)列的前n項(xiàng)和。因此在關(guān)于這部分解題技巧的講解時，教師可以適當(dāng)?shù)姆怕?jié)奏，不要貪圖速度，更不要覺得麻煩，應(yīng)當(dāng)慢慢的引導(dǎo)高中生，讓他們掌握基本解題規(guī)律，引導(dǎo)解題技巧。通常來說，是需要先求出數(shù)列的a1及d，然后將所求的首項(xiàng)和公差一起帶入公式，運(yùn)用等差公式得到規(guī)范的結(jié)果。學(xué)生們需要注意點(diǎn)是在解題的全部過程中，一定要細(xì)心再細(xì)心，一步步計(jì)算，得到最后的正確結(jié)果，否則很容易前功盡棄。另外，我們要在平時的解題過程中培養(yǎng)自己的解題思路和模式，真正做到融匯貫通。

合并求和法。在數(shù)列題目中，一般會出現(xiàn)一些比較特殊的題目，如果將所有項(xiàng)看成一個整體，很難發(fā)現(xiàn)有什么聯(lián)系。如果將個別項(xiàng)單獨(dú)組合起來，就不難發(fā)現(xiàn)其特殊性。在看到這種題目時，首先要先將題目里可以進(jìn)行組合的項(xiàng)找出來分組，求得它們的結(jié)果，再進(jìn)行整體的求和計(jì)算，這樣就會更為容易的求得正確答案。例如，已知a1=2，a2=7，an+2=an+1-an，求S1999。

我們通過對a1、a2、a3…的計(jì)算發(fā)現(xiàn)，數(shù)列屬于特殊數(shù)列，既不是等差也不是等比數(shù)列，但是a6m+1=2、a6m+2=7一直到a6m+5=-7、a6m+6=-5，因此得出S1999=0，也就是a1999=a1999+0，得出a1999=2即a1999=2。

分組求和法。主要適用于一些綜合性較強(qiáng)的大題型上，對于這種綜合性比較強(qiáng)的題目，我們可以采取抽繭剝絲的策略對其進(jìn)行分層解答，然后再將分層的結(jié)果進(jìn)行合并，最后得到相應(yīng)的正確答案。

在眾多的數(shù)列題目考察過程中，有一些數(shù)列有其特殊性，本質(zhì)上既不是等差數(shù)列，也非等比數(shù)列。仔細(xì)觀察，可以將這個數(shù)列拆分成幾個部分，將其劃分到不同的等差數(shù)列或者是等比數(shù)列中，這類題目就需要我們使用分組求和法來計(jì)算。我們要做的是將其拆分成簡單的幾個數(shù)列，然后進(jìn)行分別求和，最后將各個結(jié)果合并就得到我們所要求得的結(jié)果。例如，已知數(shù)列{an}（n是正整數(shù)），通項(xiàng)公式是an=n+5^n，求該數(shù)列前n項(xiàng)和Sn。通過計(jì)算，我們可以了解到，這個數(shù)列屬于特殊數(shù)列，不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是通過仔細(xì)觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)，通項(xiàng)公式an=n+5^n的前半部分是等差數(shù)列，后半部分是等比數(shù)列，知道了這個規(guī)律，我們就可以將其分開進(jìn)行計(jì)算，最后將分別得到的結(jié)果相加即可。

3 結(jié)語

對于數(shù)列問題，我們可以對技巧和方法進(jìn)行靈活的運(yùn)用，但是最重要的還是對其概念和性質(zhì)的了解和掌握，特別是數(shù)列的性質(zhì)，要非常了解和熟練，其他方法也是建立在打好基礎(chǔ)之上的。在“效率”和“非效率”的平衡之下，數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力能夠在短時間內(nèi)幫助我們提高自己的解題速度，短時間內(nèi)確定解題方法和解題思路，做出正確答案。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程是一個逐漸累積的過程，這是一個我們對數(shù)學(xué)知識是從陌生到熟悉再到靈活運(yùn)用的過程，我們要減少對方法和解題模式的生搬硬套，相反在不斷的嘗試中尋找新的更適合自己的思路，這對于我們來說，更是有助于我們思維的發(fā)展，具有更好的啟發(fā)意義。

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作者簡介

丁翔，女，二級教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教育工作。

通訊作者

劉子龍，男，一級教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教育工作。