論巧用函數(shù)與方程的思維聯(lián)系解題

李子芳

摘要：函數(shù)與方程是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要組成部分，在中學(xué)的數(shù)學(xué)當(dāng)中占據(jù)著重要地位。在中國(guó)一般情況下，初中引入函數(shù)與方程的基本知識(shí)，高中時(shí)深入學(xué)習(xí)，在高考中應(yīng)用? 頗廣。因此，學(xué)習(xí)好函數(shù)與方程，利用函數(shù)與方程的思維聯(lián)系解題十分重要。

關(guān)鍵詞：函數(shù)思想;方程思想;集合;表達(dá)方式

函數(shù)思想是解決"數(shù)學(xué)型"問(wèn)題的一種思維方式，經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的研究與探索，其用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題、解決問(wèn)題，在數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛;而方程思想是對(duì)問(wèn)題用方程解決，是對(duì)方程本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，其主要研究變量與變量之間的等式關(guān)系（包括不等式與函數(shù)），利用方程的性質(zhì)去分析轉(zhuǎn)化解決問(wèn)題。

一、函數(shù)思想與方程思想

現(xiàn)階段，函數(shù)與方程在我國(guó)的數(shù)學(xué)中占有很重要的地位，在數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析、轉(zhuǎn)化、解決中應(yīng)用極為廣泛。早期函數(shù)概念是在幾何觀念下的函數(shù)，是十七世紀(jì)意大利學(xué)者伽利略（G.Galileo，1564-1642）在《兩門(mén)新科學(xué)》一書(shū)中提出包涵了函數(shù)或者說(shuō)變量關(guān)系的概念，用文字和比例的語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的關(guān)系。1673年前后的笛卡爾在其解析幾何中也注意到了一個(gè)變量與另一個(gè)變量間的依賴關(guān)系。但是由于當(dāng)時(shí)未意識(shí)到提煉函數(shù)的概念，故在之后的數(shù)年里函數(shù)概念并未提出。直至十八世紀(jì)初約翰·貝努利在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行了定義，其后至近代以來(lái)又有數(shù)名學(xué)者，如歐拉、柯西、傅里葉、狄利克斯、康托等對(duì)函數(shù)進(jìn)行了重新定義并逐漸深化。現(xiàn)如今函數(shù)在定義上有傳統(tǒng)定義與現(xiàn)代定義兩種。其中，傳統(tǒng)定義是指在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x，y，如果給定一個(gè)x值都有唯一的一個(gè)y和他對(duì)應(yīng)，那么稱y是x的函數(shù)，x是自變量，y是因變量;而在現(xiàn)代定義中為：如果A、B是兩個(gè)非空數(shù)集且x、y分別屬于A、B，如果在A中任取一個(gè)x根據(jù)對(duì)應(yīng)法則f在B中都有唯一的y與之對(duì)應(yīng)，那么成f是B對(duì)于A的函數(shù)。函數(shù)是數(shù)學(xué)里的一個(gè)基本概念，也是數(shù)學(xué)中代數(shù)里面最重要的一個(gè)概念，函數(shù)又有各種的函數(shù)分類，在解決生活中的學(xué)術(shù)上的數(shù)學(xué)問(wèn)題、物理問(wèn)題等都有廣泛的應(yīng)用。而函數(shù)思維，即是應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)與概念，來(lái)分析、轉(zhuǎn)化、解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。在函數(shù)的學(xué)習(xí)中應(yīng)把握函數(shù)的三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則等，在掌握函數(shù)的基礎(chǔ)上才能更好的應(yīng)用函數(shù)。

方程即含有未知數(shù)的等式，但等式不一定是方程，例如0=0，是等式但不是方程。方程表示的是兩個(gè)數(shù)學(xué)式（如兩個(gè)數(shù)、函數(shù)、量運(yùn)算）之間相等關(guān)系的一種等式，是使等式成立的未知數(shù)值稱為方程的"解"或"根"。方程的定義出現(xiàn)亦經(jīng)歷漫長(zhǎng)的發(fā)展。方程思想指解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通過(guò)設(shè)元把問(wèn)題從未知轉(zhuǎn)化為已知，解釋已知與未知之間的等量關(guān)系列，方程或方程組，然后求解，完成未知向已知的轉(zhuǎn)化。而在方程的學(xué)習(xí)應(yīng)用方程思維解題時(shí)，應(yīng)注意列出方程的正確性、運(yùn)用方程思維解題的意識(shí)與掌握方程思維解題的要點(diǎn)等三個(gè)重點(diǎn)。

二、如何應(yīng)用函數(shù)與方程的聯(lián)系解題

函數(shù)思想與方程思想聯(lián)系十分密切，在第一部分的論述中可明白函數(shù)是在方程的基礎(chǔ)上的進(jìn)一步的深化，方程與函數(shù)在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決中是可以相互轉(zhuǎn)化的。例如.解方程f（x）=0就是求函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)即在y軸的點(diǎn)為零點(diǎn)時(shí)與x軸的交點(diǎn)，而在解不等式f（x）>0或f（x）<0時(shí)就是求函數(shù)y=f（x）的正負(fù)區(qū)間等等。運(yùn)用函數(shù)與方程的思維聯(lián)系解題可從以下幾個(gè)方面著手：一方面可從函數(shù)與方程的性質(zhì)著手;另一方面可在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決中，可在充分了解問(wèn)題的基礎(chǔ)上構(gòu)造函數(shù)方程關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把研究的問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)的性質(zhì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

1.運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解決方程的求值、求方程的"解"或"根"的問(wèn)題。

例題1：解方程3x+5=0

分析：在這個(gè)方程的求解中，有兩個(gè)方式可解方程，其一，從這個(gè)方程可以看到這個(gè)方程只是一個(gè)簡(jiǎn)單一元一次方程，所以可以簡(jiǎn)單的直接求解;其二，我們可以把它看成是求y=3x+5與x軸的交點(diǎn)，運(yùn)用圖像法求解。

2.運(yùn)用函數(shù)思維解不等式。函數(shù)與不等式可互相轉(zhuǎn)化，例如.函數(shù)y=f（x），當(dāng)y>0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為不等式f（x）>0，當(dāng)y<0時(shí)，f（x）<0，從函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題，而研究函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題，通常也是進(jìn)行解不等式。

3.運(yùn)用函數(shù)與方程思想研究數(shù)列問(wèn)題，數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，所以用函數(shù)的觀點(diǎn)處理數(shù)列問(wèn)題很重要

例題2.已知等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差是（ ）.

A.5? ? B.4? ? C.3? ? D.2

解析：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，{an}有2k項(xiàng)時(shí)，S偶-S奇=kd，據(jù)題意得：C

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用等差、等比數(shù)列的基本量（a1，d，q）列方程，方程組是求解數(shù)列基本問(wèn)題的通法.偶數(shù)項(xiàng)之和減奇數(shù)項(xiàng)之和為5倍的公差

（a2-a1）+（a4-a3）+（a6-a5）+（a8-a7）+（a10-a9）

=（a2+a4+a6+a8+a10）-（a1+a3+a5+a7+a9）

=5d

即30-15=15=5d

d=3

結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)函數(shù)與方程的聯(lián)系以及在解題中的研究可知，函數(shù)與方程思想聯(lián)系十分緊密，函數(shù)與方程在解題中可以相互進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，更好的解決生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，更方便快捷的進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)研究。

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