數(shù)學(xué)啟發(fā)式教學(xué)的幾個(gè)原則*

四川省內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 尤 娜 熊 露 趙思林

一、數(shù)學(xué)啟發(fā)式教學(xué)的意義

兩千多年前，中國古代偉大的思想家和教育家孔子提出了“不憤不啟，不悱不發(fā).舉一隅不以三隅反，則不復(fù)也”.就在同一時(shí)期，古希臘的蘇格拉底首創(chuàng)了“產(chǎn)婆術(shù)”.這些都是啟發(fā)式教學(xué)思想的源頭與體現(xiàn).后來，中國宋代的朱熹提出了“由學(xué)論教”的教學(xué)思想，著名教育家葉圣陶先生指出：“教師之為教，不在全盤授予，而在相機(jī)誘導(dǎo)”，這些也蘊(yùn)含啟發(fā)式教學(xué)的思想.

經(jīng)過長時(shí)期反復(fù)的實(shí)踐證明，啟發(fā)式教學(xué)仍然是最有效的教學(xué)理論之一，它不僅符合八大教學(xué)原則，而且嚴(yán)格遵循教學(xué)的基本原理.2019年7月9日，國務(wù)院新聞辦公室舉行新聞發(fā)布會(huì)，就《關(guān)于深化教育教學(xué)改革全面提高義務(wù)教育質(zhì)量的意見》（以下簡稱《意見》）明確指出，啟發(fā)式教學(xué)是結(jié)合新時(shí)期教育改革下最高效的教學(xué)模式之一.這不僅確立了啟發(fā)式教學(xué)的合法地位，而且具有較好的可操作性.數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，廣義來說數(shù)學(xué)是思維的科學(xué).這就決定了數(shù)學(xué)具有高度抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)邏輯性和廣泛應(yīng)用性.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以積累數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)、生成數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)為目的.長期的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明，生成數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)的捷徑是實(shí)施數(shù)學(xué)啟發(fā)式教學(xué).數(shù)學(xué)啟發(fā)式教學(xué)的本質(zhì)是以學(xué)生自主解決、發(fā)現(xiàn)問題為主，教師引導(dǎo)點(diǎn)撥、創(chuàng)設(shè)問題引導(dǎo)為輔.

二、數(shù)學(xué)啟發(fā)式教學(xué)的現(xiàn)狀

自新課改以來，隨著“自主式”“探究式”“合作式”等主流教學(xué)模式的廣泛使用，講授法受到批判，致使數(shù)學(xué)啟發(fā)式教學(xué)有逐漸削弱之勢(shì)，這對(duì)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)、激發(fā)學(xué)生思維造成了不利影響.《意見》強(qiáng)調(diào)“教師一定要?jiǎng)?chuàng)新教育教學(xué)方式”，將傳統(tǒng)的填鴨式教學(xué)模式變?yōu)閱l(fā)式、互動(dòng)式、探究式教學(xué)形式.這里把啟發(fā)式教學(xué)形式排在了互動(dòng)式、探究式教學(xué)形式之前，有幾層意思：一是啟發(fā)式是一種基礎(chǔ)的教學(xué)形式，啟發(fā)式在互動(dòng)式、探究式中也會(huì)用到；二是突出了啟發(fā)式的重要地位，因?yàn)閱l(fā)式比互動(dòng)式、探究式更重要，每節(jié)課都可以用啟發(fā)式，但并不是每節(jié)課都適合用探究式，有些課也并不適合用互動(dòng)式；三是與啟發(fā)式密切相聯(lián)系的講授法仍然是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要方法.對(duì)于教師教學(xué)的要求更加具體、嚴(yán)格，注重培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新思維，提升學(xué)生綜合素質(zhì)，力求使學(xué)生全面發(fā)展.因此，根據(jù)我國數(shù)學(xué)課堂的現(xiàn)狀及課改要求，實(shí)行啟發(fā)式教學(xué)顯得格外重要.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生認(rèn)知、情感和諧統(tǒng)一的過程.結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是枯燥乏味且困難的.對(duì)此，數(shù)學(xué)教學(xué)非常需要和適合采用數(shù)學(xué)啟發(fā)式教學(xué).數(shù)學(xué)啟發(fā)式教學(xué)是以學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，以開啟、點(diǎn)撥和激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維為核心，以情境、問題和教育技術(shù)為手段，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和學(xué)習(xí)興趣為目的的一種教學(xué)思想方法.

運(yùn)用數(shù)學(xué)啟發(fā)式教學(xué)除了要面向全體學(xué)生、把握好“火候”、掌握好啟發(fā)的“度”，還應(yīng)遵守一些教學(xué)原則.

三、數(shù)學(xué)啟發(fā)式教學(xué)的原則

1.動(dòng)機(jī)激發(fā)原則

激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)是一切教育（教學(xué)）的首要任務(wù).沒有動(dòng)機(jī)的學(xué)習(xí)是“無心”的學(xué)習(xí)、低效的學(xué)習(xí).鑒于洛克提出的目標(biāo)設(shè)置理論，學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)效果具有積極的影響.產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣的第一步是有明確的學(xué)習(xí)目標(biāo)，目標(biāo)實(shí)現(xiàn)階段中所獲得的成就感是維持學(xué)習(xí)的動(dòng)力.學(xué)習(xí)成就感、學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)興趣均是學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的表現(xiàn)狀態(tài)，內(nèi)在動(dòng)機(jī)（學(xué)習(xí)興趣）與外在動(dòng)機(jī)（學(xué)習(xí)成就感、學(xué)習(xí)目標(biāo)）是推動(dòng)持續(xù)學(xué)習(xí)的因素.學(xué)習(xí)目標(biāo)與認(rèn)知需求，促使學(xué)生化被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，從而提高學(xué)習(xí)效率.約翰·哈蒂（John Hattie）教授歷時(shí)15年對(duì)數(shù)億名學(xué)生的調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，注意力、情緒、動(dòng)機(jī)等非智力因素是影響認(rèn)知發(fā)展的核心因素.即學(xué)習(xí)除智力因素外，與學(xué)生個(gè)人情感也有關(guān)系，主要在于：學(xué)生是否愿意學(xué)、是否想學(xué)、是否主動(dòng)學(xué)習(xí).因此，課堂中數(shù)學(xué)啟發(fā)式教學(xué)的前期過程，教師應(yīng)采用多元化方法（動(dòng)態(tài)演示、圖表變化、直觀事實(shí)、趣味游戲等）以形象、具體的環(huán)節(jié)引入，創(chuàng)設(shè)生動(dòng)、有趣味的課堂氛圍引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，啟發(fā)學(xué)生的內(nèi)在動(dòng)機(jī)（興趣、情感等）.此外，教師還需明確告知學(xué)生數(shù)學(xué)的價(jià)值、意義及應(yīng)用，啟發(fā)學(xué)生樹立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)，轉(zhuǎn)化為自身的知識(shí)需求.后期啟發(fā)教學(xué)中，需注意讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得成就感，如在設(shè)置例題時(shí)由淺入深，讓學(xué)生體驗(yàn)成功，以此持續(xù)刺激學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).

2.思維激活原則

皮亞杰說過“教育的最高目標(biāo)是培養(yǎng)具有邏輯思維能力和掌握抽象復(fù)雜概念能力的人”，那么在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯、抽象等數(shù)學(xué)思維有舉足輕重的地位.“數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)”啟示大家，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維的教學(xué).數(shù)學(xué)是知識(shí)教學(xué)，更是思維教學(xué).激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù).數(shù)學(xué)啟發(fā)式教學(xué)是激活數(shù)學(xué)思維的良策妙方.

數(shù)學(xué)啟發(fā)式教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的發(fā)生和發(fā)展過程.在教學(xué)過程中，激發(fā)學(xué)生的思維點(diǎn)、擴(kuò)展學(xué)生的思維度，啟發(fā)學(xué)生深入思考、活躍思維，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.如：方程及不等式的應(yīng)用中，關(guān)于x的不等式組為已知x的整數(shù)解有3個(gè)，求a的取值范圍.利用數(shù)軸表示變量與常量的關(guān)系，誘導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的聯(lián)系，啟發(fā)學(xué)生用點(diǎn)的位置尋找思路.運(yùn)用情境引入、語言誘導(dǎo)、問題驅(qū)動(dòng)、典例講解等方法，可激活學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)本身所含有的直觀性、聯(lián)想性等思維，可培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新、數(shù)學(xué)邏輯等深度思維.深度思維指一個(gè)層次性的啟發(fā)過程.數(shù)學(xué)啟發(fā)式教學(xué)中，利用數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)、問題串的引導(dǎo)、恰當(dāng)?shù)馁|(zhì)疑和直觀存在的實(shí)物，在學(xué)生思考中循序漸進(jìn)地啟發(fā)，擴(kuò)張思維的深度及寬度.

3.情境憤悱原則

數(shù)學(xué)情境是學(xué)生從事數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的環(huán)境，產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為的條件.情境可激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、引導(dǎo)探究性學(xué)習(xí)、搭建知識(shí)“橋梁”.著名心理學(xué)家維果茨基提出的最近發(fā)展區(qū)理論：學(xué)生在借助成人的幫助所能達(dá)到的能力水平與在獨(dú)立活動(dòng)中所達(dá)到的能力水平區(qū)域.教師創(chuàng)設(shè)情境，提供條件以助力學(xué)生在離知識(shí)最近的地方可以依靠自身現(xiàn)有能力獲取知識(shí)成果.而特定、恰當(dāng)?shù)那榫持袉l(fā)學(xué)生思維會(huì)有事半功倍的效果，其中“憤悱”情境為最.

“憤悱”指認(rèn)知和情感處于“欲知還未知、欲言還未能”的困惑狀態(tài)，就是在學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中創(chuàng)設(shè)困惑情境，學(xué)生呈現(xiàn)一種對(duì)知識(shí)似懂非懂的朦朧狀態(tài)，引導(dǎo)學(xué)生從舊知遷移到新知的思考過程.而“只知其一、不知其二”“知而不行”都可作為“憤悱”的另一種牽引，對(duì)知識(shí)理解的不全面性，或不會(huì)運(yùn)用知識(shí)解決問題，這些均為學(xué)生困惑的表現(xiàn)形態(tài).對(duì)此，啟發(fā)式數(shù)學(xué)教學(xué)的問題設(shè)計(jì)中，可結(jié)合日常生活、社會(huì)現(xiàn)象、當(dāng)下熱議話題來創(chuàng)設(shè)“憤悱”情境.相比于傳統(tǒng)的講授法，不僅可以激活學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，還可以與學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，為學(xué)生在已有知識(shí)和需要學(xué)習(xí)知識(shí)的間隔中搭建平臺(tái)，引導(dǎo)學(xué)生打開思維，幫助學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的遷移、思維的過渡.鑒于此，教師需在教學(xué)中明確解題的依據(jù)、概念的由來、問題的應(yīng)用，使學(xué)生在思考過程中有跡可循、有據(jù)可依.

4.問題驅(qū)動(dòng)原則

問題是數(shù)學(xué)的心臟，也是數(shù)學(xué)啟發(fā)式教學(xué)的心臟.優(yōu)質(zhì)問題的設(shè)計(jì)，在教學(xué)中有不可或缺的重要性，啟發(fā)式教學(xué)更是如此.問題是激發(fā)學(xué)生思維、引導(dǎo)學(xué)生深入思考的“著火點(diǎn)”.鑒于此，在教學(xué)中將知識(shí)問題化，即設(shè)置若干個(gè)問題按一定順序串聯(lián)成一個(gè)問題系列.

例如，小明、小紅相約9點(diǎn)到10點(diǎn)在學(xué)校門口見面，先到的人等待半小時(shí)后可自行離去，假設(shè)兩人均不失約，碰面的概率為？

（1）以日常生活為經(jīng)驗(yàn)，在什么情況下兩人可以碰面？

設(shè)計(jì)意圖：分組進(jìn)行討論，以生活實(shí)例引入遷移教學(xué)，創(chuàng)設(shè)問題情境形成認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).

（2）兩人到達(dá)學(xué)校的時(shí)間差值小于半個(gè)小時(shí)（事件A），可以用一個(gè)變量表示嗎？

設(shè)計(jì)意圖：點(diǎn)撥思路，誘導(dǎo)學(xué)生定向猜想，描繪出數(shù)學(xué)模型，學(xué)生即可明白一維數(shù)軸不能解決問題.

（3）小明到達(dá)的時(shí)間為x，小紅到達(dá)的時(shí)間為y，該如何建立它們的關(guān)系呢？

設(shè)計(jì)意圖：直觀刻畫圖像，激活學(xué)生思維，啟發(fā)學(xué)生的深度思維.兩人出現(xiàn)時(shí)間的關(guān)系，即對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系第一象限中60×60的正方形區(qū)域（圖略），代表事件發(fā)生的所有可能性.

（4）事件A在圖像中是如何表示的？

設(shè)計(jì)意圖：步驟性引導(dǎo)學(xué)生刻畫知識(shí)，得出事件發(fā)生的區(qū)域?yàn)檎叫沃衴=x-30和y=x+30兩條直線所夾中間的陰影部分（圖略）.

創(chuàng)設(shè)一系列問題情境，激發(fā)學(xué)生動(dòng)機(jī)，激活學(xué)生思維，使學(xué)生在分析、思考、解決問題中體驗(yàn)成就感，逐個(gè)突破難點(diǎn)，在層次性啟發(fā)學(xué)生完成認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建設(shè)過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

5.難點(diǎn)突破原則

啟發(fā)式教學(xué)的運(yùn)用需要抓住知識(shí)中將問題集中在“牽一發(fā)而動(dòng)全身”的難點(diǎn).可以表述為一個(gè)概念中承上啟下的知識(shí)點(diǎn)，在這里點(diǎn)撥學(xué)生，打通學(xué)生的思維阻礙，有利于貫通上下知識(shí)的聯(lián)系.同時(shí)，啟發(fā)學(xué)生對(duì)后面所學(xué)課程的思考.宋代理學(xué)家朱熹在詮釋孔子的“憤徘術(shù)”啟發(fā)的實(shí)質(zhì)時(shí)，強(qiáng)調(diào)了啟發(fā)的精髓在于對(duì)時(shí)機(jī)的把握.啟發(fā)的時(shí)機(jī)過早，學(xué)生的思維得不到鍛煉，啟發(fā)時(shí)機(jī)過晚，學(xué)生感到困惑不堪，失去學(xué)習(xí)興趣，啟發(fā)時(shí)機(jī)的把握是能否點(diǎn)撥學(xué)生思維的關(guān)鍵.

例如，幾何在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有重要地位，平面解析幾何在中考中占比較大.幾何圖形可以稱作整個(gè)初中乃至高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)、難點(diǎn)、啟發(fā)點(diǎn).因此，運(yùn)用數(shù)學(xué)啟發(fā)式教學(xué)（如幾何教具、幾何畫板、動(dòng)手實(shí)踐）培養(yǎng)學(xué)生的幾何空間思維顯得格外重要.

6.質(zhì)疑反思原則

思維起于叉路的疑難，起于兩歧的取舍.這表明，思維的活躍不會(huì)平白無故發(fā)生，而激活思維的著力點(diǎn)指非認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的困惑處，也就是在已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)中，由外界的疑問對(duì)知識(shí)產(chǎn)生疑惑導(dǎo)致產(chǎn)生新認(rèn)知需求.即質(zhì)疑是開啟學(xué)生思維器官的鑰匙.然而，大多數(shù)學(xué)生甚至教師都缺乏這種質(zhì)疑思維，對(duì)以書面呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)深信不疑.教材（人教版初中數(shù)學(xué)）使用多年，可其中的小問題、小瑕疵近來才有學(xué)者指出，對(duì)教材中體例編寫、內(nèi)容設(shè)置前后不一致的情形進(jìn)行質(zhì)疑反思.鑒于此，教師在教學(xué)中應(yīng)根據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)體系與經(jīng)驗(yàn)，在學(xué)生思考中利用追問、拷問、反問的語句，如這樣是否嚴(yán)謹(jǐn)，還可以更簡練嗎，解題思路有邏輯問題嗎，這里面蘊(yùn)含什么數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，這些問題可以優(yōu)化學(xué)生的思維.

上述教學(xué)原則不宜孤立使用，而應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容、內(nèi)容難度、教學(xué)目標(biāo)等綜合地、靈活地、創(chuàng)造性地使用，才能真正達(dá)到啟發(fā)式教學(xué)的目的和良好效果.