突破概率與統(tǒng)計題的解題瓶頸的方法探討

莫德杰

摘 要：本文將從單純題目與綜合題目兩方面入手，以例題分析的方式，對突破概率與統(tǒng)計題解題瓶頸的方法進行探討，希望可以為高中生解題提供一些幫助。

關鍵詞：概率題；統(tǒng)計題；解題方法

概率題與統(tǒng)計題一直是高中數(shù)學重點內容，也是高中生學習的難點。因此，作為祖國未來建設型人才，高中生必須通過實際例子，對突破解決瓶頸的方法進行探討，總結其中的規(guī)律，只有這樣，才能提高自身數(shù)學學習水平，從而促進自己更好發(fā)展。

一、單純題目解題方法

（一）概率題

例1：某人向目標射擊4次，每一次的目標擊中概率是1/3，而目標共有三個不同部分，各面積比是1：3：6。在擊中目標時，任何部分概率和其面積都是成正比。

（1）假設K是目標被擊中次數(shù)，問K分布列。

（2）如果目標被擊中兩次，A代表“第一部分最少被擊中1次或者是第二部分被擊中兩次”，問P（A）。

解題突破口：在對（1）進行分析時，高中生可以將隨機變量K取為0、1、2、3、4，由于每一次的擊中結果只有兩種可能，即擊中與未擊中，所以可以知道K服從二項分布，之后通過相關概率公式的運用，高中生就能夠得到結果。在對（2）進行解答時，高中生應該先對構成A的事件進行尋找，假設Ai指的是第一次擊中目標第i部分，其中i=1，2；Bi指的是第二次擊中目標第i部分，其中i=1，2，由此可以得出，A=A1`B1∪`A1B1∪A1B1∪A2B2，之后通過概率公式就可以得到最終結果。

解答過程：

（1）根據(jù)題意可知K-B（4，1/3），因此P（K=0）= （1/3）0（1-1/3）4=16/81，依次可得P（K=1）=32/81、P（K=2）=24/81、P（K=3）=8/81、P（K=4）=1/81。

（2）依照上述分析假設Ai與Bi，其中i=1，2，結合題意得到P（A1）=P（B1）=0.1，P（A2）=P（B2）=0.3，并且A=A1`B1∪`A1B1∪A1B1∪A2B2，因此P（A）的概率應該是0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3=0.28。

通過這一例題可知，高中生在對隨機變量分布列進行求取時，應該先對其取值與對應概率進行確定，并判斷其服不服從二次分布。同時，在求取概率時，高中生還應該先明確概率類型，之后再通過相關公式的正確運用來求出最終結果。

（二）統(tǒng)計題

例2：某工廠共有1000名工人，其中A類工人共250名且接受過短期訓練，B類工人共750名且接受過長期訓練，現(xiàn)通過分層抽樣方法抽出100名工人，檢查其在一天范圍內加工零件數(shù)量。如下：①問甲（A類工人）、乙（B類工人）均被抽到的概率；②抽查結果如下：A類工人的加工零件數(shù)量分別是[100，110）、[110，120）、[120，130）、[130，140）、[140，150），其對應的人數(shù)是4、8、x、5、3；B類工人的加工零件數(shù)量分別是[110，120）、[120，130）、[130，140）、[140，150），其對應的人數(shù)是6、y、36、18。

（1）求x、y，并分析A與B類工人中的個體差異程度誰最小。

（2）估算A與B類工人一天加工零件數(shù)量的平均數(shù)，并估計這一工廠工人加工零件數(shù)量的平均數(shù)。

解題突破口：高中生應該明確分層抽樣指的就是等概率抽樣，因此甲、乙可能被抽到的概率都是1/10，所以A類工人是25名，而B類工人則是75名，之后則可以有效得出x、y數(shù)值。在解決（2）時，高中生只需要將樣本在不同區(qū)間中的平均數(shù)求出來，自然可以得到A與B類工人一天加工零件數(shù)量的平均數(shù)。

解答過程：

（1）由已知條件可知，甲、乙被抽概率都是1/10，并且兩個事件是相互獨立的，因此都被抽到的概率就是1/10×1/10=1/100。

（2）如下：①A類工人應抽出25人，B類工人應抽出75人，因此，x=5，y=15。同時，通過直方圖觀看，高中生可以發(fā)現(xiàn)B類工人差異較??；②由①求出A類工人與B類工人的平均值是123和133.8，因此，全體工人平均值就是25/100×123+75/100×133.8=131.1。

二、綜合題目解題方法

例3：在研究某一課題中，以分層抽樣方式對A、B、C三所高校工作人員進行抽取，具體數(shù)據(jù)如下：在相關人員數(shù)量方面，A、B、C三所高校分別是18、36、54，抽取的人數(shù)則是x、2、y。

（1）問x、y數(shù)值。

（2）如果從B、C兩校中選出兩人發(fā)言，問二者均來自C校的概率。

解題突破口：分層抽樣是一種等概率抽樣，高中生應該利用這一性質來求出具體數(shù)值。（2）問題屬于古典概型問題，高中生可以通過列舉法的方式，來找出這一概率。

解答過程：

（1）根據(jù)個體抽到概率相等得出x/18=2/36=y/54，由此可以得出x=1，y=3。

（2）將從B校抽取的人記作B1、B2，從C校抽取的人記作C1、C2、C3，那么問題（2）可能發(fā)生的事件主要有以下十種情況，即（C1，C2）、（C1，C3）、（C2，C3）、（B1，B2）、（B1，C1）、（B1，C2）、（B1，C3）、（B2，C1）、（B2，C2）、（B2、C3），其中兩人均來自C校的事件有（C1，C2）、（C1，C3）、（C2，C3），因此，問題（2）的答案應該是3/10。

三、結論

綜上所述，作為社會未來建設型人才，高中生只有熟練掌握與概率和統(tǒng)計相關的數(shù)學知識，如概念、公式等，并詳細分析題目已知條件，掌握解題思路與技巧，才能降低概率題與統(tǒng)計題的難度，從而有效突破解題瓶頸。

參考文獻

[1]孫海琴，王俊琦.2018年高考“概率與統(tǒng)計、計數(shù)原理”專題解題分析[J].中國數(shù)學教育，2018（18）：39-45.

[2]謝菲.概率統(tǒng)計解題思維與學生能力培養(yǎng)[J].教育教學論壇，2015（18）：179-180.