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    一類可化為爪型的高階行列式計(jì)算方法

    2019-01-23 03:12:36武慧虹錢淑渠
    安順學(xué)院學(xué)報(bào) 2018年6期
    關(guān)鍵詞:行列式對(duì)角線等價(jià)

    武慧虹 錢淑渠

    (1、2.安順學(xué)院數(shù)理學(xué)院,貴州 安順561000)

    行列式在很多科學(xué)和工程問題中具有廣泛的應(yīng)用,如線性系統(tǒng)的求解[1],雅克比行列式計(jì)算及工程電路設(shè)計(jì)的符號(hào)分析[2]。低階行列式的計(jì)算有通用的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算方法,高階行列式的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算方法只能根據(jù)行列式的定義將其按行或列展開并分解為多個(gè)低階的行列式,再逐步降維交替操作獲得最終結(jié)果[3],該方法雖然僅涉及簡(jiǎn)單的“加、減、乘”運(yùn)算,但隨著行列式階數(shù)的增大,其計(jì)算量呈階數(shù)的階乘級(jí)上升。此外,借助行列式的基本性質(zhì)及矩陣的初等變換,將高階行列式化為上(下)三角形行列式也是一種規(guī)律性較強(qiáng)的高階行列式的計(jì)算方法[4],但該方法需要初等變換來避免零元素作為主元出現(xiàn)的情況,故存在一定的局限。實(shí)際上,對(duì)于某些特殊類型的高階行列式,采用上述一般性方法計(jì)算其運(yùn)算過程極其復(fù)雜且易于產(chǎn)生計(jì)算錯(cuò)誤,但若研究行列式本身的特征,妙用某些技巧將會(huì)產(chǎn)生事半功倍的效果。為此,文章針對(duì)一類具有一定特征的高階行列式,研究爪型行列式在其計(jì)算中的妙用,以提高數(shù)學(xué)/非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)這類高階行列式的計(jì)算效率,增加他們學(xué)習(xí)代數(shù)學(xué)的興趣,對(duì)高階行列計(jì)算的教學(xué)提供一定的實(shí)用價(jià)值。

    1 爪型行列式定義及計(jì)算方法

    1.1 定義:形如

    的行列式稱為爪型行列式[5,6],其中bj≠0,j=1,2,…,n。

    爪型行列式的基本特征是:

    (1)兩條邊線上的元素不全為零,對(duì)角線位置b1,b2,…,bn均為非零;

    (2)除(1)規(guī)定外,行列式其余位置元素均為零。

    1.2 爪型行列式的計(jì)算方法

    爪型行列式由于具有類似如手爪,其計(jì)算方法具有一定的規(guī)律和技巧,主要是利用對(duì)角線上的元素消去“橫線”或“豎線”上的非零元素,將原行列式化為三角形行列式再進(jìn)行計(jì)算,具體如下:

    計(jì)算機(jī)技能培訓(xùn)平臺(tái)的設(shè)計(jì)研究以舊州鎮(zhèn)農(nóng)村勞動(dòng)力應(yīng)用為例” 設(shè)有如下爪型行列式,則根據(jù)行列式的性質(zhì)作如下計(jì)算:

    (1)

    (2)

    上述計(jì)算過程采用了分別以第j(j=2,3,…,n+1)列乘以常數(shù)-ej-1/bj-1加到第1列,將第1列e1,e2,…,en位置消為零,則原行列式等價(jià)變換為上三角行列式,從而易于計(jì)算等價(jià)行列式的值。當(dāng)然也可以采用分別以第i(i=2,3,…,n)行乘以常數(shù)-ai-1/bi-1加到第1行而計(jì)算。

    注:其他類型的爪型行列式計(jì)算請(qǐng)讀者自己思考,這里不再贅述。

    2 爪型行列式的妙用

    爪型行列式妙用于高階行列式的計(jì)算,可為基礎(chǔ)差的數(shù)學(xué)/非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生提供極易掌握某些特殊高階行列式的計(jì)算方法。本部分通過具體實(shí)例研究爪型行列式如何妙用于高階行列式的計(jì)算。一般而言,需要考察待求行列式的特征,若待求行列式除對(duì)角線元素外,其余各列(行)元素均分別相同,則該行列式可運(yùn)用行列式的性質(zhì)等價(jià)變換為爪型行列式,從而借助爪型行列式的計(jì)算公式極易獲得結(jié)果,下面以例2.1、2.2和2.3給予實(shí)例介紹。

    例2.1:計(jì)算階行列式

    分析:高階行列式除了對(duì)角線元為外,各列其余元素均為,根據(jù)前面所述,可等價(jià)變換為爪型行列式。以下給出兩種等價(jià)變換解法:

    解法一:直接化為爪型

    因?yàn)?/p>

    (3)

    觀察式(3)易知其為爪型行列式。與式(1)對(duì)比可知d=x,aj=a,bj=x-a,ej=a-x,代入公式(2)可得:

    解法二:加邊法化為爪型

    因?yàn)?/p>

    (4)

    觀察式(4)易知其為爪型行列式,與式(1)對(duì)比可知d=1,aj=a,bj=x-a,ej=-1代入公式(2)可得:

    評(píng)注:由上述兩種解法易知,滿足可化為爪型行列式的高價(jià)行列式,經(jīng)ri+kr1變換后,原行列式即可變?yōu)樽π托辛惺?,從而利用爪型行列式公式直接得出結(jié)果。

    例2.2:計(jì)算n階行列式

    解析:由高階行列式Dn的各列特征,易知其可采用直接法化為爪型行列式。

    因?yàn)?/p>

    (5)

    觀察式(5)可知其為爪型行列式。與式(1)對(duì)比可知d=a+x,aj=a,bj=x,ej=-x,代入公式(2)可得

    評(píng)注:本題如同例1也可采用“加邊法”將原行列式化為爪型行列式,此題的另一種變形形式為:

    讀者可按本例易于求解得

    例2.3:計(jì)算n階行列式

    解析:同理,由于高階行列式Dn中除對(duì)角線元素外,各列其余元素都分別相同,考慮添加一行一列,將相同的元素化為0,使計(jì)算簡(jiǎn)化。

    因?yàn)?/p>

    評(píng)注:上述計(jì)算方法采用了“加邊法”將原行列式化為爪型行列式,實(shí)際上也可直接將其變換為爪型行列式,請(qǐng)讀者自己練習(xí)。

    3 結(jié)論

    文章首先給出了爪型行列式的定義及其計(jì)算,然后針對(duì)一類具有一定特征的高階行列式,通過具體實(shí)例介紹了采用“直接法”和“加邊法”將其化為爪型行列式,最后采用爪型行列式的計(jì)算公式直接獲得高階行列式的值。該方法解決了數(shù)學(xué)/非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生求解這類高階行列式計(jì)算困難的問題,為本部分的教學(xué)和學(xué)習(xí)提供了一種高效快速的計(jì)算方法。

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