運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問題一例

王志芳

運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問題是學(xué)生應(yīng)用的難點(diǎn).絕對(duì)值與數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離，平方與正方形面積，開方與直角三角形邊長(zhǎng)，二元一次方程與一次函數(shù)、一次不等式，一元二次方程與二次函數(shù)、不等式組等等，都是典型的用代數(shù)方法解決幾何問題.下面僅就如何運(yùn)用建立平面直角坐標(biāo)系解決幾何問題，舉例說明數(shù)形結(jié)合在解題中的具體運(yùn)用.

已知如圖：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1cm，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，連接BF、DE，求圖中陰影部分面積.

1.運(yùn)用幾何方法求解.

解：設(shè)BF，DE交于點(diǎn)G.連接CG，過點(diǎn)G作GP⊥CD，GQ⊥BC.

∵E是BC中點(diǎn)，F(xiàn)是DC中點(diǎn)，

∴BE=EC=12BC=12cm，DF=FC=12DC=12cm.

∵四邊形ABCD是正方形，∴ BC=DC，∠BCD=90°.

∴BE=EC=DF=FC.

∵在△DEC與△BFC中

DC=BC，

∠DCE=∠BCF，

EC=FC，

∴△DEC≌△BFC（SAS），∠EDC=∠FBC.

∵BF交DE于點(diǎn)G，∴∠DGF=∠BGE.

∵在△DGF與△BGE中，

∠DGF=∠BGE，

∠GDF=∠GBE，

DF=BE，

∴△DGF≌△BGE（AAS），S△DGF=S△BGE.

∵S△DGF=S△BGE，DF=BE，GP⊥CD，GQ⊥BC，∴GP=GQ.

∵BE=EC=DF=FC且GP=GQ，∴S△DGF=S△CGF=S△BGE=S△CGE.

∵∠BCD=90°，∴S△BFC=12·CF·BC=12×0.5cm×1cm=14cm2.

∵S△CGF=S△BGE=S△CGE且S△CGF+S△BGE+S△CGE=S△BFC，∴S△DGF=S△CGF=S△BGE=S△CGE=112cm2.

∴S△DGF+S△CGF+S△BGE+S△CGE=13cm2.

∴S四邊形ADGB=S正方形ABCD-（S△DGF+S△CGF+S△BGE+S△CGE）=1-13=23（cm2）.

2.運(yùn)用代數(shù)方法求解.

這里我們可以采用建里平面直角坐標(biāo)系的方法使題目得到解答.

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，過CD的直線為x軸，過AD的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

那么由已知我們就可以得到：點(diǎn)B坐標(biāo)（1，1），點(diǎn)A坐標(biāo)（0，1），點(diǎn)C坐標(biāo)（1，0），點(diǎn)E坐標(biāo)（1，0.5），點(diǎn)F坐標(biāo)（0.5，0）.

設(shè)過BF的直線表達(dá)式為y=kx+b（k≠0）.

∵過點(diǎn)B（1，1），點(diǎn)F（0.5，0），

∴k+b=10.5k+b=0.

∴k=2，b=-1，一次函數(shù)表達(dá)式為y=2x-1.

設(shè)過DE的直線表達(dá)式為y=kx（k≠0）.

∵過點(diǎn)E（1，0.5），∴k=0.5.正比例函數(shù)表達(dá)式為y=0.5x.

所以我們可以求出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為G（23，13）.

∴S△BFC=12×1×0.5=14，S△DFG=12×13×12=112.

∴S四邊形ADGB=1-14-112=23.

利用代數(shù)方法解決幾何問題，不僅思路簡(jiǎn)捷，解題明快，而且饒有趣味，使解題近乎格式化.利用代數(shù)解法，還可以拓寬學(xué)生的視野和解題思路，充分體現(xiàn)了“幾何”和“代數(shù)”是相互滲透，緊密關(guān)聯(lián)的.