“兩問”《常見數(shù)量關(guān)系》的教與學

范祥富 吳健敏

【摘要】“數(shù)學學習基于生活，高于生活?！币虼耍瑪?shù)學教學應(yīng)對一些常見的數(shù)學關(guān)系進行適時的提煉與歸納。在數(shù)量關(guān)系的學習上，蘇教版實驗教材沒有單列成一節(jié)新課來呈現(xiàn)，只在練習題中由教師引導學生抽象概括。修訂版教材在整數(shù)四則運算教學的結(jié)束階段安排常見的數(shù)量關(guān)系的學習內(nèi)容。這樣的編排既符合《標準（2011）》的新要求，又為學生研究數(shù)量關(guān)系提供了更豐富的材料，增加了經(jīng)歷體驗數(shù)量關(guān)系提煉、歸納與應(yīng)用的機會，是非常及時合理的。

【關(guān)鍵詞】數(shù)量關(guān)系 單價 數(shù)量 總價 速度 時間 路程

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）33-0166-02

一、教學設(shè)計及實錄

1.教學內(nèi)容

蘇教版數(shù)學四（下）第28～29頁例2、例3和“練一練”，練習五5～11題。

2.教學目標

（1）使學生經(jīng)歷從現(xiàn)實問題中抽象出數(shù)量關(guān)系的過程，掌握“單價×數(shù)量=總價”“速度×時間=路程”等常見的數(shù)量關(guān)系，能應(yīng)用這些數(shù)量關(guān)系解決一些實際問題。

（2）使學生在解決問題的過程中，適時對這些數(shù)量關(guān)系進行抽象概括，建構(gòu)形式化的數(shù)學知識，發(fā)展學生用數(shù)學的眼光觀察日常生活現(xiàn)象的意識和能力，發(fā)展數(shù)學思維。

（3）使學生在參與學習活動的過程中，獲得學習成功的體驗，提高學習的興趣，培養(yǎng)良好的學習習慣。

3.教學重點、難點

理解并掌握常見的數(shù)量關(guān)系

4.教學準備

多媒體課件

5.教學過程

探索交流，學習常見的數(shù)量關(guān)系。

（1）教學例2

1）談話導入

師：在我們的生活中會遇到很多的實際問題，今天的研究就從購物開始（出示例題情境圖）。

2）整理條件

師：情境圖中告訴我們商品的單價和數(shù)量分別是多少？

生1：鋼筆的單價是每支12元，數(shù)量是4支；練習本的單價是每本3元；數(shù)量是5本。

3）認識復合單位

師：鋼筆的單價每支12元可以表示成12元/支，怎么讀呢？

生（看課件齊讀）：12元每支。

師： 12元/支什么意思？

生2：就是每支鋼筆的單價是12元。

師：你會像這樣把練習本的單價寫一寫嗎？請寫在練習本上。與老師課件相同的，請用規(guī)范的坐姿告訴我。怎么讀呢？

生3：3元每本。

4）學習單價、數(shù)量、總價之間的數(shù)量關(guān)系。

師：既然知道了商品的單價和數(shù)量，你會先填寫商品的單價和購買的數(shù)量，再分別求出總價嗎？請獨立完成教材28頁的表格。

師：誰來回答？

生4：鋼筆單價是12元每支，數(shù)量是4支，總價是48元；練習本的單價3元每本，數(shù)量是5本，總價是15元。

師：請同學們用“數(shù)學智慧眼”來觀察這個表格，鋼筆和練習本告訴我們的已知條件是不是相同？問題呢？

生5：都告訴我們單價和數(shù)量，都要求總價（板書：單價、數(shù)量、總價）

師：再想想，你們剛才在求總價時都用什么方法？

生：都用乘法

師：單價、數(shù)量、總價之間有什么關(guān)系？你能用一個式子來表示嗎？

生6：單價×數(shù)量=總價（完善板書）

師：此處應(yīng)該有掌聲。他能用一個式子來表示這三者量之間的關(guān)系。真好！

師：如果已知總價和單價可以求什么，怎樣求？如果已知總價和數(shù)量可以求什么，怎樣求？

生8：總價÷單價=數(shù)量 總價÷數(shù)量=單價

師：你能舉一個生活中的例子嗎？

生9：我用10元錢買同樣的練習本，每本2元，可以買幾本？我用10元錢買了5本同樣的練習本，每本幾元？

師：同意嗎？

【說明：教學常見數(shù)量關(guān)系的意義不僅在于讓學生記住“單價、數(shù)量、總價”這一組數(shù)量之間的關(guān)系，了解復合單位的表示方法。更在于引導學生經(jīng)歷從解決具體問題的過程中抽象、概括出其共同的、本質(zhì)的數(shù)量關(guān)系，并用單價×數(shù)量=總價這一關(guān)系表示出來。教學時教師不僅為學生呈現(xiàn)了兩道例題，還讓學生舉生活中的例子，并把教學的著力點放在引導學生比較同一類數(shù)量關(guān)系的相同點上，使學生切實經(jīng)歷抽象與概括的過程，在這一過程中初步感悟一些基本的數(shù)學思想，積累相應(yīng)的數(shù)學活動經(jīng)驗。】

（2）教學例3

認識速度。

師：請一位同學來當新聞播報員，播報一下這兩條信息。（出示例3情境圖）

生1：一列和諧號列車每小時行260千米；李冬騎自行車每分行200米。

師：每小時行260千米，每分行200米。這樣的量也可以像單價那樣用復合單位來表示，你會嗎？

生2：260千米/時；200米/分

師：260千米/時，200米/分。分別表示什么？

生3：260千米/時表示列車每小時行260千米；200米/分表示李冬騎自行車每分行200米。

師：像這樣的量還有：聲音在空氣中的傳播速度是340米/秒；小明的步行速度大約是60米/分；小轎車此時的速度是100千米/時；這段高速公路的限速是120千米/時

師：剛才這些每秒行多少米、每分行多少米、每時行多少千米等，單位時間內(nèi)行駛的路程，人們把它叫做什么？

生4：速度（板書）

師：和速度有關(guān)的量是什么？

生：時間和路程（板書）

師：這三者量之間又有怎樣的關(guān)系呢？

生5：速度×時間=路程（板書：速度×時間=路程？）

師：是不是這樣呢？我們舉幾個例子來證明一下。請你先填寫和諧號列車與李冬騎自行車的速度，再分別求出行駛的路程（29頁的表格）

生6：列車的路程是260×3=780（千米） 自行車的路程是200×8=1600（千米）

師：通過剛才的兩個例子我們驗證了速度、時間、路程三者量之間的關(guān)系。已知路程和速度，可以求什么，怎樣求？已知路程和時間呢？

生7：已知路程和速度，可以求時間，路程÷速度=時間。

生8：已知路程和時間呢，可以求速度，路程÷時間=速度。

師：你們會舉例說明嗎？

【說明：由于速度的概念比較抽象，教師在引導學生理解“速度”的含義時，不僅結(jié)合教材具體的例子，還提供聲音的速度、小學生的步行速度、小轎車的速度、高速公路的限速等幫助學生理解。告訴學生速度是表示單位時間內(nèi)行駛的路程，可以用每時、每分或每秒行的路程來表示。揭示“路程、速度、時間”三者量的關(guān)系時，教師結(jié)合具體的實例，引導學生在填表、分析、比較、討論等活動中去概括，使學生經(jīng)歷由具體到抽象的學習過程。為了深化對數(shù)量關(guān)系的理解，教師讓學生舉符合這一關(guān)系的例子，由抽象再回到具體中。

教材將數(shù)量關(guān)系歸納為“總價=單價×數(shù)量、路程=速度×時間”，根據(jù)題中已知條件和問題之間的關(guān)系，學生提煉歸納得出“單價×數(shù)量=總價、速度×時間=路程”是“水到渠成、順理成章”。】

二、教后反思

“數(shù)學學習基于生活，高于生活。數(shù)學學習不僅僅是解決生活問題，更主要是基于現(xiàn)實問題的解決過程，從中習得數(shù)學知識與技能，體會數(shù)學思想方法的應(yīng)用，積累數(shù)學學習的基本活動經(jīng)驗，最終形成良好的數(shù)學素養(yǎng)”。因此，數(shù)學教學應(yīng)對一些常見的數(shù)學關(guān)系進行適時的提煉與歸納。在數(shù)量關(guān)系的學習上，實驗教材沒有單列成一節(jié)新課來呈現(xiàn)，只在四年級下冊第一單元《三位數(shù)乘兩位數(shù)》教師用書的“旁注”中提醒教師引導學生抽象概括。

與實驗版教材相比，修訂版教材明顯加大的力度，在整數(shù)四則運算教學的結(jié)束階段安排常見的數(shù)量關(guān)系的學習內(nèi)容，引導學生對已經(jīng)掌握的數(shù)量關(guān)系進行抽象概括，進而從更抽象的層面上去理解所學知識，既是培養(yǎng)學生分析和解決問題的能力、提高數(shù)學思維水平的需要，也是學生進一步學習和生活的需要。除了“單價、數(shù)量、總價；速度、時間、路程”數(shù)量關(guān)系的學習外，還在習題中出現(xiàn)“工作效率、工作時間、工作總量”這三者量之間的關(guān)系讓學生感知。這樣的編排既符合《標準（2011）》的新要求，又為學生研究數(shù)量關(guān)系提供了更豐富的材料，增加了經(jīng)歷體驗數(shù)量關(guān)系提煉、歸納與應(yīng)用的機會，是非常及時合理的。但是，筆者在教學過程中有兩個疑惑，借此提出與教材編輯老師和同行商榷。

一問：教材為什么要將數(shù)量關(guān)系式歸納為“總價=單價×數(shù)量；路程=速度×時間”這種表現(xiàn)形式？

在教學單價、數(shù)量和總價，速度、時間和路程的關(guān)系時，教材分別呈現(xiàn)了兩道已知單價和數(shù)量求總價、已知速度和時間求路程的問題。依據(jù)解決實際問題列出的算式，體會單價、數(shù)量和總價，速度、時間和路程的關(guān)系，根據(jù)已知與未知間的關(guān)系，學生很容易提煉歸納出：“單價×數(shù)量=總價”“速度×時間=路程”這樣的數(shù)量關(guān)系。教材為什么要概括成：

難道是因為：（1）為了與《標準（2011）》表達方式相一致？《標準（2011）》在〈課程內(nèi)容〉第二學段中提到“在具體情境中，了解常見的數(shù)量關(guān)系：總價=單價×數(shù)量、路程=速度×時間，并能解決簡單的實際問題?！惫P者認為如果是這個目的，大可不必。因為“由因?qū)Ч边h比“執(zhí)果溯因”更適合學生的思維。（2）為了方便學生推理已知總價和單價求數(shù)量、已知總價和數(shù)量求單價；或者已知路程和時間求速度、已知路程和速度求時間？筆者認為如果是為了推理相應(yīng)的另兩個數(shù)量關(guān)系式，有兩條線索。一條是通過解決實際問題來得出（就像教學實錄中讓學生舉例）。另一條是根據(jù)除法與乘法的內(nèi)在聯(lián)系來推理（已知兩個因數(shù)的積和其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)。即：積÷一個乘數(shù)=另一個乘數(shù)），從這個角度出發(fā)也應(yīng)該是“單價×數(shù)量=總價、速度×時間=路程”這種表現(xiàn)形式更適合學生。

二問：教材為什么不給這6個量下定義？

把實際問題里的具體數(shù)量抽象成單價、數(shù)量、總價或者速度、時間、路程等

概念。這是形成常見數(shù)量關(guān)系十分重要一步。如果不抽象出或者不理解這些概念，就難以形成概括的數(shù)量關(guān)系。在這六個量中“數(shù)量”“時間”學生容易題解和識別，而“單價”“速度”等概念卻較難形成。教材通過舉例來講述：

單價每支12元可以寫成“12元/支”，元/支讀作元每支。

每小時260千米、每分200米是速度。

雖說這些聯(lián)系實例的講述有助于學生形成概念，但這些實例學生并不陌生，在以往的學習中早有接觸，多數(shù)有經(jīng)驗的教師在前面的教學中已結(jié)合實例向?qū)W生指明。而用規(guī)范的語言來描述概念有助于學生理解概念的內(nèi)涵與外延，特別是在整數(shù)四則運算教學的結(jié)束階段來學習常見的數(shù)量關(guān)系，更有必要讓學生切實掌握清晰的概念。人教版是這樣編排的：

這樣的編排是不是更有利于學生的后續(xù)學習？

以上兩問謹是筆者的拙見，若有不妥之處，肯請教材編輯老師、同行多多指教。

參考文獻：

[1]義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）.

[2]義務(wù)教育教科書教師教學用書（蘇教版四年級下冊數(shù)學）.

[3]義務(wù)教育教科書教師教學用書（人教版四年級上冊數(shù)學）.