數(shù)形相依，綻放思維之花

林吟艷

借助直觀形象模型理解抽象的數(shù)學(xué)概念以及抽象的數(shù)量關(guān)系是小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法。教學(xué)活動(dòng)雖然有圖形、有算式，但活動(dòng)中不關(guān)注這些圖形的形狀與度量特征，而是關(guān)注圖形的個(gè)數(shù)，并沒(méi)有滲透數(shù)學(xué)意義上的“數(shù)形結(jié)合”思想。這一現(xiàn)象引起了筆者思考，“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中哪些知識(shí)點(diǎn)可以滲透“數(shù)形結(jié)合”思想？

一、借助數(shù)軸，理解抽象的概念

數(shù)學(xué)知識(shí)本身是抽象的，建立直觀是非常必要的，而數(shù)形結(jié)合是建立數(shù)學(xué)直觀的有力工具。小學(xué)生的邏輯思維能力比較弱，他們對(duì)抽象概念的理解基本上要借助感性的直觀材料，借助數(shù)形結(jié)合圖形直觀的特點(diǎn)，為抽象概念的學(xué)習(xí)提供了較好的方法。數(shù)軸實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的聯(lián)系，將數(shù)與直線上的點(diǎn)建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與形的內(nèi)在關(guān)系，從而使抽象的“數(shù)”有“形”可依。

【片段】求一個(gè)數(shù)的近似數(shù)。

師：0.984保留一位小數(shù)的近似數(shù)，為什么是1.0，而不是1呢？末尾的0到底該不該去掉呢？

操作要求：請(qǐng)同學(xué)們借助這條數(shù)軸“找一找、圈一圈、畫(huà)一畫(huà)、議一議”，分別找到近似數(shù)是1和1.0的數(shù)。

師：從剛才同學(xué)們畫(huà)的范圍可以看到，近似數(shù)是1的范圍是0.5～1.5（不包含1.5），近似數(shù)是1.0的范圍是0.95～1.05（不包含1.05），也就是說(shuō)，近似數(shù)為1.0的精確度要更高點(diǎn)。保留的小數(shù)位數(shù)越多，近似數(shù)的精確度越高，正因?yàn)檫@樣，在表示小數(shù)的近似數(shù)時(shí)，末尾的0是不能省略的。盡管大小相同，但精確度會(huì)受影響。

借助數(shù)軸對(duì)比，學(xué)生直觀感受到保留的位數(shù)越多，近似數(shù)的精確度越高?？梢宰穯?wèn)學(xué)生近似數(shù)1.00的范圍、近似數(shù)1.000的范圍，拓展思維，體驗(yàn)極限的思想。數(shù)形結(jié)合使“數(shù)”與“形”統(tǒng)一起來(lái)，豐富了學(xué)生對(duì)數(shù)的形象感知，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)感。

二、借助線段圖，理解抽象的數(shù)量關(guān)系

解決問(wèn)題作為一種貫穿整體的教學(xué)方式，每時(shí)每刻都在進(jìn)行。具體問(wèn)題的題意理解、數(shù)量關(guān)系分析、問(wèn)題解決策略的形成都離不開(kāi)直觀手段的運(yùn)用。歸一、歸總問(wèn)題是建立兩步問(wèn)題數(shù)量關(guān)系和形成學(xué)習(xí)方法的關(guān)鍵，是培養(yǎng)畫(huà)圖意識(shí)和畫(huà)圖能力的關(guān)鍵。以下是學(xué)生歸總問(wèn)題畫(huà)的線段圖：

通過(guò)線段圖比較，明確畫(huà)圖時(shí)反映信息問(wèn)題要準(zhǔn)確全面，通過(guò)尋找共性特點(diǎn)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)中間問(wèn)題或關(guān)鍵因素，即學(xué)生要解讀出總量不變這一關(guān)鍵問(wèn)題，并在線段圖上反映為長(zhǎng)度相等，又要用不等長(zhǎng)的線段區(qū)分6元與9元價(jià)錢(qián)，在“等長(zhǎng)”和“不等長(zhǎng)”的圖示表達(dá)中經(jīng)常會(huì)顧此失彼。此時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生圍繞“整條線段表示什么”“同樣長(zhǎng)是反映哪條信息，同樣長(zhǎng)想表達(dá)什么信息”等問(wèn)題展開(kāi)討論，梳理各信息之間的內(nèi)在聯(lián)系和畫(huà)圖步驟，幫助學(xué)生全面、有序地表達(dá)題意。線段圖對(duì)解題思路分析、整理數(shù)量關(guān)系、數(shù)學(xué)模型建構(gòu)都有明顯的直觀效果。

三、借助“面積模型”理解分?jǐn)?shù)及運(yùn)算算理

學(xué)生只有理解了算式的意義，才能正確地運(yùn)用算式解決問(wèn)題，對(duì)算式意義的理解實(shí)際上是對(duì)運(yùn)算意義的理解。運(yùn)算的含義對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是抽象的，學(xué)生理解這些抽象的概念會(huì)有一定的困難，一定要處理好直觀與抽象的關(guān)系，加強(qiáng)直觀教學(xué)，突出從概念的本質(zhì)上理解運(yùn)算的意義。

【片段】連除簡(jiǎn)便計(jì)算。

師：像600÷2÷3=600÷（2×3），400÷5÷2=400÷（5×2），900÷3÷10=900÷（3×10）這樣的算式，為什么就相等了呢？你是怎么判斷的？

生：左右兩邊算式的計(jì)算結(jié)果是一樣的，所以相等。

師：是不是只要有這樣特點(diǎn)的算式都是相等的呢？100÷4÷7和100÷（4×7）這兩個(gè)算式相等嗎？

學(xué)生有的沉默，有的搖頭，有的點(diǎn)頭。

生：都除不盡怎么判斷？

（多媒體出現(xiàn)一個(gè)長(zhǎng)方形圖）

師：如果把這個(gè)長(zhǎng)方形看成100，100÷4÷7怎么表示？100÷（4×7）又怎么表示？

學(xué)生操作。

生：把100平均分成4份，再平均分成7份，就是把100平均分成28份。100÷（4×7）也表示把100平均分成28份。

外在的形式上，a÷b÷c和a÷（b×c）存在明顯的不同，當(dāng)我們把兩個(gè)算式的意義歸結(jié)到除法平均分的意義上，結(jié)合“面積模型”直觀演示，清晰理解“連除性質(zhì)”的本質(zhì)。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生溝通了知識(shí)間的聯(lián)系，建構(gòu)起了完整的“知識(shí)鏈”。

四、借助“直角坐標(biāo)系”，初步感知函數(shù)思想

學(xué)生在學(xué)習(xí)正、反比例關(guān)系時(shí)，把兩個(gè)量在直角坐標(biāo)系中表示出來(lái)，借助于形象的圖像，直觀呈現(xiàn)兩個(gè)變量之間的相依關(guān)系，深入理解抽象的函數(shù)關(guān)系。正比例的概念比較抽象，如何讓學(xué)生正確建構(gòu)出正比例的模型，關(guān)鍵是帶領(lǐng)學(xué)生找到正比例最核心的本質(zhì)，即比值一定。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想可以把抽象的數(shù)量關(guān)系與形象的直角坐標(biāo)圖聯(lián)系起來(lái)，在“數(shù)”與“形”互譯中理解正比例的本質(zhì)，初步感知函數(shù)思想。

數(shù)形結(jié)合思想反映了客觀事物深層次的內(nèi)在聯(lián)系和矛盾統(tǒng)一。我們要重視數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中不斷積累經(jīng)驗(yàn)，形成方法和策略，思維獲得有效的發(fā)展。